КОНТРОЛЬНАЯ № 2

Вариант 1

 

1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:

"Для того, чтобы x было нечетным, достаточно, чтобы x было простым";

2. При каких значениях переменных x, y, z формула

((xÉ(y&z))É(ØyÉØx))ÉØy ложна?

3. Является ли тавтологией формула ((pÉq)&(ØrÉØq)&(tÉØr))É(pÉØt) ?

4. Доказать выполнимость формулы Ø(pÉØp).

5. Пусть даны предикаты на множестве целых чисел

E(x) º "x - четное число" и D(x,y) º "y делится на x"

Переведите на обычный язык формулу

$x(E(x)ÚD(6,x)).

6. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

G(x,y,z) º "z - наибольший общий делитель x и y".

Запишите утверждения на языке логики предикатов:

"если x делится на y и y делится на z, то x делится на z";

7. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

"система уравнений

x + y = 1

2x + 2y = 0

не имеет решения";

8. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =), каждое из следующих высказываний запишите при помощи логических символов, определите, истинное оно или ложное:

"для любых действительных чисел x и y, если x<y и y¹0, то x/y<1".

 

Вариант 2

 

1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:

"Если идет дождь, то дует ветер".

2. Доказать, что A~B º ØA~ØB.

3. Проверьте, что формула ((pÉq)&p) É q является тавтологией.

3. При каких значениях переменных x, y, z формула

((xÉ(y&z))É(ØyÉØx))ÉØy ложна?

5. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

I(x,y) º "x равно y";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулу

"x (ØI(1,x)É$y (P(y)&D(y,x))).

6. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

G(x,y,z) º "z - наибольший общий делитель x и y".

Запишите утверждения на языке логики предикатов:

"если d - наибольший общий делитель a и b, то a и b делятся на d и d делится на любой общий делитель a и b".

7. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

"существует ровно одно положительное значение квадратного корня из положительного число".

8. Используя только предикаты "x = y" и D(x,y)º"y делится на x", запишите при помощи логических символов следующие формулы от переменных, принимающих натуральные значения:

"x - простое число";

 

Вариант 3

 

1. Обосновать метод доказательства "разбором случаев": для того, чтобы доказать формулу (A₁ÚA₂Ú…ÚA_n)ÉB необходимо и достаточно доказать формулу (A₁ÉB)&(A₂ÉB)&…&(A_nÉB).

2. Построить формулу от трех переменных, которая истинна в том и только том случае, когда ровно две переменные ложны.

3. Что можно сказать об истинностном значении высказывания

(Øp&Øq)~(pÚq), если pÉq ложно?

4. Доказать, что A~B º ØA~ØB.

5. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулы:

"x (P(x)É ØD(2,x));

и ответьте истинны они или нет.

6. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

"если произведение двух чисел равно 0, то хотя бы один из сомножителей равен 0";

7. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =), каждое из следующих высказываний запишите при помощи логических символов, определите, истинное оно или ложное:

"существует такое целое x, что x² - 4 = 0";

8. Используя только предикаты "x = y" и D(x,y)º"y делится на x", запишите при помощи логических символов следующие формулы от переменных, принимающих натуральные значения:

"a и b - взаимно простые числа".

 

Вариант 4

 

1. Что можно сказать об истинностном значении высказывания (Øp&Øq)~(pÚq), если pÉq ложно?

2. Выразить AÚB через A,B и символ É.

3. Обосновать метод доказательства "разбором случаев": для того, чтобы доказать формулу (A₁ÚA₂Ú…ÚA_n)ÉB необходимо и достаточно доказать формулу (A₁ÉB)&(A₂ÉB)&…&(A_nÉB).

4. Построить формулу от трех переменных, которая истинна в том и только том случае, когда ровно две переменные ложны.

5. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулы:

"x "y (ØP(x)É D(x,y))

и ответьте истинны они или нет.

6. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

б) "система уравнений

x + y = 1

2x + 2y = 0

не имеет решения";

7. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =), каждое из следующих высказываний запишите при помощи логических символов, определите, истинное оно или ложное:

"для любых действительных чисел x и y, если x<y и y¹0, то x/y<1".

