рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Философия
/
Логический вывод

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Логический вывод

Логический вывод - раздел Философия, Глава 1. Основы теории множеств Терпеть Не Могу Логики. Она Всегда Банальна И Нередко Убедите...

Терпеть не могу логики. Она всегда банальна и нередко убедительна.

Оскар Уайльд

Формальная математика основывается на аксиоматическом методе. Вначале вводятся неопределяемые понятия и аксиомы, далее, на основании логических правил и заключений появляются теоремы. Проблема доказательства в математической логике состоит в установлении истинности формулы B (заключения), если предполагается истинность формул A₁,...,A_n (посылок). Мы записываем это в виде

A₁,A₂,...,A_n |= B

и говорим, что B является логическим следствием A₁,A₂,...,A_n.

Основной метод решения этой проблемы следующий. Записываем посылки и применяем правила вывода, чтобы получить из них другие истинные формулы. Из этих формул и исходных посылок выводим последующие формулы и продолжаем этот процесс до тех пор, пока не будет получено нужное заключение. Мы называем это логическим выводом или доказательством; именно такой метод обычно применяется в математических доказательствах.

Два классических правила вывода были открыты очень давно. Одно из них носит латинское название modus ponens (модус поненс или сокращение посылки). Его можно записать следующим образом:

A, A É B |= B.

Второе правило (цепное) позволяет вывести новую импликацию из двух данных импликаций. Можно записать его следующим образом:

A É B, B É C |= A É C.

Во всей своей полноте понятие доказательства несомненно обладает и психологическими признаками. Надо обладать красноречием и умением убеждать, чтобы слушатели (или читатели) приняли ваше доказательство. Рассмотрим основные логические особенности доказательства и выделим некоторые из методов доказательства.

Доказательство с помощью математической индукции

Мы рассмотрели этот способ в разделе 2.4. Подчеркнем, что принцип математической индукции является одним из способов логического вывода и в математике принимается без доказательства.

Доказательство с введением допущения

Многие математические утверждения могут быть представлены в виде импликаций PÉQ. Доказательство такого утверждения может быть представлено в виде

A₁,A₂,...,A_n |= PÉQ.

Формулы A₁,A₂,...,A_n - суть посылки, истинность которых предполагается. Поэтому в данном случае доказательство логически эквивалентно доказательству того, что формула

(A₁& A₂&...&A_n)É(PÉQ)

является тавтологией. Последняя формула равносильна формуле

(A₁& A₂&...&A_n&P)ÉQ.

Доказательство истинности этой формулы мы можем записать в виде

A₁& A₂&...&A_n&P |=Q.

Таким образом, для непосредственного доказательства теоремы вида PÉQ, мы предполагаем истинность аксиом и ранее доказанных теорем и допускаем истинность высказывания P и далее показываем, что из всего этого с неизбежностью вытекает истинность Q.

Этот метод часто применяется в геометрии. Например, при доказательстве равенства боковых сторон треугольника, у которого углы при основании равны, допускается, что эти углы равны, а затем это используется в доказательстве равенства сторон.

Косвенные методы доказательства

Рассмотрим условное высказывание вида AÉB, где A - конъюнкция посылок, B - заключение. Иногда удобнее вместо доказательства истинности этого условного высказывания установить логическую истинность некоторого другого высказывания, равносильного исходному. Такие формы доказательства называются косвенными методами доказательства.

Еще одной формой косвенного метода доказательства, является доказательство по закону контрапозиции, основанное на равносильности

AÉB º ØBÉØA,

когда вместо истинности AÉB мы доказываем истинность ØBÉØA.

Преимущества этого метода доказательства проявляются при автоматизированном способе доказательства, т. е. когда доказательство совершают компьютер с помощью специальных программных систем доказательства теорем.

При построении выводов не всегда целесообразно ждать появления искомого заключения, просто применяя правила вывода. Именно такое часто случается, когда мы делаем допущение A для доказательства импликации AÉB. Мы применяем цепное правило и модус поненс к A и другим посылкам, чтобы в конце получить B. Однако можно пойти по неправильному пути, и тогда будет доказано много предложений, большинство из которых не имеет отношения к нашей цели. Этот метод носит название прямой волны и имеет тенденцию порождать лавину промежуточных результатов, если его запрограммировать для компьютера и не ограничить глубину.

Другая возможность - использовать контрапозицию и попытаться, например, доказать ØB É ØA вместо AÉB. Тогда мы допустим ØB и попробуем доказать ØA. Иными словами, допускается, что заключение B (правая часть исходной импликации) неверно, и делается попытка опровергнуть посылку A. Это позволяет двигаться как бы назад от конца к началу, применяя правила так, что старое заключение играет роль посылки. Такая организация поиска может лучше показать, какие результаты имеют отношение к делу. Она называется поиском от цели.

