Модель исчисления высказываний - раздел Философия, Глава 1. Основы теории множеств Пусть B - Множество Высказываний С Обычными Логическими Операциями Конъюнкции...
Пусть B - множество высказываний с обычными логическими операциями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания и равенство высказываний интерпретируется как их равносильность.
Во второй главе показано, что операции Ú и Ù ассоциативны, коммутативны, и каждая из них дистрибутивна относительно другой. Если мы обозначим любое противоречие через Л, а любую тавтологию через И, то мы можем считать, что И и Л являются элементами B (так как все тавтологии равносильны, и все противоречия также равносильны). Легко проверить, что множество B с логическими операциями является булевой алгеброй, а элементы И и Л будут нейтральными элементами.
Теоретико-множественная модель
Пусть A - непустое множество, тогда множество-степень P(A) является моделью булевой алгебры, если условиться о следующем.
Элементы этой булевой алгебры - это различные подмножества множества A.
Операция Ù определяется как пересечение множеств, операция Ú обозначает объединение множеств и операция Ø является абсолютным дополнением (до A). Нетрудно убедиться, что все аксиомы булевой алгебры при таких определениях выполнены и множества A и Æ являются соответственно единичным и нулевым элементом алгебры.
Кроме конъюнкции и дизъюнкции особенно важны с точки зрения технической реализации переключательных функций следующие операции:
f¯g = Ø(fÚg) (функция Пирса);
f | g = Ø(fÙg) (штрих Шеффера);
f É g = ØfÚg (импликация);
f g = fÙØg (разность, теоретико-множественная разность в P(A));
f~g = (fÙg)Ú(ØfÙØg) (эквивалентность);
f + g = (fÙØg)Ú(ØfÙg) (симметрическая разность, исключающее "или", неэквивалентность).
Для произвольного элемента f булевой алгебры имеем:
Î É f = Ë , Ë É f = f,
f É Ë = Ë , f É Î = Øf.
Кроме того, f g = Ø(f É g).
Для симметрической разности имеем также
f + g = (fg)Ú(gf)
f + g = Ø(f~g)
Î + Î = Î Î + Ë = Ë
Ë + Î = Ë Ë + Ë = Î
При отождествлении Î с 0, а Ë с 1, получаем операцию сложения по модулю 2:
0+0 = 0 1+0 = 1
1+1 = 0 0+1 = 1
Возможно, теперь стало понятным, почему основные равносильности логики высказываний и основные тождества алгебры множеств так похожи - они просто законы булевой алгебры.
На основании законов булевой алгебры можно доказывать утверждения о тождественности (эквивалентности) выражений с булевыми операциями. Например, (fÙg)Ú(ØfÙb)Ú(fÙØg) = gÚf. Действительно,
(fÙg)Ú(ØfÙb)Ú(fÙØg) =
((fÙg)Ú(ØfÙg))Ú(fÙØg) =
((f Ú Øf)Ùg)Ú(fÙØg) =
(Ë Ù g)Ú(fÙØg) =
gÚ(fÙØg) =
(gÚf)Ù(gÚØg) =
(gÚf)Ù Ë =
gÚf.
Докажем, что все булевы выражения можно выразить через функцию Пирса. Для этого достаточно показать представимость с помощью функции Пирса базисных операций Ù, Ú, Ø.
Имеем
Øf = Ø(fÚf) = f¯f.
Далее, по определению,
f¯g = Ø(fÚg) Þ f Úg = Ø( f¯g) Þ fÚg = ( f¯g) ¯ ( f¯g).
И, наконец,
fÙg = Ø(ØfÚØg) = (Øf)¯(Øg) =(f¯f)¯(g¯g).
Все темы данного раздела:
Начальные понятия теории множеств
Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому мы можем его только пояснить, например, с помощью следующего псевдоопределения.
Определение:
Интуитивный принцип объемности
Определение. Множества Aи B считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Записывают A=B, если A и B равны, и A
Отношения
Определение. Упорядоченная пара <x, y> интуитивно определяется как совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке. Две пары <
Функции
Определим понятие "функция", следуя Дирихле. По сути дела при таком определении мы отождествляем функци
Эквивалентность
Одним из самых важных типов отношений является отношение эквивалентности на множестве.
Определение. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение r н
Зачем мы изучаем математическую логику?
Логика есть наука о законах и формах познающего мышления. Логика изучает мышление, но не всякое мышление, а лишь те мыслительные процессы, которые направлены на обнаружение и обосно
Высказывания
Мы начинаем изучать математическую логику со сравнительно ограниченного и нетрудного ее раздела, чтобы затем иметь возможность продвигаться вширь и вглубь. Этот раздел посвящен изуч
Логические связки
Грамматическими средствами в разговорном языке из нескольких высказываний можно составить сложное (составное) высказывание. Например, с помощью союзов "и", "или"
Формулы логики высказываний
Мы определим формальный язык для описания логики высказываний. Это описание чисто синтаксическое и оно не требует, чтобы формулы логики высказывания имели какую-то семантику (смысл)
Равносильность формул
Пусть A и B - две формулы и {X1, X2,…, Xn} - множество всех выск
Определение.
· Формула называется выполнимой, если на некотором наборе распределения истинностных значений переменных она принимает значение И.
· Формула называется тождественно-ложной ил
Нормальные формы формул
Содержание этого параграфа изложим, следуя [24].