8. На множестве натуральных чисел заданы предикаты S(x,y,z)º"x + y = z" и P(x,y,z)º"x ´ y = z".

Записать формулу с двумя свободными переменными - истинную тогда и только тогда, когда x и y являются простыми числами-близнецами.

 

Вариант 5

 

1. Проверьте, что формула ((pÉq)&p) É q является тавтологией.

2. Мальчик решил в воскресенье закончить чтение книги, сходить в музей или кино, а если будет хорошая погода - пойти на реку выкупаться. В каком случае можно сказать, что решение мальчика не выполнено? Запишите формулу истинную тогда и только тогда, когда решение мальчика не выполнено (отрицания должны содержаться лишь в простых высказываниях).

3. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:

"Если идет дождь, то дует ветер".

4. Выразить AÚB через A,B и символ É.

5. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

G(x,y,z) º "z - наибольший общий делитель x и y".

Запишите утверждения на языке логики предикатов:

"если x делится на y и y делится на z, то x делится на z";

6. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

"существует ровно одно положительное значение квадратного корня из положительного число".

7. Используя только предикаты "x = y" и D(x,y)º"y делится на x", запишите при помощи логических символов следующие формулы от переменных, принимающих натуральные значения:

"x - простое число";

8. На множестве натуральных чисел заданы предикаты S(x,y,z)º"x + y = z" и P(x,y,z)º"x ´ y = z".

Записать предложение, выражающее не существование 1.

 

Вариант 6

 

1. Является ли тавтологией формула ((pÉq)&(ØrÉØq)&(tÉØr))É(pÉØt) ?

2.

3. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:

"Для того, чтобы x было нечетным, достаточно, чтобы x было простым";

4. Мальчик решил в воскресенье закончить чтение книги, сходить в музей или кино, а если будет хорошая погода - пойти на реку выкупаться. В каком случае можно сказать, что решение мальчика не выполнено? Запишите формулу истинную тогда и только тогда, когда решение мальчика не выполнено (отрицания должны содержаться лишь в простых высказываниях).

5. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

G(x,y,z) º "z - наибольший общий делитель x и y".

Запишите утверждения на языке логики предикатов:

"если d - наибольший общий делитель a и b, то a и b делятся на d и d делится на любой общий делитель a и b".

6. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =), каждое из следующих высказываний запишите при помощи логических символов, определите, истинное оно или ложное:

"существует такое целое x, что x² - 4 = 0";

7. Используя только предикаты "x = y" и D(x,y)º"y делится на x", запишите при помощи логических символов следующие формулы от переменных, принимающих натуральные значения:

"a и b - взаимно простые числа".

8. На множестве натуральных чисел заданы предикаты S(x,y,z)º"x + y = z" и P(x,y,z)º"x ´ y = z".

Записать высказывание, выражающее бесконечность множества простых чисел-близнецов.

 

Вариант 7

 

1. Доказать выполнимость формулы Ø(pÉØp).

2. Проверьте, что формула ((pÉq)&p) É q является тавтологией.

3. Подозреваются в совершении преступления Жан и Пьер. На суде выступили четыре свидетеля со следующими заявлениями:

а) Пьер не виноват;

б) Жан не виноват;

в) из первых двух показаний по меньшей мере одно истинно;

г) показания третьего свидетеля ложны.

Следствие установило, что четвертый свидетель прав. Кто преступники?

4. Преобразовать к ДНФ формулу Ø(xÚy)&(xÉy).

5. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

"если произведение двух чисел равно 0, то хотя бы один из сомножителей равен 0";

6. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =), каждое из следующих высказываний запишите при помощи логических символов, определите, истинное оно или ложное:

"для любых действительных чисел x и y, если x<y и y¹0, то x/y<1".

7. На множестве натуральных чисел заданы предикаты S(x,y,z)º"x + y = z" и P(x,y,z)º"x ´ y = z".

Записать формулу с двумя свободными переменными - истинную тогда и только тогда, когда x и y являются простыми числами-близнецами.