Доказательство приведением к противоречию

Частным случаем косвенных методов доказательства является приведение к противоречию (от противного). В этом методе используются следующие равносильности:

AÉB º Ø(AÉB) É (C&ØC) º (A&ØB)É(C&ØC),

AÉB º (A&ØB)ÉØA,

AÉB º (A&ØB)ÉB.

Используя вторую из приведенных равносильностей для доказательства AÉB мы допускаем одновременно A и ØB, т.е. предполагаем, что заключение ложно:

Ø(AÉB) º Ø(ØAÚB) º A & ØB.

Теперь мы можем двигаться и вперед от A, и назад от ØB. Если B выводимо из A, то, допустив A, мы доказали бы B. Поэтому, допустив ØB, мы получим противоречие. Если же мы выведем ØA из ØB, то тем самым получим противоречие с A. В общем случае мы можем действовать с обоих концов, выводя некоторое предложение C, двигаясь вперед, и его отрицание ØC, двигаясь назад. В случае удачи это доказывает, что наши посылки несовместимы или противоречивы. Отсюда мы выводим, что дополнительная посылка A&ØB должна быть ложна, а значит противоположное ей утверждение AÉB истинно. Метод приведения к противоречию часто используется в математике. Например, в геометрии мы можем допустить, что углы при основании некоторого треугольника равны, а противолежащие стороны не равны, и попробовать показать, что при этом и углы должны быть не равны, или получить еще какое-то противоречие.

Доказательство контрпримером

Многие математические гипотезы имеют в своей основе форму: "Все объекты со свойством A обладают свойством B". Мы можем записать это в виде формулы

"x (A(x)ÉB(x)),

где A(x) обозначает предикат "x обладает свойством A", B(x) - " x обладает свойством B". Если число возможных значений х является конечным, то в принципе доказательство может быть проведено с помощью разбора случаев, то есть непосредственной проверкой выполнимости гипотезы для каждого объекта. В случае, если число объектов не является конечным, то такой возможности не существует даже в принципе. Однако для доказательства ложности гипотезы достаточно привести хотя бы один пример (контрпример), для которого гипотеза не выполнима.

Нет ничего практичней хорошей теории.

Роберт Кирхгоф

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Глава 1. Основы теории множеств

Дорогой читатель перед Вами книжка которую мы довольно долго писали... Данное пособие предназначено для студентов технических специальностей у которых на курс математической логики...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Логический вывод

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Начальные понятия теории множеств
Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому мы можем его только пояснить, например, с помощью следующего псевдоопределения. Определение:

Интуитивный принцип объемности
Определение. Множества Aи B считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывают A=B, если A и B равны, и A

Отношения
Определение. Упорядоченная пара <x, y> интуитивно определяется как совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке. Две пары <

Функции
Определим понятие "функция", следуя Дирихле. По сути дела при таком определении мы отождествляем функци

Эквивалентность
Одним из самых важных типов отношений является отношение эквивалентности на множестве. Определение. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение r н

Зачем мы изучаем математическую логику?
Логика есть наука о законах и формах познающего мышления. Логика изучает мышление, но не всякое мышление, а лишь те мыслительные процессы, которые направлены на обнаружение и обосно

Высказывания
Мы начинаем изучать математическую логику со сравнительно ограниченного и нетрудного ее раздела, чтобы затем иметь возможность продвигаться вширь и вглубь. Этот раздел посвящен изуч

Логические связки
Грамматическими средствами в разговорном языке из нескольких высказываний можно составить сложное (составное) высказывание. Например, с помощью союзов "и", "или"

Формулы логики высказываний
Мы определим формальный язык для описания логики высказываний. Это описание чисто синтаксическое и оно не требует, чтобы формулы логики высказывания имели какую-то семантику (смысл)

Равносильность формул
Пусть A и B - две формулы и {X1, X2,…, Xn} - множество всех выск

Определение.
· Формула называется выполнимой, если на некотором наборе распределения истинностных значений переменных она принимает значение И. · Формула называется тождественно-ложной ил

Нормальные формы формул
Содержание этого параграфа изложим, следуя [24]. Будем рассматривать формулы, содержащие только логические операции &, Ú, Ø. Символы & и Ú назы

Разрешимость для логики высказываний
Проблемой разрешимости для логики высказываний называют следующую проблему: существует ли алгоритм, который позволил бы для произвольной формулы в конечное число шагов определить, я

Абстрактное определение булевых алгебр
Определение.Множество элементов B с заданным на нем двуместными операциями &Ugra

Модель исчисления высказываний
Пусть B - множество высказываний с обычными логическими операциями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания и равенство высказываний интерпретируется как их равносильность. Во второй главе показ

Булевы функции. Теорема о нормальной булевой форме
Рассмотрим еще одну модель булевой алгебры. Определение. Пусть M - произвольная булева алгебра с базисными операциями Ù, Ú, Ø. Рассмот

Определение.
Если булева алгебра M - двухэлементна (т. е. содержит только Ë и Î), то булевы функции называются двоичными функциями. Если в двухэлементной булевой алгебре элементы &Eum

