Рабочего словаря признаков

 

В § 5.1 был рассмотрен один из возможных методов выбора пространства признаков системы распознавания, обеспечивающий в пределах выделенных ресурсов максимальное значение критерия качества ее функционирования. Предложенный метод в исходной формулировке не может быть использован в том случае, когда предпринимаются какие-либо мероприятия, связанные с противодействием распознаванию объектов или явлений. В подобной ситуации решение основной проблемы построения системы распознавания — выбор пространства признаков и создание технических средств, предназначенных для их определения,— возможно только на основе игрового подхода. Рассмотрим конфликт двух сторон, одна из которых создает систему распознавания, а другая противодействует процессу распознавания, причем обе стороны в своих действиях ограничены величинами ресурсов.

Пусть имеются стороны А и В. Сторона В создает либо некоторую совокупность объектов, либо ей присущи некоторые явления (процессы), причем эта совокупность заранее фиксирована. Сторона А разрабатывает систему распознавания этих объектов или явлений. Сторона В стремится к тому, чтобы с помощью средств противодействия в наибольшей мере снизить эффективность системы распознавания стороны А.

Возможны различные случаи информированности сторон. Будем предполагать следующее: сторона А при создании системы распознавания знает всю совокупность объектов или явлений стороны В, но не знает ее системы противодействия, сторона В при выборе системы противодействия знает систему распознавания стороны А.

Стратегия стороны А — N-мерный вектор l, компоненты которого принимают значения 1 или 0 в зависимости от того, используется или не используется признак объекта х_j, j=1, 2,..., N, стороны В. На множество стратегий стороны А наложено ограничение — затраты ресурсов на создание технического средства, предназначенного для определения j-го признака, С_A — общая величина ресурсов, ассигнованных на разработку технических средств.

Стратегия стороны В — N-мерный вектор m, компоненты которого принимают значения 0 или 1 в зависимости от того, противодействует или не противодействует сторона В определению соответствующего признака. Будем считать, что если сторона В противодействует определению данного признака, то его измерение становится полностью невозможным, даже если соответствующее техническое средство измерения создано стороной А. На стратегию стороны В наложено ограничение где — затраты на противодействие определению j-ro признака создаваемых объектов, С_B — общая сумма ресурсов, ассигнованных на создание системы противодействия распознаванию объектов.

В качестве критерия эффективности системы распознавания рассмотрим, например, минимум квадрата расстояния между возможными парами объектов, который в данном случае имеет вид

 

(5.23)

 

где r — номер пары классов объектов или явлений; n — число пар классов; р^j_r — характеризует информативность j-ro признака при классификации объектов, принадлежащих r-й паре классов.

Сторона А стремится к максимизации W(l, m), а сторона В — к его минимизации. В условиях заданной информированности сторон оптимальная стратегия стороны А — максминная стратегия, т. е. такое l⁰ = (l⁰₁, ..., l⁰_N), что

 

(5.24)

 

где

Эта стратегия характерна тем, что обеспечивает системе распознавания при любой схеме противодействия распознаванию объектов или явлений (в пределах выделенных для этого ресурсов С_B) максимальный гарантированный результат.

Задача заключается в определении стратегии l⁰ [24].

В описанной постановке задачи о противодействии системе распознавания предполагается следующее. Если сторона В выполняет некоторые мероприятия, препятствующие стороне А в определении j-го признака, j= 1, ..., N, то это приводит к тому, что технические средства наблюдения системы распознавания полностью лишаются возможности определять данный j-й признак. Рассмотренная задача может быть обобщена на случай, когда мероприятия стороны В, связанные с противодействием системе распознавания, приводят к тому, что признаки х_j объектов средствами системы распознавания определяются с некоторыми вероятностями P_j^опр, j= 1, ..., N.

Предположим, что информированность сторон распространяется и на значения вероятностей P_j^опр, оптимальной стратегией системы распознавания будет также максминная стратегия, т. е. такое что

 

(5.25)

 

где L — см. пояснение к (5.24), а или 1,

Предполагается, что затраты на проведение мер противодействия определению j-го признака зависят от значения P_j^опр, т. е. С^B_j=С^B_j(P_j^опр).

Таким образом, и в данном случае возникает дискретная максминная задача с ограничениями на переменные l и m, а ее решение может быть получено также на основе применения метода штрафных функций, подобно тому, как это выполнено выше. При этом если мероприятия стороны В полностью исключают возможность определения j-го признака, то P_j^опр = 0 и (5.25) преобразуется к виду (5.24).

Построение технических средств наблюдения системы распознавания в соответствии с найденным значением l⁰ = {l⁰₁, ..., l⁰_N} при любой схеме противодействия избранной стороной В обеспечивает системе распознавания максимальную гарантированную эффективность.

 

§ 5.4. Построение рабочего словаря признаков при вероятностном описании классов

 

Выше рассмотрена задача построения оптимального признакового пространства в условиях ограничений на создание измерительной аппаратуры в случае, когда классы заданы значениями детерминированных признаков объектов, относящихся к соответствующим классам.