8. Пусть на некотором универсальном множестве U задан предикат Q(x,y) º "x Í y". Запишите, что "множество x есть пересечение множеств y и z".

Вариант 8

 

1. При каких значениях переменных x, y, z формула ((xÉ(y&z))É(ØyÉØx))ÉØy ложна?

2. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:

"Для того, чтобы x было нечетным, достаточно, чтобы x было простым";

3. Преобразовать к ДНФ формулу Ø(xÚy)&(xÉy).

4. Подозреваются в совершении преступления Жан и Пьер. На суде выступили четыре свидетеля со следующими заявлениями:

1) Пьер не виноват;

2) Жан не виноват;

3) из первых двух показаний по меньшей мере одно истинно;

4) показания третьего свидетеля ложны.

Следствие установило, что четвертый свидетель прав. Кто преступники?

5. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

б) "система уравнений

x + y = 1

2x + 2y = 0

не имеет решения";

6. Используя только предикаты "x = y" и D(x,y)º"y делится на x", запишите при помощи логических символов следующие формулы от переменных, принимающих натуральные значения:

"x - простое число";

7. На множестве натуральных чисел заданы предикаты S(x,y,z)º"x + y = z" и P(x,y,z)º"x ´ y = z".

Записать предложение, выражающее не существование 1.

8. Пусть даны предикаты на множестве целых чисел

E(x) º "x - четное число" и D(x,y) º "y делится на x"

Переведите на обычный язык формулу

$x(E(x)ÚD(6,x)).

Вариант 9

 

1. Доказать, что A~B º ØA~ØB.

2. Обосновать метод доказательства "разбором случаев": для того, чтобы доказать формулу (A₁ÚA₂Ú…ÚA_n)ÉB необходимо и достаточно доказать формулу (A₁ÉB)&(A₂ÉB)&…&(A_nÉB).

3. Мальчик решил в воскресенье закончить чтение книги, сходить в музей или кино, а если будет хорошая погода - пойти на реку выкупаться. В каком случае можно сказать, что решение мальчика не выполнено? Запишите формулу истинную тогда и только тогда, когда решение мальчика не выполнено (отрицания должны содержаться лишь в простых высказываниях).

4. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:

"Для того, чтобы x было нечетным, достаточно, чтобы x было простым";

5. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

"существует ровно одно положительное значение квадратного корня из положительного число".

6. Используя только предикаты "x = y" и D(x,y)º"y делится на x", запишите при помощи логических символов следующие формулы от переменных, принимающих натуральные значения:

"a и b - взаимно простые числа".

7. На множестве натуральных чисел заданы предикаты S(x,y,z)º"x + y = z" и P(x,y,z)º"x ´ y = z".

Записать высказывание, выражающее бесконечность множества простых чисел-близнецов.

8. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

I(x,y) º "x равно y";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулу

"x (ØI(1,x)É$y (P(y)&D(y,x))).

 

Вариант 10

 

1. Построить формулу от трех переменных, которая истинна в том и только том случае, когда ровно две переменные ложны.

2. Что можно сказать об истинностном значении высказывания (Øp&Øq)~(pÚq), если pÉq ложно?

3. Выразить AÚB через A,B и символ É.

4. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:

"Если идет дождь, то дует ветер".

5. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =), каждое из следующих высказываний запишите при помощи логических символов, определите, истинное оно или ложное:

"существует такое целое x, что x² - 4 = 0";

6. На множестве натуральных чисел заданы предикаты S(x,y,z)º"x + y = z" и P(x,y,z)º"x ´ y = z".

Записать формулу с двумя свободными переменными - истинную тогда и только тогда, когда x и y являются простыми числами-близнецами.

7. Пусть на некотором универсальном множестве U задан предикат Q(x,y) º "x Í y". Запишите, что "множество x есть пересечение множеств y и z".

8. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулы:

"x (P(x)É ØD(2,x));

и ответьте истинны они или нет.

 

Вариант 11

 

1. Выразить AÚB через A,B и символ É.