Полные системы булевых функций
Определение.Система функций {f1, f2,…, fn} называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции f

Переключательные элементы
Пусть имеется "черный ящик" - некоторое устройство, внутренняя структура которого нас не интересует, а известно лишь, что оно имеет n упорядоченных "входов" (например, занумеров

Формулы логики предикатов
Существуют такие виды логических рассуждений, которые нельзя формализовать на языке логики высказываний. Вот примеры таких рассуждений: 1. Каждый любит сам себя. Значит, ко

Интерпретации
Формулы имеют смысл только тогда, когда имеется какая-нибудь интерпретация входящих в нее символов. Определение. Под интерпретацией мы будем понимат

Выполнимость и общезначимость
Определение.Формула A выполнима в данной интерпретации, если существует такой набор <a1, a2,…, an>, aiÎM, значений св

Формальные аксиоматические теории
Формальная теория представляет собой множество чисто абстрактных объектов (не связанных с внешним миром), в которой представлены

Исчисление высказываний
Оказывается множество тавтологий логики высказываний можно описать в рамках простой формальной аксиоматической теории - исчисления высказываний. Определим исчисление высказ

Теорема 5.2
1. Любая аксиома в исчислении высказываний является тавтологией. 2. Любая теорема в исчислении высказываний является тавтологией. Доказательство. То, что каждая аксиома A1-A3 явля

Исчисление предикатов
Исчисление предикатов - это аксиоматическая теория, символами которой являются, по существу, те же символы, что и в логике предикатов: 1) символы предметных переменных: x

Теорема 5.4
1. Аксиомы исчисления предикатов - общезначимые формулы. 2. Формула, получающаяся из общезначимых формулы по любому из правил вывода 1-4, является общезначимой. 3. Любая доказуема

Метод резолюций
Логическое программирование является, пожалуй, наиболее впечатляющим примером применения идей и методов математической логики (точнее, одного из ее разделов - теории логического выв

Неполнота математики
Таким образом, показано, что класс всех теорем исчисления предикатов совпадает с классом общезначимых формул. На этом примере мы видим силу формального аксиоматического метода. Но н

Понятие алгоритма и неформальная вычислимость
В этом разделе будет уточнено понятие алгоритма. Кроме того, будут даны строгие математические понятия, которые формализуют представление о том, что некоторые функции поддаются вычи

Определения
Этот подход к формализации понятия алгоритма принадлежит Гёделю и Клини (1936). Основная идея Гёделя сос

Ламбда - исчисление
Значение ламбда-исчисления Ламбда-исчисление было изобретено Алонсом Чёрчем около 1930 г. Чёрч первоначально строил l-исчисление как часть

Машины Тьюринга
Рассмотрим еще один способ определения вычислимых функций, следуя в изложении [29, стр. 12-14]. Ф

Тезис Чёрча
За последние 60 лет было предложено много различных математических уточнений интуитивного понятия алгоритма. Три из этих подхода мы разобрали. Перечислим некоторые другие альтернати

Некоторые алгоритмически неразрешимые проблемы
Определение. Предикат M(x) называется разрешимым, если его характеристическая функция, задаваемая формулой cM(x

Сложность алгоритмов
Применение математики во многих приложениях, требует как правило, использования различных алгоритмов. Для решения многих задач не трудно придумать комбинаторные алгоритмы, сводящиес

NP-трудные и NP-полные задачи
Различные задачи, относящие к классу NP являются эквивалентными относительно некоторого отношения, которое мы сейчас определим. Определение. Задача Q по

Трехзначная система Я. Лукасевича
Эта пропозиционная логика была построена Я. Лукасевичем в 1920 году [34]. Лукасевич обозначил «истину» за «1», «ложь» за «0» и ввел третье значение – «нейтрально» - ½. Основными функциями им

Логика Гейтинга
Из закона исключенного терьего в двузначной логике выводятся: 1. ØØх É х 2. х É ØØх Гейтинг создал трехзначную пропозицио

Трехзначная система Бочвара Д.А.
Система создавалась Бочваром Д.А. [36] для разрешения парадоксов классической математической логики методом формального доказательства бессмысленности определенных высказываний. Нап

К - значная логика Поста Е.Л.
Логика Поста [37] является обобщением частного случая – двузначной логики, когда К=2. Действительно, по Посту значения истинности принимают значения 1, 2,…,К (при К ³ 2 и К – к

Цели и задачи дисициплины
Цели преподавания дисциплины является ознакомление студентов с основами математической логики, теории алгоритмов с методами оценки сложности алгоритмов и построения эффективных алгоритмов.

Наименование тем
Введение История развития математической логики и теории алгоритмов. Математическая логика и основания математики. Теория алгоритмов и принципиальные возмож

КОНТРОЛЬНАЯ № 2
Вариант 1 1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний: "Для того, чтобы x бы