рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Логические связки

Логические связки - раздел Философия, Глава 1. Основы теории множеств   Грамматическими Средствами В Разговорном Языке Из Нескольких ...

 

Грамматическими средствами в разговорном языке из нескольких высказываний можно составить сложное (составное) высказывание. Например, с помощью союзов "и", "или" и отрицательной частицы "не" можно из простых высказываний "Москва - столица США" (ложного) и "Берлин - столица Германии" (истинного) составить следующие сложные высказывания: "Москва - не столица США", "Москва - столица США или Берлин - столица Германии", "Москва - столица США и Берлин - столица Германии". Первые два высказывания истинны, а последнее ложное.

В математической логике используются специальные операции (конструкции), позволяющие из исходных высказываний получать более сложные высказывания. Эти операции обозначаются символами: "&", "Ú", "É", "~", "Ø". Первые четыре операции - бинарные (двуместные), пятая - унарная (одноместная).

Эти логические операции (связки) над высказываниями таковы, что истинностные значения составных высказываний определяются только истинностными значениями составляющих высказываний, а не их смыслом.

Отрицанием высказывания P называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание P ложно. Отрицание P обозначается через Ш P и читается как "не P". Отрицание высказывания определяется также таблицей истинности (см. табл. 1).

В разговорной речи отрицание соответствует составлению из высказывания P нового высказывания, которое передается словами "неверно, что P" или "не P".

Таблица 1

P ШP
И Л
Л И

Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Конъюнкция высказываний P и Q обозначается через P&Q и читается как "P и Q". Конъюнкция определяется также таблицей истинности (см. табл. 2).

В разговорной речи конъюнкция соответствует обычно соединению высказываний союзом "и". Кроме того, следующий список выражений в словесных рассуждений часто может истолковываться как конъюнкция: "не только A, но и B", "как A, так и B", "A вместе с B", "A, в то время как B", "B, хотя и A".

Таблица 2

P Q P&Q
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л Л

Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Дизъюнкция высказываний P и Q обозначается через PЪQ и читается как "P или Q". Дизъюнкция определяется также таблицей истинности (см. табл.3).

В разговорной речи дизъюнкция соответствует соединению высказываний союзом "или" в "неразделительном смысле". Дизъюнкция передается также часто выражениями: "... или ... или оба", "и/или".

Таблица 3

P Q PЪQ
И И И
И Л И
Л И И
Л Л Л

Из двух высказываний P и Q можно составить высказывание "P влечет Q" (или, иначе, "если P, то Q"). Не математик может признать утверждение типа "если 2‰2 = 5, то Москва - столица России" ложным, поскольку для него истинность высказывания "P влечет Q" означает, что P по смыслу должно влечь за собой Q. Но тогда связка "влечет" зависит от смысла самих этих высказываний. Однако практика показывает, что можно обороты типа "P влечет Q" и "из P следует Q" использовать таким образом, чтобы под ними каждый раз подразумевалась некоторая операция, не зависящая от смысла высказываний. Рассмотрим следующие высказывания [24, с. 25]:

1) если 0 = 0, то 1 = 1; 2) если 0 = 1, то 0 = 0;

3) если 0 = 0, то 0 = 1; 4) если 0 = 1, то 1 = 2.

Первое утверждение естественно считать истинным, поскольку, используя равенство 0 = 0, а также другие свойства чисел, можно вывести равенство 1 = 1 (например, прибавляя 1 к обеим частям равенства 0 = 0).

Второе утверждение также естественно считать истинным: умножая на 0 обе части равенства 0 = 1, получаем равенство 0 = 0.

Третье утверждение приходится считать ложным, ибо, исходя из верного равенства, мы с помощью умозаключений никогда не придем к ложному.

Четвертое рассуждение естественно считать истинным: прибавляя 1 к обеим частям равенства 0 = 1, получаем равенство 1 = 2.

Таким образом, используя оборот "если P, то Q" как логическую операцию (связку), определим её следующим образом.

Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда P - истинно, а Q - ложно. Импликация высказываний P и Q обозначается через PЙQ (или PЮQ) и читается как "P влечет Q" (или, иначе, "если P, то Q", "из P следует Q", "Q только, если P", "коль скоро A, то B", "в случае A имеет место B", "для B достаточно A", "для A необходимо B"). Высказывание P называется посылкой импликации, а высказывание Q - заключением импликации. Импликация определяется также таблицей истинности (см. табл. 4).