2. Проверьте, что формула ((pÉq)&p) É q является тавтологией.

3. Построить формулу от трех переменных, которая истинна в том и только том случае, когда ровно две переменные ложны.

4. Обосновать метод доказательства "разбором случаев": для того, чтобы доказать формулу (A₁ÚA₂Ú…ÚA_n)ÉB необходимо и достаточно доказать формулу (A₁ÉB)&(A₂ÉB)&…&(A_nÉB).

5. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =), каждое из следующих высказываний запишите при помощи логических символов, определите, истинное оно или ложное:

"для любых действительных чисел x и y, если x<y и y¹0, то x/y<1".

6. На множестве натуральных чисел заданы предикаты S(x,y,z)º"x + y = z" и P(x,y,z)º"x ´ y = z".

Записать предложение, выражающее не существование 1.

7. Пусть даны предикаты на множестве целых чисел

E(x) º "x - четное число" и D(x,y) º "y делится на x"

Переведите на обычный язык формулу

$x(E(x)ÚD(6,x)).

8. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулы:

"x "y (ØP(x)É D(x,y))

и ответьте истинны они или нет.

 

Вариант 12

 

1. Мальчик решил в воскресенье закончить чтение книги, сходить в музей или кино, а если будет хорошая погода - пойти на реку выкупаться. В каком случае можно сказать, что решение мальчика не выполнено? Запишите формулу истинную тогда и только тогда, когда решение мальчика не выполнено (отрицания должны содержаться лишь в простых высказываниях).

2. Является ли тавтологией формула ((pÉq)&(ØrÉØq)&(tÉØr))É(pÉØt) ?

3. Доказать, что A~B º ØA~ØB.

4. Что можно сказать об истинностном значении высказывания (Øp&Øq)~(pÚq), если pÉq ложно?

5. Используя только предикаты "x = y" и D(x,y)º"y делится на x", запишите при помощи логических символов следующие формулы от переменных, принимающих натуральные значения:

"x - простое число";

6. На множестве натуральных чисел заданы предикаты S(x,y,z)º"x + y = z" и P(x,y,z)º"x ´ y = z".

Записать высказывание, выражающее бесконечность множества простых чисел-близнецов.

7. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

I(x,y) º "x равно y";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулу

"x (ØI(1,x)É$y (P(y)&D(y,x))).

8. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

G(x,y,z) º "z - наибольший общий делитель x и y".

Запишите утверждения на языке логики предикатов:

"если x делится на y и y делится на z, то x делится на z";

 

Вариант 13

 

1. Преобразовать к ДНФ формулу Ø(xÚy)&(xÉy).

2. Доказать выполнимость формулы Ø(pÉØp).

3. При каких значениях переменных x, y, z формула ((xÉ(y&z))É(ØyÉØx))ÉØy ложна?

4. Проверьте, что формула ((pÉq)&p) É q является тавтологией.

5. Используя только предикаты "x = y" и D(x,y)º"y делится на x", запишите при помощи логических символов следующие формулы от переменных, принимающих натуральные значения:

"a и b - взаимно простые числа".

6. Пусть на некотором универсальном множестве U задан предикат Q(x,y) º "x Í y". Запишите, что "множество x есть пересечение множеств y и z".

7. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулы:

"x (P(x)É ØD(2,x));

и ответьте истинны они или нет.

8. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

G(x,y,z) º "z - наибольший общий делитель x и y".

Запишите утверждения на языке логики предикатов:

"если d - наибольший общий делитель a и b, то a и b делятся на d и d делится на любой общий делитель a и b".

 

Вариант 14

 

1. Подозреваются в совершении преступления Жан и Пьер. На суде выступили четыре свидетеля со следующими заявлениями:

а) Пьер не виноват;

б) Жан не виноват;

в) из первых двух показаний по меньшей мере одно истинно;

г) показания третьего свидетеля ложны.

Следствие установило, что четвертый свидетель прав. Кто преступники?

2. При каких значениях переменных x, y, z формула ((xÉ(y&z))É(ØyÉØx))ÉØy ложна?

