Равносильность формул - раздел Философия, Глава 1. Основы теории множеств
...
Пусть A и B - две формулы и {X1, X2,…, Xn} - множество всех высказывательных переменных, входящих в формулу A и/или в формулу B. Будем называть эти формулы равносильными, если при любом распределении истинностных значений для переменных {X1, X2,…, Xn}, они принимают одинаковые значения. Равносильность формул A и B будем обозначать AºB.
Нужно различать символы ~ и º. Так, ~ является символом формального языка, с помощью которого строятся формулы, а символ º обозначает отношение на множестве формул.
Отношение равносильности есть отношение эквивалентности. Действительно, оно рефлексивно, так как для любой формулы A AºA; симметрично, так как для любых формул A и B, если A º B, то B º A; транзитивно, так как для любых формул A, B, C, если AºB и BºC, то AºC.
Основные равносильности. Для любых формул A, B, C справедливы следующие равносильности:
1. A&B º B&A (коммутативность &);
2. A&A º A (идемпотентность &);
3. A&(B&C) º (A&B)&C (ассоциативность &);
4. AÚB º BÚA (коммутативность Ú);
5. AÚA º A (идемпотентностьÚ);
6. AÚ(BÚC) º (AÚB)ÚC (ассоциативность Ú);
7. AÚ(B&C) º (AÚB)&(AÚC) (дистрибутивность Ú относительно &);
8. A&(BÚC) º (A&B)Ú(A&C) (дистрибутивность & относительно Ú);
9. A&(AÚB) º A (первый закон поглощения);
10. AÚ(A&B) º A (второй закон поглощения);
11. ØØA º A (снятия двойного отрицания);
12. Ø(A&B) º ØAÚØB (первый закон де Моргана);
13. Ø(AÚB) º ØA&ØB (второй закон де Моргана);
14. A º (A&B)Ú(A&ØB) (первый закон расщепления);
15. A º (AÚB)&(AÚØB) (второй закон расщепления).
16. A~B º (AÉB)&(BÉA) º (A&B)Ú(ØA&ØB);
17. AÉB º ØAÚB º Ø(A&ØB);
18. AÚB º ØAÉB º Ø(ØA&ØB);
19. A&B º Ø(AÉØB) º Ø(ØAÚØB).
Равносильности 16-19 показывают, что одни связки могут быть выражены через другие.
Все эти равносильности легко доказываются либо с помощью таблиц истинности либо без них. В качестве примера, докажем 7 с помощью таблицы истинности.
Таблица 8
A
B
C
B&C
AÚ(B&C)
AÚB
AÚC
(AÚB)&(AÚC)
И
И
И
И
И
И
И
И
И
И
Л
Л
И
И
И
И
И
Л
И
Л
И
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
И
И
Л
И
И
И
И
И
И
И
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
Л
Л
Л
Л
Л
Доказательство 12 без таблицы истинности.
Пусть на некотором наборе истинностных значений переменных формула Ø(A&B) принимает значение Л. Тогда формула A&B принимает значение И, а поэтому обе формулы A и B принимают значение И. Но в этом случае, очевидно, и правая часть равносильности 12 принимает значение Л. И наоборот, пусть формула ØAÚØB принимает значение Л. Тогда формулы ØA, ØB принимают значение Л, а формулы A, B- значение И. Очевидно, что и левая часть равносильности 12 принимает значение Л.
В силу транзитивности отношения равносильности, если A1ºA2, A2ºA3,…, Ak-1ºAk, то A1ºAk. В таком случае для простоты будем записывать цепочку A1ºA2ºA3º…ºAk-1ºAk.
Приведем правило, с помощью которого можно переходить от одних равносильностей к другим.
Лемма 2.1. Пусть AºB и C - произвольная формула. Тогда ØAºØB, A&CºB&C, C&Aº C&B, AÚCºBÚC, CÚAºCÚB, AÉCºBÉC, CÉAºCÉB, A~CºB~C, C~AºC~B.
Докажем например равносильность AÉCºBÉC. Пусть на произвольном наборе высказывательных переменных формулы A и B принимают одинаковое значение (скажем, s). Пусть t - значение C на этом распределении истинностных значений. Обе части рассматриваемой равносильности принимают одно и то же значение sÉt.
Лемма 2.2. Пусть AºB и C - формула, в которой выделено одно вхождение переменной Xi. Пусть CA получается из C заменой этого вхождения Xi на A, а CB - из C заменой того же вхождения Xi на B. Тогда CAºCB.
Докажем это индукцией по числу n логических символов в C.
Базис индукции. Если n=0, то формула C должна совпадать с Xi (так как в ней имеется вхождение переменной Xi). В этом случае CA есть A, CB есть B, CAºCB - не что иное, как AºB.
