Интуитивный принцип объемности - раздел Философия, Глава 1. Основы теории множеств Определение. Множества AИ B...
Определение. Множества Aи B считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Записывают A=B, если A и B равны, и A¹B - в противном случае.
Пример 1.1. Проиллюстрируем принцип объемности. Множество A всех положительных четных чисел равно множеству B положительных целых чисел, представимых в виде суммы двух положительных нечетных чисел. Действительно, если xÎA, то для некоторого целого положительного числа m x = 2m; тогда x = (2m - 1) + 1, т. е. xÎB. Если xÎB, то для некоторых целых положительных p и q x = (2p - 1) + (2q -1) = 2(p + q -1), т. е. xÎA.
Множество, элементами которого являются объекты a1, a2,…, an и только они, обозначают { a1, a2,…, an }. При этом порядок, в котором элементы расположены при описании множества не имеет значения; не имеет значения также возможность неоднократного повторения одних и тех же элементов при описании множества.
Пример 1.2. В силу принципа объемности {2, 4, 6} = {4, 2, 6} = {2, 4, 4, 6}; {{1, 2}} ¹ {1,2}, так как единственным элементом множества {{1,2}} является множество {1,2}, а множество {1,2} состоит из двух элементов: чисел 1 и 2.
При рассмотрении способов задания множеств возникает проблема их эффективного описания. Ее решение обычно основано на интуитивном понятии "форма от x". Под формой от x будем понимать конечную последовательность, состоящую из слов и символа x, такую, что если каждое вхождение x в эту последовательность заменить одним и тем же именем некоторого предмета соответствующего рода, то в результате получится истинное или ложное предложение. Например формами от x являются следующие предложения; "3 делит x", "x2 + 2x +1 > x", "x2 = 4", "x - родственник Иванова". Напротив, предложения "для всех x x2 - 4 = (x - 2)(x +2)", "существует такое x, что x>0" и "(x+1)/(x-1)" не являются формами от x.
Обозначим форму от x через P(x).
Интуитивный принцип абстракции
Определение. Любая форма P(x) определяет некоторое множество A, а именно множество тех и только тех предметов a, для которых P(a) - истинное предложение.
Для множества A, определяемого формой P(x), принято обозначение A = {x|P(x)}.
2. {x | x - четное число} - множество четных чисел.
Описанные выше понятия теории множеств с успехом могут быть использованы в началах анализа, алгебры, математической логики и т. д. Однако надо иметь в виду, что при более строгих рассмотрениях такое интуитивное восприятие может оказаться неудовлетворительным.
Парадокс Бертрана Рассела(1872-1970). (О несовершенстве интуитивных представлений о множествах.) Можно указать такие множества, которые принадлежат самим себе как элементы, например, множество всех множеств, и такие множества, которые не являются элементами самих себя, например, множество {1, 2}, элементами которого являются числа 1 и 2. Рассмотрим теперь множество A = { X | X ÏX}. Тогда, если AÏA, то, по определению, AÎA. С другой стороны, если AÎA, то A - одно из тех множеств X, которые не есть элементы самих себя, т. е. AÏA. В любом случае A есть элемент A и A не есть элемент A.
Другая, более популярная форма этого парадокса известна как парадокс брадобрея. Владелец парикмахерской в одном селе повесил следующее объявление: "Брею тех и только тех жителей села, кто не бреется сам". Спрашивается, кто бреет брадобрея?
Этот парадокс свидетельствует о том, что широко используемая теория множеств в ее интуитивном, "наивном" изложении является противоречивой. Формализация теории множеств, связанная, в частности, с устранением парадоксов, способствовала развитию не только методов теории множеств, но и такой науки, как математическая логика.
Через Í обозначим отношение включения между множествами, т. е. AÍB, если каждый элемент множества A есть элемент множества B. Тогда говорят, что A есть подмножество множества B. Если AÍB и A¹B, то говорят, что A есть собственное подмножество B, и пишут AÌB.
Пример 1.4. Множество четных чисел есть подмножество множества целых чисел; множество рациональных чисел есть подмножество множества действительных чисел; {1, 2} Í {1,2,3,4}.
Заметим, что: а) XÍX; б) если XÍY, YÍZ, то XÍZ; в) если XÍY и YÍX , то X=Y.