Рассмотрим ту же задачу при наличии вероятностного описания классов. Пусть заданы алфавит классов Ω_i, i=1, ..., m, априорный словарь признаков х_a={х₁ ..., х_N}, априорные вероятности Р(Ω_i), условные плотности распределения вероятности f_j(x) и платежная матрица вида (1.4). Будем полагать также, что известны условные плотности вероятности значений любого наперед заданного подмножества признаков, принадлежащего множеству признаков априорного словаря, т. е. функции f_i(x_j1..., хj_k), где {j₁, ...,j_k}Î{l, 2, ..., N},j_k£N, и ограничения, накладываемые на характеристики G^r₀, r=1, 2, 3, ..., комплекса измерительной аппаратуры, предназначенной для определения признаков распознаваемых объектов. Пусть G¹₀ — допустимая стоимость комплекса аппаратуры, G²₀ — предельная допустимая масса комплекса, G³₀ — предельный объем, занимаемый комплексом, G⁴₀ — предельная потребляемая мощность и т. д.

Предположим, что каждый измеритель предназначен для определения одного признака. Тогда комплекс аппаратуры, обеспечивающей измерение всех признаков априорного словаря, должен состоять из совокупности измерителей А = {А₁ ..., A_N}. Каждому измерителю Aj присущи определенные значения характеристик G^r_j,j=l, ..., N; r=l, 2, 3, ... .

Будем исходить из естественного предположения о том, что характеристики измерителей обладают свойством аддитивности. Тогда для некоторого комплекса аппаратуры B={A_j1, A_j2, ..., A_jk) каждая характеристика представляет собой суммарное значение соответствующих характеристик измерителей, т. е.

При построении рабочего словаря признаков системы распознавания может быть использован только такой набор измерителей В, для которого выполняются следующие ограничения относительно характеристик:

 

(5.26)

 

Возникновение задачи связано с тем, что априорный словарь признаков не может быть полностью аппаратурно обеспечен, так как хотя бы для одной характеристики имеет место неравенство

 

(5.27)

 

В качестве критерия эффективности системы распознавания В будем рассматривать средний риск `R_B принятия решения о принадлежности распознаваемого объекта к некоторому классу.

Пусть применительно к набору измерителей В, реализующему признаковое пространство, описываемое вектором х_B= {x_j1..., x_jk}, установлено, что признаки распознаваемого объекта w составляют х_j1=х⁰_j1, ..., х_jk=х⁰_jk. Обозначим это событие b_B. Тогда риск принятия решения о том, что объект со относится к классу Ω_g, g=l, ..., m, равен

 

(5.28)

 

где C_lg — потери, связанные с решением wÎΩ_g, когда в действительности wÎΩ_l,, g, 1=1, ..., m, g¹l; Р(Ω_i|b_B) — апостериорная вероятность, которая может быть определена по (4.31).

В качестве решающего правила, используемого в системе распознавания, будем полагать следующее: если произошло событие b_B то wÎΩ_g, при

 

(5.29)

 

Средний риск (критерий эффективности В системы распознавания) применительно к непрерывному описанию классов

 

(5.30)

 

где f(b_B) — совместная плотность распределения; D — область признакового пространства, охватывающая все возможные значения b_B

Учитывая, что и подставляя это выражение в (5.30), получим

 

(5.31)

 

где Dg— область признакового пространства, охватывающая значения b_В, соответствующие g-му классу, т. e.f_g(b_B) = 0 на DDg. Средний риск (критерий эффективности В системы распознавания) применительно к дискретному описанию классов

 

(5.32)

 

где М — число возможных значений b_B; N_g — число возможных значений b_B в Ω_g - м классе; Р (b^v_В) — безусловная вероятность реализации v-гo варианта значений признаков в системе В; P(b^v_В½Ω_g) — вероятность реализации v-ro варианта значений признаков у объекта при условии, что он относится к g-му классу.

Сформулируем задачу: в условиях исходной информации относительно {Р(Ω_i}, f_i(х_j1, ..., х_jk), где {j₁, ...,j_k}Î{l, ..., N},j_k£N; i = l, ..., m, а также платежной матрицы С, дисциплинирующих условий (5.26) требуется определить такое признаковое пространство системы распознавания, которое доставляет экстремальное (минимальное) значение критерию эффективности системы.

Итак, задача в условиях ограничений 3, ..., сводится к определению

 

(5.33)

 

при непрерывном описании классов и к

 

(5.34)

 

при дискретном описании классов.

Подставив в (5.30) значение R(Ω_i|b_B), определяемое (5.28), получим применительно к непрерывному описанию классов

 

(5.35)

 

Применительно к дискретному описанию классов

 

(5.36)

 

Для определения оптимального пространства В⁰, доставляющего минимум `R<sub>B</sub> при рассмотренных описаниях классов, необходимо рассчитать значения `R_B при различных допустимых комбинациях аппаратурного оснащения системы распознавания и найти среди них наименьшее значение.