3. Доказать выполнимость формулы Ø(pÉØp).

4. Является ли тавтологией формула ((pÉq)&(ØrÉØq)&(tÉØr))É(pÉØt) ?

5. На множестве натуральных чисел заданы предикаты S(x,y,z)º"x + y = z" и P(x,y,z)º"x ´ y = z".

Записать формулу с двумя свободными переменными - истинную тогда и только тогда, когда x и y являются простыми числами-близнецами.

6. Пусть даны предикаты на множестве целых чисел

E(x) º "x - четное число" и D(x,y) º "y делится на x"

Переведите на обычный язык формулу

$x(E(x)ÚD(6,x)).

7. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулы:

"x "y (ØP(x)É D(x,y))

и ответьте истинны они или нет.

8. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

"если произведение двух чисел равно 0, то хотя бы один из сомножителей равен 0";

 

Вариант 15

 

1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:

"Если идет дождь, то дует ветер".

2. Доказать, что A~B º ØA~ØB.

3. Является ли тавтологией формула ((pÉq)&(ØrÉØq)&(tÉØr))É(pÉØt) ?

4. Доказать выполнимость формулы Ø(pÉØp).

5. На множестве натуральных чисел заданы предикаты S(x,y,z)º"x + y = z" и P(x,y,z)º"x ´ y = z".

Записать предложение, выражающее не существование 1.

6. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

I(x,y) º "x равно y";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулу

"x (ØI(1,x)É$y (P(y)&D(y,x))).

7. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

G(x,y,z) º "z - наибольший общий делитель x и y".

Запишите утверждения на языке логики предикатов:

а) "если x делится на y и y делится на z, то x делится на z";

8. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

"система уравнений

x + y = 1

2x + 2y = 0

не имеет решения";

 

Вариант 16

 

1. Обосновать метод доказательства "разбором случаев": для того, чтобы доказать формулу (A₁ÚA₂Ú…ÚA_n)ÉB необходимо и достаточно доказать формулу (A₁ÉB)&(A₂ÉB)&…&(A_nÉB).

2. Построить формулу от трех переменных, которая истинна в том и только том случае, когда ровно две переменные ложны.

3. Проверьте, что формула ((pÉq)&p) É q является тавтологией.

4. При каких значениях переменных x, y, z формула ((xÉ(y&z))É(ØyÉØx))ÉØy ложна?

5. На множестве натуральных чисел заданы предикаты S(x,y,z)º"x + y = z" и P(x,y,z)º"x ´ y = z".

Записать высказывание, выражающее бесконечность множества простых чисел-близнецов.

6. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулы:

а) "x (P(x)É ØD(2,x));

и ответьте истинны они или нет.

7. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

G(x,y,z) º "z - наибольший общий делитель x и y".

Запишите утверждения на языке логики предикатов:

"если d - наибольший общий делитель a и b, то a и b делятся на d и d делится на любой общий делитель a и b".

8. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

"существует ровно одно положительное значение квадратного корня из положительного число".

 

Вариант 17

 

1. Что можно сказать об истинностном значении высказывания (Øp&Øq)~(pÚq), если pÉq ложно?

2. Выразить AÚB через A,B и символ É.

3. Является ли тавтологией формула ((pÉq)&(ØrÉØq)&(tÉØr))É(pÉØt) ?

4. Доказать, что A~B º ØA~ØB.

5. Пусть на некотором универсальном множестве U задан предикат Q(x,y) º "x Í y". Запишите, что "множество x есть пересечение множеств y и z".

6. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулы:

"x "y (ØP(x)É D(x,y))

и ответьте истинны они или нет.

7. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

"если произведение двух чисел равно 0, то хотя бы один из сомножителей равен 0";

8. Используя только предикаты "x = y" и D(x,y)º"y делится на x", запишите при помощи логических символов следующие формулы от переменных, принимающих натуральные значения:

"x - простое число";

 

Вариант 18

 

1. Проверьте, что формула ((pÉq)&p) É q является тавтологией.