Не надо смешивать отношения принадлежности и включения. Хотя 1Î{1}, {{1}}Í{{1}}, не верно, что 1Î{{1}}, так как единственным элементом множества {{1}} является {1}.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается Æ. Пустое множество есть подмножество любого множества.
Множество всех подмножеств A называется множеством-степенью и обозначается P(A).
Пример 1.5. Если A = {1,2,3}, то P(A) = {Æ, {1}, {2},{3},{1, 2}, {1, 3}, {2,3}, A}.
В дальнейшем неоднократно будем пользоваться утверждением, что если множество A состоит из n элементов, то множество P(A) состоит из 2n элементов.
Дорогой читатель перед Вами книжка которую мы довольно долго писали... Данное пособие предназначено для студентов технических специальностей у которых на курс математической логики...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Интуитивный принцип объемности
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Начальные понятия теории множеств
Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому мы можем его только пояснить, например, с помощью следующего псевдоопределения.
Определение:
Отношения
Определение. Упорядоченная пара <x, y> интуитивно определяется как совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке. Две пары <
Функции
Определим понятие "функция", следуя Дирихле. По сути дела при таком определении мы отождествляем функци
Эквивалентность
Одним из самых важных типов отношений является отношение эквивалентности на множестве.
Определение. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение r н
Зачем мы изучаем математическую логику?
Логика есть наука о законах и формах познающего мышления. Логика изучает мышление, но не всякое мышление, а лишь те мыслительные процессы, которые направлены на обнаружение и обосно
Высказывания
Мы начинаем изучать математическую логику со сравнительно ограниченного и нетрудного ее раздела, чтобы затем иметь возможность продвигаться вширь и вглубь. Этот раздел посвящен изуч
Логические связки
Грамматическими средствами в разговорном языке из нескольких высказываний можно составить сложное (составное) высказывание. Например, с помощью союзов "и", "или"
Формулы логики высказываний
Мы определим формальный язык для описания логики высказываний. Это описание чисто синтаксическое и оно не требует, чтобы формулы логики высказывания имели какую-то семантику (смысл)
Равносильность формул
Пусть A и B - две формулы и {X1, X2,…, Xn} - множество всех выск
Определение.
· Формула называется выполнимой, если на некотором наборе распределения истинностных значений переменных она принимает значение И.
· Формула называется тождественно-ложной ил
Нормальные формы формул
Содержание этого параграфа изложим, следуя [24].
Будем рассматривать формулы, содержащие только логические операции &, Ú, Ø. Символы & и Ú назы
Разрешимость для логики высказываний
Проблемой разрешимости для логики высказываний называют следующую проблему: существует ли алгоритм, который позволил бы для произвольной формулы в конечное число шагов определить, я
Модель исчисления высказываний
Пусть B - множество высказываний с обычными логическими операциями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания и равенство высказываний интерпретируется как их равносильность.
Во второй главе показ
Определение.
Если булева алгебра M - двухэлементна (т. е. содержит только Ë и Î), то булевы функции называются двоичными функциями.
Если в двухэлементной булевой алгебре элементы &Eum
Полные системы булевых функций
Определение.Система функций {f1, f2,…, fn} называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции f
Переключательные элементы
Пусть имеется "черный ящик" - некоторое устройство, внутренняя структура которого нас не интересует, а известно лишь, что оно имеет n упорядоченных "входов" (например, занумеров
Формулы логики предикатов
Существуют такие виды логических рассуждений, которые нельзя формализовать на языке логики высказываний. Вот примеры таких рассуждений:
1. Каждый любит сам себя. Значит, ко
Интерпретации
Формулы имеют смысл только тогда, когда имеется какая-нибудь интерпретация входящих в нее символов.
Определение. Под интерпретацией мы будем понимат
Выполнимость и общезначимость
Определение.Формула A выполнима в данной интерпретации, если существует такой набор <a1, a2,…, an>, aiÎM, значений св
Формальные аксиоматические теории
Формальная теория представляет собой множество чисто абстрактных объектов (не связанных с внешним миром), в которой представлены
Исчисление высказываний
Оказывается множество тавтологий логики высказываний можно описать в рамках простой формальной аксиоматической теории - исчисления высказываний.
Определим исчисление высказ
Теорема 5.2
1. Любая аксиома в исчислении высказываний является тавтологией.