Таблица 4

P Q PЙQ
И И И
И Л Л
Л И И
Л Л И

Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинностные значения P и Q совпадают. Эквиваленция высказываний P и Q обозначается через P~Q и читается как "P эквивалентно Q" (используются также слова "равносильно", "тогда и только тогда", "если A, то B, и обратно", "A, если и только если B", "для A необходимо и достаточно B"). Эквиваленция определяется также таблицей истинности (см. табл. 5).

 

Таблица 5

P Q P~Q
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л И

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Глава 1. Основы теории множеств

Дорогой читатель перед Вами книжка которую мы довольно долго писали... Данное пособие предназначено для студентов технических специальностей у которых на курс математической логики...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Логические связки

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Начальные понятия теории множеств
  Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому мы можем его только пояснить, например, с помощью следующего псевдоопределения. Определение:

Интуитивный принцип объемности
Определение. Множества Aи B считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывают A=B, если A и B равны, и A

Отношения
Определение. Упорядоченная пара <x, y> интуитивно определяется как совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке. Две пары <

Функции
Определим понятие "функция", следуя Дирихле. По сути дела при таком определении мы отождествляем функци

Эквивалентность
  Одним из самых важных типов отношений является отношение эквивалентности на множестве. Определение. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение r н

Зачем мы изучаем математическую логику?
  Логика есть наука о законах и формах познающего мышления. Логика изучает мышление, но не всякое мышление, а лишь те мыслительные процессы, которые направлены на обнаружение и обосно

Высказывания
  Мы начинаем изучать математическую логику со сравнительно ограниченного и нетрудного ее раздела, чтобы затем иметь возможность продвигаться вширь и вглубь. Этот раздел посвящен изуч

Формулы логики высказываний
  Мы определим формальный язык для описания логики высказываний. Это описание чисто синтаксическое и оно не требует, чтобы формулы логики высказывания имели какую-то семантику (смысл)

Равносильность формул
  Пусть A и B - две формулы и {X1, X2,…, Xn} - множество всех выск

Определение.
· Формула называется выполнимой, если на некотором наборе распределения истинностных значений переменных она принимает значение И. · Формула называется тождественно-ложной ил

Нормальные формы формул
  Содержание этого параграфа изложим, следуя [24]. Будем рассматривать формулы, содержащие только логические операции &, Ú, Ø. Символы & и Ú назы

Разрешимость для логики высказываний
  Проблемой разрешимости для логики высказываний называют следующую проблему: существует ли алгоритм, который позволил бы для произвольной формулы в конечное число шагов определить, я

Абстрактное определение булевых алгебр
  Определение.Множество элементов B с заданным на нем двуместными операциями &Ugra

Модель исчисления высказываний
Пусть B - множество высказываний с обычными логическими операциями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания и равенство высказываний интерпретируется как их равносильность. Во второй главе показ

Булевы функции. Теорема о нормальной булевой форме
  Рассмотрим еще одну модель булевой алгебры. Определение. Пусть M - произвольная булева алгебра с базисными операциями Ù, Ú, Ø. Рассмот

Определение.
Если булева алгебра M - двухэлементна (т. е. содержит только Ë и Î), то булевы функции называются двоичными функциями. Если в двухэлементной булевой алгебре элементы &Eum

Полные системы булевых функций
  Определение.Система функций {f1, f2,…, fn} называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции f

Переключательные элементы
Пусть имеется "черный ящик" - некоторое устройство, внутренняя структура которого нас не интересует, а известно лишь, что оно имеет n упорядоченных "входов" (например, занумеров

Формулы логики предикатов
  Существуют такие виды логических рассуждений, которые нельзя формализовать на языке логики высказываний. Вот примеры таких рассуждений: 1. Каждый любит сам себя. Значит, ко

Интерпретации
  Формулы имеют смысл только тогда, когда имеется какая-нибудь интерпретация входящих в нее символов. Определение. Под интерпретацией мы будем понимат

Выполнимость и общезначимость
Определение.Формула A выполнима в данной интерпретации, если существует такой набор <a1, a2,…, an>, aiÎM, значений св