2. Мальчик решил в воскресенье закончить чтение книги, сходить в музей или кино, а если будет хорошая погода - пойти на реку выкупаться. В каком случае можно сказать, что решение мальчика не выполнено? Запишите формулу истинную тогда и только тогда, когда решение мальчика не выполнено (отрицания должны содержаться лишь в простых высказываниях).

3. Обосновать метод доказательства "разбором случаев": для того, чтобы доказать формулу (A₁ÚA₂Ú…ÚA_n)ÉB необходимо и достаточно доказать формулу (A₁ÉB)&(A₂ÉB)&…&(A_nÉB).

4. Построить формулу от трех переменных, которая истинна в том и только том случае, когда ровно две переменные ложны.

5. Пусть даны предикаты на множестве целых чисел

E(x) º "x - четное число" и D(x,y) º "y делится на x"

Переведите на обычный язык формулу

$x(E(x)ÚD(6,x)).

6. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

G(x,y,z) º "z - наибольший общий делитель x и y".

Запишите утверждения на языке логики предикатов:

"если x делится на y и y делится на z, то x делится на z";

7. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах: "система уравнений

x + y = 1

2x + 2y = 0

не имеет решения";

8. Используя только предикаты "x = y" и D(x,y)º"y делится на x", запишите при помощи логических символов следующие формулы от переменных, принимающих натуральные значения:

"a и b - взаимно простые числа".

 

Вариант 19

 

1. Является ли тавтологией формула ((pÉq)&(ØrÉØq)&(tÉØr))É(pÉØt) ?

2. Преобразовать к ДНФ формулу Ø(xÚy)&(xÉy).

3. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:

"Если идет дождь, то дует ветер".

4. Выразить AÚB через A,B и символ É.

5. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

I(x,y) º "x равно y";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулу

"x (ØI(1,x)É$y (P(y)&D(y,x))).

6. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

G(x,y,z) º "z - наибольший общий делитель x и y".

Запишите утверждения на языке логики предикатов:

"если d - наибольший общий делитель a и b, то a и b делятся на d и d делится на любой общий делитель a и b".

7. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

"существует ровно одно положительное значение квадратного корня из положительного число".

8. Пусть на некотором универсальном множестве U задан предикат Q(x,y) º "x Í y". Запишите, что "множество x есть пересечение множеств y и z".

Вариант 20

 

1. Доказать выполнимость формулы Ø(pÉØp).

2. Подозреваются в совершении преступления Жан и Пьер. На суде выступили четыре свидетеля со следующими заявлениями:

а) Пьер не виноват;

б) Жан не виноват;

в) из первых двух показаний по меньшей мере одно истинно;

г) показания третьего свидетеля ложны.

Следствие установило, что четвертый свидетель прав. Кто преступники?

3. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:

"Для того, чтобы x было нечетным, достаточно, чтобы x было простым";

4. Мальчик решил в воскресенье закончить чтение книги, сходить в музей или кино, а если будет хорошая погода - пойти на реку выкупаться. В каком случае можно сказать, что решение мальчика не выполнено? Запишите формулу истинную тогда и только тогда, когда решение мальчика не выполнено (отрицания должны содержаться лишь в простых высказываниях).

5. Пусть даны предикаты на множестве натуральных чисел:

D(x,y) º "y делится на x";

P(x) º "x - простое число".

Переведите на обычный язык формулы:

"x (P(x)É ØD(2,x));

и ответьте истинны они или нет.

6. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =) запишите на языке логики предикатов следующие высказывания о действительных числах:

"если произведение двух чисел равно 0, то хотя бы один из сомножителей равен 0";

7. Пользуясь знаками арифметических операций (+, ´) и отношений (<, =), каждое из следующих высказываний запишите при помощи логических символов, определите, истинное оно или ложное:

"существует такое целое x, что x² - 4 = 0";

8. На множестве натуральных чисел заданы предикаты S(x,y,z)º"x + y = z" и P(x,y,z)º"x ´ y = z".

Записать высказывание, выражающее бесконечность множества простых чисел-близнецов.