Виконання роботи

За допомогою датчика випадкових чисел RANDOM генерується реалізація випадкової величини (=1…100), розподіленої рівномірно в інтервалі [0,1].

Для нормального розподілу з нульовим математичним очікуванням (=0,0) і одиничною дисперсією (=1,0) на основі двох послідовно узятих чисел (,), (,),…,(,) (для 100 значень мається 50 пар чисел) одержуємо відповідно два числа (,), (,),…,(,) нормально розподіленої випадкової величини

, ,

(=1,3,…,99).

При одержанні реалізації нормальної випадкової величини з ненульовим математичним очікуванням і стандартним відхиленням , відмінним від одиниці, використовується наступне співвідношення

(=1…100).

Значення вибирають з Таблиці 9.2, величина =0,01×.

Для всіх значень (=1…100) необхідно визначити реалізацію досліджуваного параметра (=1…100) відповідно до Таблиці 9.1. Дослідження проводиться за наступною схемою:

1. Визначити вибіркові оцінки математичного очікування і дисперсії досліджуваного параметра

, . (9.4)

2. Визначити мінімальне - , максимальне - значення, розмах . Для нормального розподілу майже всі значення (99,7%) випадкової величини знаходяться в інтервалі (), величину знаходять за формулою (9.4), Але є певні рекомендації щодо побудови гістограми, згідно з якими:

· для кількості дослідів (6< ≤100) інтервал ()

· для кількості дослідів (100<≤1000) інтервал ()

· для кількості дослідів (1000<≤10000) інтервал ().

Як варіант через неоднозначність вибору та можливість в подальшому отримати порожні стовпчики у побудові гістограми можна обрати .

3. Побудувати гістограму, згрупувавши реалізацію досліджуваного параметра (=1…100) у (=1.. ) інтервалах (кількість інтервалів – будь-яке ціле число від 5 до 10, в роботі рекомендовано прийняти =7). Зважаючи на унімодальний характер розподілу параметра , кількість інтервалів має бути непарним числом, але це не є обов'язковим. Ширина інтервалу

Тоді границі інтервалів визначаються наступним чином:

1-й інтервал - () або (),

2-й інтервал - () або (),

…………………………………………………………………………………………………………

-й інтервал - () або (),

…………………………………………………………………………………………………………

Для останнього -го інтервалу отримаємо

-й інтервал - () або (), або ().

4. Число влучень значень параметра у кожний -й інтервал записується у вигляді масиву чисел , , .., , причому сума =100. Є певні проблеми з віднесенням значення до якогось інтервалу, коли воно збігається з одним з граничних значень (), але в даній ситуації можна рекомендувати віднести таке проблемне значення до ближчого до центру інтервала. Головне уникнути подвійного додавання одного значення до сусідніх інтервалів.

5. Знаючи математичне очікування і дисперсію , досліджуваний параметр підкоряють нормальному розподілові

. (9.5)

6. Для визначення імовірності знаходження випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, на заданому інтервалі скористаємось загальними співвідношеннями

(9.6)

З урахуванням функції

(9.7)

імовірність остаточно записується у вигляді

. (9.8)

Прив’язуючись до введених позначень для границь інтервалів, для -го інтервалу запишемо

(9.9)

Функція є непарною функцією, тобто при розрахунках необхідно враховувати, що для від’ємного аргументу . Значення функції тільки для додатного аргументу приведено в Таблиці 9.4.

Імовірність знаходження випадкової величини, розподіленої за нормальним законом), на кожному -му інтервалі записується у виді масиву чисел , , .., , причому сума =1,0. Останнє через наближене визначення за формулою (9.9) доданків , , .., може не виконуватися та бути на рівні 0,98…0,99.

7. Визначається величина статистики за формулою

. (9.10)

8. За Таблицею 9.5 знаходимо значення для параметру . Імовірність «збігу» побудованої гістограми і відповідного до неї нормального закону визначається величиною -значення, рівного .