Формальные аксиоматические теории
Формальная теория представляет собой множество чисто абстрактных объектов (не связанных с внешним миром), в которой представлены

Исчисление высказываний
  Оказывается множество тавтологий логики высказываний можно описать в рамках простой формальной аксиоматической теории - исчисления высказываний. Определим исчисление высказ

Теорема 5.2
1. Любая аксиома в исчислении высказываний является тавтологией. 2. Любая теорема в исчислении высказываний является тавтологией. Доказательство. То, что каждая аксиома A1-A3 явля

Исчисление предикатов
  Исчисление предикатов - это аксиоматическая теория, символами которой являются, по существу, те же символы, что и в логике предикатов: 1) символы предметных переменных: x

Теорема 5.4
1. Аксиомы исчисления предикатов - общезначимые формулы. 2. Формула, получающаяся из общезначимых формулы по любому из правил вывода 1-4, является общезначимой. 3. Любая доказуема

Логический вывод
  Терпеть не могу логики. Она всегда банальна и нередко убедительна. Оскар Уайльд   Формальная математика основывается на аксиоматическом методе. Внача

Метод резолюций
  Логическое программирование является, пожалуй, наиболее впечатляющим примером применения идей и методов математической логики (точнее, одного из ее разделов - теории логического выв

Неполнота математики
  Таким образом, показано, что класс всех теорем исчисления предикатов совпадает с классом общезначимых формул. На этом примере мы видим силу формального аксиоматического метода. Но н

Понятие алгоритма и неформальная вычислимость
  В этом разделе будет уточнено понятие алгоритма. Кроме того, будут даны строгие математические понятия, которые формализуют представление о том, что некоторые функции поддаются вычи

Определения
Этот подход к формализации понятия алгоритма принадлежит Гёделю и Клини (1936). Основная идея Гёделя сос

Ламбда - исчисление
Значение ламбда-исчисления   Ламбда-исчисление было изобретено Алонсом Чёрчем около 1930 г. Чёрч первоначально строил l-исчисление как часть

Машины Тьюринга
  Рассмотрим еще один способ определения вычислимых функций, следуя в изложении [29, стр. 12-14]. Ф

Тезис Чёрча
  За последние 60 лет было предложено много различных математических уточнений интуитивного понятия алгоритма. Три из этих подхода мы разобрали. Перечислим некоторые другие альтернати

Некоторые алгоритмически неразрешимые проблемы
  Определение. Предикат M(x) называется разрешимым, если его характеристическая функция, задаваемая формулой cM(x

Сложность алгоритмов
  Применение математики во многих приложениях, требует как правило, использования различных алгоритмов. Для решения многих задач не трудно придумать комбинаторные алгоритмы, сводящиес

NP-трудные и NP-полные задачи
  Различные задачи, относящие к классу NP являются эквивалентными относительно некоторого отношения, которое мы сейчас определим. Определение. Задача Q по

Трехзначная система Я. Лукасевича
Эта пропозиционная логика была построена Я. Лукасевичем в 1920 году [34]. Лукасевич обозначил «истину» за «1», «ложь» за «0» и ввел третье значение – «нейтрально» - ½. Основными функциями им

Логика Гейтинга
  Из закона исключенного терьего в двузначной логике выводятся: 1. ØØх É х 2. х É ØØх Гейтинг создал трехзначную пропозицио

Трехзначная система Бочвара Д.А.
  Система создавалась Бочваром Д.А. [36] для разрешения парадоксов классической математической логики методом формального доказательства бессмысленности определенных высказываний. Нап

К - значная логика Поста Е.Л.
  Логика Поста [37] является обобщением частного случая – двузначной логики, когда К=2. Действительно, по Посту значения истинности принимают значения 1, 2,…,К (при К ³ 2 и К – к

Цели и задачи дисициплины
Цели преподавания дисциплины является ознакомление студентов с основами математической логики, теории алгоритмов с методами оценки сложности алгоритмов и построения эффективных алгоритмов.

Наименование тем
  Введение   История развития математической логики и теории алгоритмов. Математическая логика и основания математики. Теория алгоритмов и принципиальные возмож

КОНТРОЛЬНАЯ № 2
Вариант 1   1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний: "Для того, чтобы x бы

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги