Распознавание в условиях противодействия

 

Рассмотрим задачу распознавания объектов в условиях, когда противник может препятствовать как выявлению отдельных признаков объектов, так и сознательно изменять свою тактику в отношении частости предъявления объектов различных классов распознающей стороне [24]. Пусть требуется построить систему для распознавания объектов классов Ω₁ и Ω₂=`Ω₁ которые описываются признаками А₁, А₂, А₃, А₄, в виде

 

(7.50)

 

Добавив в (7.50) уравнение

 

(7.51)

 

придем к стандартной задаче определения неизвестной функции j(Ω_1, Ω₂) при заданной функции f(A_1, A₂, А₃, А₄).

Предположим, что имеется четыре пары распределения случайных величин X_j, заданных через плотности вероятностей f_i(x_j), i=l, 2;j=1, ..., 4 (рис. 7.2).

Элемент A_j обозначает высказывание «измеренное значение x*j случайной величины X_j относится к распределению f₁(x_j)», а элемент `A_j — высказывание «x*_j, относится к распределению f₂(х_j)».

Условимся считать, что имеет место элемент A_j, когда x*_j<х¹_j, и элемент когда x*_j>x²_j. Если же то значение истинности элемента A_j остается неопределенными относительно принадлежности x*_j к распределениям f₁(x_j) и f₂(x_j) не делается никаких заключений. В соответствии с данным правилом определим вероятности:

 

(7.52)

 

Предположим, что противодействие распознаванию объектов со стороны противника выражается в том, что, во-первых, вероятности (7.52) связаны определенными соотношениями вида

 

(7.53)

 

ограничивающими область допустимых значений q_j, и, во-вторых, если h и 1 — h — частости, с которыми противник предъявляет объекты из классов Ω₁ и Ω₂, соответственно, то значение h может произвольно изменяться в пределах 0£h£ 1.

 

 

Рис. 7.2

 

Так как противник располагает двумя стратегиями (1 — предъявлять только объекты из класса Ω₁; 2 — предъявлять объекты только из класса Ω₂), то естественно попытаться расширить арсенал стратегий стороны, проводящей распознавание, и наряду со стратегией 1 классификации объектов, выраженной соотношениями (7.50), (7.51) и

 

(7.54)

 

ввести в рассмотрение стратегию 2, которая заключается в следующем:

 

(7.55)

 

т. е. принимаем, что распознаваемый объект относится к классу Ω₂, если решение уравнений (7.51), (7.52) есть j = Ω₁ точно так же считаем, что объект принадлежит классу Ω₁ если решение уравнений есть j = Ω_2.

Сведем рассматриваемую задачу по определению наилучших стратегий сторон к игре (2 ´ 2). Запишем (7.50) в СДНФ:

 

(7.56)

 

где f¹₁= A₁× A_2×A_3×A₄, ..., f⁹₁=A_l× `А<sub>2</sub> ×`А₃×А₄; f¹₂ = `A<sub>1</sub>× A<sub>2</sub>×A<sub>3</sub>× A<sub>4</sub>, ..., f<sup>2</sup><sub>7</sub> = A<sub>1</sub>× `A₂×`А<sub>3</sub>×`A₄ — различные типы объектов из классов Ω₁ и Ω₂. В соответствии с (7.50) найдем для стратегии 1:

 

 

Обозначим r^a_i, 1=1, 2, вероятность появления объекта типа f^a_i в классе Ω_i. Тогда условные вероятности правильных и ошибочных заключений о классе объектов при использовании стратегии 1

 

(7.57)

 

Если распознающей стороне предъявляется объект из класса Ω_i, то помимо решений j = Ω₁ и j = Ω₂ возможны неопределенные ответы, когда класс объекта не устанавливается. Условная вероятность получить неопределенное решение задачи распознавания есть

 

(7.58)

 

Пусть величины С_1i, С_2i, С_3i, i=1, 2, обозначают выигрыши, которые получает распознающая сторона за правильное, ошибочное и неопределенное решения задачи распознавания при условии, что предъявлен объект из класса Ω_i. Тогда средние условные выигрыши распознающей стороны при использовании стратегии 1

 

(7.59)

 

а при использовании стратегии 2, выраженной соотношениями (7.55), выигрыши

 

(7.60)

 

где, согласно (7.55),

 

(7.61)

 

Будем считать, что величины (7.58) и (7.59) образуют платежную матрицу игры размерностью (2 ´ 2) с нулевой суммой:

 

(7.62)

 

в которой «чистые» стратегии распознающей стороны состоят в том, чтобы: а) применять стратегию 1, б) применять стратегию 2, а «чистые» стратегии «противника» есть: а) предъявлять объекты класса Ω₁, б) предъявлять объекты класса Ω₂.

Обозначим (x, 1 — x), 0£x£1, смешанные стратегии распознающей стороны, ранее введенные величины (h, l — h), 0£h£1, являются смешанными стратегиями противника. Игра, представленная платежной матрицей (7.62), всегда имеет решение (x⁰, h⁰) либо в «чистых», либо в смешанных стратегиях:

 

(7.63)

 

Средний выигрыш R(x, h) распознающей стороны при оптимальных стратегиях x = x⁰, h = h⁰ есть

 

(7.64)

 

С точки зрения стороны, распознающей объекты, величины х¹_j, х²_j = 1, 2, 3, 4, должны быть выбраны так, чтобы обеспечивался максимальный средний выигрыш max R(x⁰, h⁰)при ограничениях, заданных (7.53).