Слід зазначити, що часто при нормальному розподілі похибок прямих вимірів похибки заснованих на них непрямих вимірюваннях можуть бути розподілені за законом, відмінним від нормального. Якщо для діаметрів шариків підшипника похибки вимірювання підкоряються нормальному закону і крива розподілу симетрична щодо середнього значення діаметра, то крива розподілу похибок при обчисленні площі головного перетину, маси, моменту опору, моменту інерції і поперечного моменту інерції (тобто в тих випадках, коли в математичному вираженні величину діаметра беруть у 2-у, 3-у, 4-у ступені) у загальному випадку асиметрична. Це стає особливо помітно зі збільшенням числового інтервалу, у якому знаходяться досліджувані похибки. На рисунках представлені теоретичні криві розподілу (нормальний закон і дійсний закон, що враховує зведення величини діаметра у відповідний ступінь) для різних дисперсій значень. Видно, що в першому випадку (Рис. 9.3) обидві криві практично збігаються, а в другому (Рис. 9.5) відмінність між ними вже істотна. Тому в кожній конкретній задачі, беручи до уваги величину досліджуваних похибок і співвідносячи їх із середнім значенням досліджуваного параметра, питання нормальності розподілу вирішується дослідником.

До протоколу (стор. 62-63) виконання роботи занести такі дані:

· Кількість вимірювань

· Величину математичного очікування діаметрів шариків підшипників і відповідну величину середньоквадратичного відхилення

· Отримані значення діаметрів шариків підшипника

· Відповідні до цих діаметрів величини досліджуваного параметра

· Мінімальне та максимальне значення діаметрів шариків підшипника та відповідні до них максимальне та мінімальне значення досліджуваного параметра

· Послідовно: інтервал значень досліджуваного параметра, кількість значень в цьому інтервалі (емпірична, теоретична за дійсним законом розподілу, теоретична за нормальним законом розподілу)

· Величини статистики для обох варіантів порівняння гістограми з теоретичним розподілом

· Величина значення (беремо найближче з Таблиці 9.5) та відповідне до нього -значення, які показують ступінь збігу гістограми та розподілу.

Усі необхідні графіки мають бути побудованими.

На стор. 62-63 приведено варіант заповнення протоколу, а далі на Рис. 9.1 -9.5 показані необхідні графіки (графік на Рис. 9.1. для діаметрів не є обов'язковим). Слід зазначити, рисунки, що свідчать про некоректність приймання нормального розподілу для досліджуваного параметра (у разі =0,1×для випадку досліджень, проведених при поясненні розрахунково-графічного завдання), отримані зі суто прикладною метою - показати існуючі розбіжності між розподілами. Насправді, таких похибок при виробництві шариків підшипників не може бути ні в якому разі.

Рисунок 9.1.

В роботі у якості розмаху прийняли інтервал (), чим і пояснюється порожність крайніх інтервалів.

Рисунок 9.2.

Рисунок 9.3. Пунктирна лінія – дійсний розподіл, суцільна – нормальний закон

Рисунок 9.4.

Рисунок 9.5. Пунктирна лінія – дійсний розподіл, суцільна – нормальний закон

ПРОТОКОЛ ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ

(задача 2)

Кількість вимірювань
Математичне очікування діаметрів шариків підшипника (мм)		11.500
Середньоквадратичне (стандартне) відхилення (мм)		0.1150

Діаметри шариків підшипника (мм)
11.553	11.587	11.509	11.446	11.413	11.585	11.541	11.519	11.320	11.374
11.388	11.376	11.543	11.677	11.498	11.421	11.525	11.560	11.535	11.512
11.357	11.440	11.478	11.629	11.460	11.394	11.488	11.437	11.561	11.421
11.505	11.343	11.575	11.533	11.570	11.327	11.499	11.559	11.387	11.414
11.555	11.529	11.378	11.456	11.603	11.560	11.454	11.402	11.719	11.498
11.409	11.580	11.497	11.513	11.533	11.489	11.312	11.743	11.428	11.418
11.663	11.454	11.452	11.321	11.469	11.235	11.553	11.340	11.668	11.406
11.342	11.626	11.358	11.308	11.288	11.719	11.450	11.536	11.633	11.432
11.176	11.505	11.529	11.639	11.495	11.423	11.364	11.345	11.309	11.456
11.429	11.485	11.533	11.553	11.501	11.325	11.685	11.443	11.479	11.523

