ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №4 «Інтервальні оцінки результатів

вимірювань. Довірчі границі похибки. Виключення грубих похибок»

 

4.1. Розв'язання завдань по темі

 

Завдання 1. Надано результати двадцяти вимірів довжини l_i, мм, деталі: 18,305; 18,306; 18,306; 18,309; 18,308; 18,309; 18,313; 18,308; 18,312 18,310; 18,305; 18,307; 18,309, 18,303; 18,307; 18,309; 18,304, 18,308; 18,308; 18,310.

Визначити границі довірчого інтервалу для середньоквадратичного відхилення СКО результатів спостережень.

Розв'язок: У якості оцінки математичного очікування довжини деталі ухвалюємо її середнє арифметичне = 10,3078 мм.

Точкова оцінка середньоквадратичного відхилення результатів спостережень становить = 0,0025 мм.

Прийнявши рівень довірчої ймовірності Р = 1 - q = 90% = 0,90, знаходимо для числа ступенів волі k = п - 1 = 20 - 1 = 19 по таблиці розподілу Пирсона:

 

; ;

; .

 

Границі довірчого інтервалу для середнього квадратического відхилення результатів спостережень знаходимо по формулі:

 

мм.

мм.

 

Отримані результати говорять про те, що дійсне значення середнього квадратического відхилення СКО результатів спостережень із імовірністю 90 % лежить в інтервалі (0,0020 - 0, 0034) мм.

 

Відповідь: мм, мм.

 

Завдання 2. Після обробки результатів 25-ти спостережень отримана точкова оцінка СКО результатів спостережень S_х = 0,0025 мм. Прийнявши рівень довірчої ймовірності Р = 1 - q = 90%, знайти границі довірчого інтервалу для СКО.

Розв'язок: По таблиці розподілу Пирсона знайдемо границі довірчого інтервалу для k = п - 1 = 24; q = 0,10:

 

; ;

; .

 

По формулі знайдемо границі довірчого інтервалу для СКО результатів спостережень:

 

мм.

мм.

 

Отримані результати говорять про те, що дійсне значення СКО з імовірністю 90 % лежить в інтервалі (0,0020 - 0,0033) мм.

 

Відповідь: мм, мм.

 

Завдання 3. При визначенні напруги були отримані наступні результати: 180 В; 182 В; 183 В; 184 В; 196 В. Оцінити придатність останнього результату при заданій імовірності 0,95.

Розв'язок: Число вимірів п = 5, отже для виявлення грубих похибок можна застосувати критерій Романовского. Розрахуємо відношення й зрівняємо його із критерієм υ_р, знайденим по таблиці (див. Додаток 3).

 

Таблиця 4.1.

Результати вимірів і розрахунків

	-5	-3	-2	-1	+11

 

Знаходимо середнє арифметичне і середнєквадратичне відхилення результатів спостережень:

Розрахуємо критерій υ:

 

При рівні значимості q = 0,05 критерій Романовского для п = 5 по таблиці (Додаток 3) буде рівний: υ_р = 1,869.

Тоді υ = 1,74 < υ_р = 1,869, отже останній результат не містить грубу похибку.

Відповідь: Останній результат при заданій імовірності придатний.

 

Завдання 4. При вимірюванні температури були отримані результати, представлені в другій графі таблиці.

Таблиця 4.2.

Результати вимірювань і розрахунків

i	ti, °С	, °С	·104	, °С	·104
	20,42	+0,016	2,56	-0,009	0,81
	20,43	+0,026	2,75	-0,019	3,61
	20,40	-0,004	0,16	-0,011	1,21
	20,43	+0,026	6,76	+0,019	3,61
	20,42	+0,016	2,56	+0,009	0,81
	20,43	+0,026	6,76	+0,019	3,61
	20,39	-0,014	1,96	-0,021	4,41
	20,30	-0,104	108,16	-	-
	20,40	-0,004	0,16	-0,011	1,21
	20,43	+0,026	6,76	+0,019	3,61
	20,42	+0,016	2,56	+0,009	0,81
	20,41	+0,006	0,36	-0,001	0,01
	20,39	-0,014	1,96	-0,021	4,41
	20,39	-0,014	1,96	-0,021	4,41
	20,40	-0,004	0,16	-0,011	1,21
= 20,404 °С		= 0,033 °С		= 0,016 °C
= 20,411 °С

 

Потрібно визначити, чи містить результат восьмого спостереження t₈ = 20,30 °С грубу похибку.

Розв'язок: Спочатку звичайними способами знаходимо середнє арифметичне і середнєквадратичне відхилення результатів спостережень:

 

= 20,404 °С; = 0,033 °С.

 

Якщо прийняти довірчу ймовірність Р = 0,95,то при n = 15, υ_0,95 = 2,493 і, оскільки:

 

те результат t₈ = 20,30° С містить

грубу похибку.

Якщо відкинути цей результат і повторити обчислення, то середнє арифметичне виявиться рівним = 20,411 °C, а середнєквадратичне відхилення зменшиться до = 0,016 °C. Розрахунок наведено в останніх двох графах таблиці.

Відповідь: Результат восьмого спостереження містить грубу похибку.

 

Завдання 5. По десятьом спостереженням було обчислене значення маси еталона кілограма. Результати обчислення наступні:

 

= 999,998721 г, σ = 17·10-6 г, = 5·10-6 г.

 

Знайти границі довірчого інтервалу, якщо рівень значимості у відсотках q = 1%.

Розв'язок: Довірча ймовірність .

 

Число ступенів свободи k = n - 1 = 10 - 1 = 9.

З таблиці значень коефіцієнта Стьюдента для зазначених k і Р знаходимо tp = 3,25 .

Отже, г.

Дійсне значення вимірюваної величини з довірчою ймовірністю P=0,99 лежить в інтервалі ; 999,998705 г < Q < 999,998737 г.

Відповідь: Границі довірчого інтервалу: г.