2. Любая теорема в исчислении высказываний является тавтологией.
Доказательство. То, что каждая аксиома A1-A3 явля
Исчисление предикатов
Исчисление предикатов - это аксиоматическая теория, символами которой являются, по существу, те же символы, что и в логике предикатов:
1) символы предметных переменных: x
Теорема 5.4
1. Аксиомы исчисления предикатов - общезначимые формулы.
2. Формула, получающаяся из общезначимых формулы по любому из правил вывода 1-4, является общезначимой.
3. Любая доказуема
Логический вывод
Терпеть не могу логики. Она всегда банальна и нередко убедительна.
Оскар Уайльд
Формальная математика основывается на аксиоматическом методе. Внача
Метод резолюций
Логическое программирование является, пожалуй, наиболее впечатляющим примером применения идей и методов математической логики (точнее, одного из ее разделов - теории логического выв
Неполнота математики
Таким образом, показано, что класс всех теорем исчисления предикатов совпадает с классом общезначимых формул. На этом примере мы видим силу формального аксиоматического метода. Но н
Понятие алгоритма и неформальная вычислимость
В этом разделе будет уточнено понятие алгоритма. Кроме того, будут даны строгие математические понятия, которые формализуют представление о том, что некоторые функции поддаются вычи
Определения
Этот подход к формализации понятия алгоритма принадлежит Гёделю и Клини (1936).
Основная идея Гёделя сос
Ламбда - исчисление
Значение ламбда-исчисления
Ламбда-исчисление было изобретено Алонсом Чёрчем около 1930 г. Чёрч первоначально строил l-исчисление как часть
Машины Тьюринга
Рассмотрим еще один способ определения вычислимых функций, следуя в изложении [29, стр. 12-14]. Ф
Тезис Чёрча
За последние 60 лет было предложено много различных математических уточнений интуитивного понятия алгоритма. Три из этих подхода мы разобрали. Перечислим некоторые другие альтернати
Сложность алгоритмов
Применение математики во многих приложениях, требует как правило, использования различных алгоритмов. Для решения многих задач не трудно придумать комбинаторные алгоритмы, сводящиес
NP-трудные и NP-полные задачи
Различные задачи, относящие к классу NP являются эквивалентными относительно некоторого отношения, которое мы сейчас определим.
Определение. Задача Q по
Трехзначная система Я. Лукасевича
Эта пропозиционная логика была построена Я. Лукасевичем в 1920 году [34]. Лукасевич обозначил «истину» за «1», «ложь» за «0» и ввел третье значение – «нейтрально» - ½. Основными функциями им
Логика Гейтинга
Из закона исключенного терьего в двузначной логике выводятся:
1. ØØх É х 2. х É ØØх
Гейтинг создал трехзначную пропозицио
Трехзначная система Бочвара Д.А.
Система создавалась Бочваром Д.А. [36] для разрешения парадоксов классической математической логики методом формального доказательства бессмысленности определенных высказываний. Нап
К - значная логика Поста Е.Л.
Логика Поста [37] является обобщением частного случая – двузначной логики, когда К=2. Действительно, по Посту значения истинности принимают значения 1, 2,…,К (при К ³ 2 и К – к
Цели и задачи дисициплины
Цели преподавания дисциплины является ознакомление студентов с основами математической логики, теории алгоритмов с методами оценки сложности алгоритмов и построения эффективных алгоритмов.
Наименование тем
Введение
История развития математической логики и теории алгоритмов. Математическая логика и основания математики. Теория алгоритмов и принципиальные возмож
КОНТРОЛЬНАЯ № 2
Вариант 1
1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:
"Для того, чтобы x бы
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Парадокс Бертрана Рассела(1872-1970). (О несовершенстве интуитивных представлений о множествах.) Можно указать такие множества, которые принадлежат самим себе как элементы, например, множество всех множеств, и такие множества, которые не являются элементами самих себя, например, множество {1, 2}, элементами которого являются числа 1 и 2. Рассмотрим теперь множество A = { X | X ÏX}. Тогда, если AÏA, то, по определению, AÎA. С другой стороны, если AÎA, то A - одно из тех множеств X, которые не есть элементы самих себя, т. е. AÏA. В любом случае A есть элемент A и A не есть элемент A.
Новости и инфо для студентов