Будем рассматривать формулы, содержащие только логические операции &, Ú, Ø. Символы & и Ú назы
Разрешимость для логики высказываний
Проблемой разрешимости для логики высказываний называют следующую проблему: существует ли алгоритм, который позволил бы для произвольной формулы в конечное число шагов определить, я
Абстрактное определение булевых алгебр
Определение.Множество элементов B с заданным на нем двуместными операциями &Ugra
Булевы функции. Теорема о нормальной булевой форме
Рассмотрим еще одну модель булевой алгебры.
Определение. Пусть M - произвольная булева алгебра с базисными операциями Ù, Ú, Ø. Рассмот
Определение.
Если булева алгебра M - двухэлементна (т. е. содержит только Ë и Î), то булевы функции называются двоичными функциями.
Если в двухэлементной булевой алгебре элементы &Eum
Полные системы булевых функций
Определение.Система функций {f1, f2,…, fn} называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции f
Переключательные элементы
Пусть имеется "черный ящик" - некоторое устройство, внутренняя структура которого нас не интересует, а известно лишь, что оно имеет n упорядоченных "входов" (например, занумеров
Формулы логики предикатов
Существуют такие виды логических рассуждений, которые нельзя формализовать на языке логики высказываний. Вот примеры таких рассуждений:
1. Каждый любит сам себя. Значит, ко
Интерпретации
Формулы имеют смысл только тогда, когда имеется какая-нибудь интерпретация входящих в нее символов.
Определение. Под интерпретацией мы будем понимат
Выполнимость и общезначимость
Определение.Формула A выполнима в данной интерпретации, если существует такой набор <a1, a2,…, an>, aiÎM, значений св
Формальные аксиоматические теории
Формальная теория представляет собой множество чисто абстрактных объектов (не связанных с внешним миром), в которой представлены
Исчисление высказываний
Оказывается множество тавтологий логики высказываний можно описать в рамках простой формальной аксиоматической теории - исчисления высказываний.
Определим исчисление высказ
Теорема 5.2
1. Любая аксиома в исчислении высказываний является тавтологией.
2. Любая теорема в исчислении высказываний является тавтологией.
Доказательство. То, что каждая аксиома A1-A3 явля
Исчисление предикатов
Исчисление предикатов - это аксиоматическая теория, символами которой являются, по существу, те же символы, что и в логике предикатов:
1) символы предметных переменных: x
Теорема 5.4
1. Аксиомы исчисления предикатов - общезначимые формулы.
2. Формула, получающаяся из общезначимых формулы по любому из правил вывода 1-4, является общезначимой.
3. Любая доказуема
Логический вывод
Терпеть не могу логики. Она всегда банальна и нередко убедительна.
Оскар Уайльд
Формальная математика основывается на аксиоматическом методе. Внача
Метод резолюций
Логическое программирование является, пожалуй, наиболее впечатляющим примером применения идей и методов математической логики (точнее, одного из ее разделов - теории логического выв
Неполнота математики
Таким образом, показано, что класс всех теорем исчисления предикатов совпадает с классом общезначимых формул. На этом примере мы видим силу формального аксиоматического метода. Но н
Понятие алгоритма и неформальная вычислимость
В этом разделе будет уточнено понятие алгоритма. Кроме того, будут даны строгие математические понятия, которые формализуют представление о том, что некоторые функции поддаются вычи
Определения
Этот подход к формализации понятия алгоритма принадлежит Гёделю и Клини (1936).
Основная идея Гёделя сос
Ламбда - исчисление
Значение ламбда-исчисления
Ламбда-исчисление было изобретено Алонсом Чёрчем около 1930 г. Чёрч первоначально строил l-исчисление как часть
Машины Тьюринга
Рассмотрим еще один способ определения вычислимых функций, следуя в изложении [29, стр. 12-14]. Ф
Тезис Чёрча
За последние 60 лет было предложено много различных математических уточнений интуитивного понятия алгоритма. Три из этих подхода мы разобрали. Перечислим некоторые другие альтернати
Некоторые алгоритмически неразрешимые проблемы
Определение. Предикат M(x) называется разрешимым, если его характеристическая функция, задаваемая формулой
cM(x
Сложность алгоритмов
Применение математики во многих приложениях, требует как правило, использования различных алгоритмов. Для решения многих задач не трудно придумать комбинаторные алгоритмы, сводящиес
NP-трудные и NP-полные задачи
Различные задачи, относящие к классу NP являются эквивалентными относительно некоторого отношения, которое мы сейчас определим.
Определение. Задача Q по
Трехзначная система Я. Лукасевича
Эта пропозиционная логика была построена Я. Лукасевичем в 1920 году [34]. Лукасевич обозначил «истину» за «1», «ложь» за «0» и ввел третье значение – «нейтрально» - ½. Основными функциями им
Логика Гейтинга
Из закона исключенного терьего в двузначной логике выводятся:
1. ØØх É х 2. х É ØØх
Гейтинг создал трехзначную пропозицио
Трехзначная система Бочвара Д.А.
Система создавалась Бочваром Д.А. [36] для разрешения парадоксов классической математической логики методом формального доказательства бессмысленности определенных высказываний. Нап
К - значная логика Поста Е.Л.
Логика Поста [37] является обобщением частного случая – двузначной логики, когда К=2. Действительно, по Посту значения истинности принимают значения 1, 2,…,К (при К ³ 2 и К – к
Цели и задачи дисициплины
Цели преподавания дисциплины является ознакомление студентов с основами математической логики, теории алгоритмов с методами оценки сложности алгоритмов и построения эффективных алгоритмов.
Наименование тем
Введение
История развития математической логики и теории алгоритмов. Математическая логика и основания математики. Теория алгоритмов и принципиальные возмож
КОНТРОЛЬНАЯ № 2
Вариант 1
1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:
"Для того, чтобы x бы
Новости и инфо для студентов