Индуктивный переход. Пусть лемма доказана для числа логических символов меньше n и пусть C - формула с n логическими символами. Она имеет вид ØD, или D&E, или DÚE, или DÉE, или D~E, причем в первом случае выделенное вхождение Xi содержится в D, а в остальных случаях - либо в D, либо в E, но не в D и E сразу. Рассмотрим, например, случай, когда C имеет вид DÉE и выделенное вхождение Xi содержится в D. Заменяя Xi в этом вхождении в D на A и B, получаем соответственно формулы DA и DB. Ясно, что CA есть DAÉE, а CB есть DBÉE. Так как в формуле D, меньше логических символов, чем в C, то DAºDB. Применим теперь лемму 2.1 в случае AÉCºBÉC, где в роли A выступает DA и в роли B - DB, в роли C - E. В результате получаем CAºCB. Другие случаи рассматриваются аналогично.
Теорема 2.1. (правило равносильных преобразований). Пусть CA - формула, содержащая A в качестве своей подформулы. Пусть CB получается из CA заменой A в этом вхождении на B. Тогда, если AºB, то CAºCB .
Рассмотрим произвольную переменную Xi и получим формулу C из CA заменой A на Xi. Будем считать это вхождение Xi в C выделенным. Тогда C, A, B, CA, CB удовлетворяют условиям леммы 2.2, а значит, CAºCB.
Теорема 2.2 (правило устранения логических символов É и ~). Для каждой формулы можно указать равносильную ей формулу, не содержащую логических символов É и ~.
В самом деле, опираясь на правило равносильных преобразований, можно в исходной формуле каждую подформулу вида A~B заменить на (A&B)Ú(ØA&ØB), а каждую подформулу вида AÉB на ØAÚB (см. равносильности 16 и 17).
Пример 2.4. Формула (X1É(X2ÉX3)) ~ Ø(X2ÉX1) преобразуется следующим образом: (X1É(X2ÉX3)) ~ Ø(X2ÉX1) º (X1É(ØX2ÚX3) ~ (Ø(ØX2ÚX1)) º (ØX1Ú(ØX2ÚX3)) ~ (Ø(ØX2ÚX1) º
Дорогой читатель перед Вами книжка которую мы довольно долго писали... Данное пособие предназначено для студентов технических специальностей у которых на курс математической логики...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Равносильность формул
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Начальные понятия теории множеств
Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому мы можем его только пояснить, например, с помощью следующего псевдоопределения.
Определение:
Интуитивный принцип объемности
Определение. Множества Aи B считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Записывают A=B, если A и B равны, и A
Отношения
Определение. Упорядоченная пара <x, y> интуитивно определяется как совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке. Две пары <
Функции
Определим понятие "функция", следуя Дирихле. По сути дела при таком определении мы отождествляем функци
Эквивалентность
Одним из самых важных типов отношений является отношение эквивалентности на множестве.
Определение. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение r н
Зачем мы изучаем математическую логику?
Логика есть наука о законах и формах познающего мышления. Логика изучает мышление, но не всякое мышление, а лишь те мыслительные процессы, которые направлены на обнаружение и обосно
Высказывания
Мы начинаем изучать математическую логику со сравнительно ограниченного и нетрудного ее раздела, чтобы затем иметь возможность продвигаться вширь и вглубь. Этот раздел посвящен изуч
Логические связки
Грамматическими средствами в разговорном языке из нескольких высказываний можно составить сложное (составное) высказывание. Например, с помощью союзов "и", "или"
Формулы логики высказываний
Мы определим формальный язык для описания логики высказываний. Это описание чисто синтаксическое и оно не требует, чтобы формулы логики высказывания имели какую-то семантику (смысл)
Определение.
· Формула называется выполнимой, если на некотором наборе распределения истинностных значений переменных она принимает значение И.
· Формула называется тождественно-ложной ил
Нормальные формы формул
Содержание этого параграфа изложим, следуя [24].
Будем рассматривать формулы, содержащие только логические операции &, Ú, Ø. Символы & и Ú назы
Разрешимость для логики высказываний
Проблемой разрешимости для логики высказываний называют следующую проблему: существует ли алгоритм, который позволил бы для произвольной формулы в конечное число шагов определить, я
Модель исчисления высказываний
Пусть B - множество высказываний с обычными логическими операциями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания и равенство высказываний интерпретируется как их равносильность.
Во второй главе показ
Определение.
Если булева алгебра M - двухэлементна (т. е. содержит только Ë и Î), то булевы функции называются двоичными функциями.
Если в двухэлементной булевой алгебре элементы &Eum
Полные системы булевых функций
Определение.Система функций {f1, f2,…, fn} называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции f
Переключательные элементы
Пусть имеется "черный ящик" - некоторое устройство, внутренняя структура которого нас не интересует, а известно лишь, что оно имеет n упорядоченных "входов" (например, занумеров
Формулы логики предикатов
Существуют такие виды логических рассуждений, которые нельзя формализовать на языке логики высказываний. Вот примеры таких рассуждений:
1. Каждый любит сам себя. Значит, ко
Интерпретации
Формулы имеют смысл только тогда, когда имеется какая-нибудь интерпретация входящих в нее символов.
Определение. Под интерпретацией мы будем понимат
Выполнимость и общезначимость
Определение.Формула A выполнима в данной интерпретации, если существует такой набор <a1, a2,…, an>, aiÎM, значений св
Формальные аксиоматические теории
Формальная теория представляет собой множество чисто абстрактных объектов (не связанных с внешним миром), в которой представлены
Исчисление высказываний
Оказывается множество тавтологий логики высказываний можно описать в рамках простой формальной аксиоматической теории - исчисления высказываний.
Определим исчисление высказ
Теорема 5.2
1. Любая аксиома в исчислении высказываний является тавтологией.
2. Любая теорема в исчислении высказываний является тавтологией.
Доказательство. То, что каждая аксиома A1-A3 явля
Исчисление предикатов
Исчисление предикатов - это аксиоматическая теория, символами которой являются, по существу, те же символы, что и в логике предикатов:
1) символы предметных переменных: x
Теорема 5.4
1. Аксиомы исчисления предикатов - общезначимые формулы.
2. Формула, получающаяся из общезначимых формулы по любому из правил вывода 1-4, является общезначимой.
3. Любая доказуема
Логический вывод
Терпеть не могу логики. Она всегда банальна и нередко убедительна.
Оскар Уайльд
Формальная математика основывается на аксиоматическом методе. Внача
Метод резолюций
Логическое программирование является, пожалуй, наиболее впечатляющим примером применения идей и методов математической логики (точнее, одного из ее разделов - теории логического выв
Неполнота математики
Таким образом, показано, что класс всех теорем исчисления предикатов совпадает с классом общезначимых формул. На этом примере мы видим силу формального аксиоматического метода. Но н
Понятие алгоритма и неформальная вычислимость
В этом разделе будет уточнено понятие алгоритма. Кроме того, будут даны строгие математические понятия, которые формализуют представление о том, что некоторые функции поддаются вычи
Определения
Этот подход к формализации понятия алгоритма принадлежит Гёделю и Клини (1936).
Основная идея Гёделя сос
Ламбда - исчисление
Значение ламбда-исчисления
Ламбда-исчисление было изобретено Алонсом Чёрчем около 1930 г. Чёрч первоначально строил l-исчисление как часть
Машины Тьюринга
Рассмотрим еще один способ определения вычислимых функций, следуя в изложении [29, стр. 12-14]. Ф
Тезис Чёрча
За последние 60 лет было предложено много различных математических уточнений интуитивного понятия алгоритма. Три из этих подхода мы разобрали. Перечислим некоторые другие альтернати
Сложность алгоритмов
Применение математики во многих приложениях, требует как правило, использования различных алгоритмов. Для решения многих задач не трудно придумать комбинаторные алгоритмы, сводящиес
NP-трудные и NP-полные задачи
Различные задачи, относящие к классу NP являются эквивалентными относительно некоторого отношения, которое мы сейчас определим.
Определение. Задача Q по
Трехзначная система Я. Лукасевича
Эта пропозиционная логика была построена Я. Лукасевичем в 1920 году [34]. Лукасевич обозначил «истину» за «1», «ложь» за «0» и ввел третье значение – «нейтрально» - ½. Основными функциями им
Логика Гейтинга
Из закона исключенного терьего в двузначной логике выводятся:
1. ØØх É х 2. х É ØØх
Гейтинг создал трехзначную пропозицио
Трехзначная система Бочвара Д.А.
Система создавалась Бочваром Д.А. [36] для разрешения парадоксов классической математической логики методом формального доказательства бессмысленности определенных высказываний. Нап
К - значная логика Поста Е.Л.
Логика Поста [37] является обобщением частного случая – двузначной логики, когда К=2. Действительно, по Посту значения истинности принимают значения 1, 2,…,К (при К ³ 2 и К – к
Цели и задачи дисициплины
Цели преподавания дисциплины является ознакомление студентов с основами математической логики, теории алгоритмов с методами оценки сложности алгоритмов и построения эффективных алгоритмов.
Наименование тем
Введение
История развития математической логики и теории алгоритмов. Математическая логика и основания математики. Теория алгоритмов и принципиальные возмож
КОНТРОЛЬНАЯ № 2
Вариант 1
1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:
"Для того, чтобы x бы
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Пусть A и B - две формулы и {X1, X2,…, Xn} - множество всех высказывательных переменных, входящих в формулу A и/или в формулу B. Будем называть эти формулы равносильными, если при любом распределении истинностных значений для переменных {X1, X2,…, Xn}, они принимают одинаковые значения. Равносильность формул A и B будем обозначать AºB.
Новости и инфо для студентов