Величини площин головного перетину (мм²)
104.824	105.447	104.039	102.892	102.298	105.409	104.615	104.209	100.639	101.601
101.859	101.649	104.649	107.090	103.836	102.447	104.313	104.951	104.500	104.082
101.308	102.786	103.472	106.207	103.156	101.954	103.659	102.733	104.967	102.440
103.958	101.060	105.235	104.475	105.144	100.763	103.847	104.944	101.846	102.329
104.857	104.389	101.683	103.071	105.731	104.955	103.036	102.097	107.854	103.834
102.226	105.316	103.810	104.109	104.465	103.669	100.501	108.307	102.571	102.400
106.838	103.046	103.001	100.664	103.306	99.130	104.830	100.997	106.921	102.184
101.039	106.161	101.323	100.426	100.068	107.868	102.970	104.518	106.279	102.640
98.106	103.958	104.392	106.393	103.771	102.486	101.433	101.083	100.451	103.070
102.598	103.591	104.473	104.822	103.895	100.724	107.243	102.845	103.494	104.289

Максимальний і мінімальний діаметри (інтервал значень)	11.0403	11.915

Мінімальна та максимальна площина головного перетину (інтервал значень)	95.7308	111.5080

Інтервали для побудови гістограми	Частота (гістограма)	Частота (дійсний зак.)	Частота (нормал. зак.)
95.731	-	97.484				0.101	0.115
97.484	-	99.237				1.408	1.460
99.237	-	100.990				8.802	8.782
100.990	-	102.743				25.307	25.105
102.743	-	104.496				34.193	34.231
104.496	-	106.249				22.100	22.289
106.249	-	108.002				6.933	6.920
108.002	-	109.755				1.068	1.020
109.755	-	111.508				0.082	0.071
				Σ=100	Σ= 99.994≈100	Σ= 99.993≈100

Величина статистики	0.911	Імовірність	≈0,99
Величина статистики	0.909	Імовірність	≈0,99

Таблиця 9.1

Номер параметру	Параметр	Математичний вираз для параметра
	Площина головного перетину
	Момент інерції (осьовий)
	Об’єм
	Поперечний (полярний) момент інерції
	Момент опору (осьовий)

Таблиця 9.2

Номер по порядку	Математичне очікування діаметрів (мм)	Номер по порядку	Математичне очікування діаметрів (мм)	Номер по порядку	Математичне очікування діаметрів (мм)
	1,30		9,12		20,60
	1,59		9,52		21,40
	2,00		10,32		22,23
	2,38		11,11		23,02
	3,17		11,50		23,81
	3,50		12,30		25,40
	3,97		12,70		27,00
	4,176		13,49		28,58
	5,00		14,30		30,16
	5,16		15,08		34,92
	5,56		15,88		36,51
	5,95		16,67		38,10
	6,35		17,46		41,28
	7,14		19,05		44,45
	8,73		19,84		50,80

Таблиця 9.4

x
0,0	0,00000	0,00399	0,00798	0,01197	0,01595	0,01994	0,02392	0,02790	0,03188	0,03586
0,1	0,03983	0,04380	0,04776	0,05172	0,05567	0,05962	0,06356	0,06749	0,07142	0,07535
0,2	0,07926	0,08317	0,08706	0,09095	0,09483	0,09871	0,10257	0,10642	0,11026	0,11409
0,3	0,11791	0,12172	0,12552	0,12930	0,13307	0,13683	0,14058	0,14431	0,14803	0,15173
0,4	0,15542	0,15910	0,16276	0,16640	0,17003	0,17364	0,17724	0,18082	0,18438	0,18793

0,5	0,19146	0,19497	0,19847	0,20194	0,20540	0,20884	0,21226	0,21566	0,21904	0,22240
0,6	0,22574	0,22907	0,23237	0,23565	0,23891	0,24215	0,24537	0,24857	0,25174	0,25490
0,7	0,25803	0,26114	0,26423	0,26730	0,27035	0,27337	0,27637	0,27935	0,28230	0,28523
0,8	0,28814	0,29102	0,29389	0,29673	0,29954	0,30233	0,30510	0,30784	0,31056	0,31326
0,9	0,31593	0,31858	0,32121	0,32381	0,32638	0,32894	0,33146	0,33397	0,33645	0,33891

1,0	0,34134	0,34374	0,34613	0,34849	0,35082	0,35313	0,35542	0,35768	0,35992	0,36213
1,1	0,36432	0,36649	0,36863	0,37075	0,37285	0,37492	0,37696	0,37899	0,38099	0,38297
1,2	0,38492	0,38685	0,38876	0,39064	0,39250	0,39434	0,39615	0,39795	0,39972	0,40146
1,3	0,40319	0,40489	0,40657	0,40823	0,40986	0,41148	0,41307	0,41464	0,41619	0,41772
1,4	0,41923	0,42072	0,42218	0,42363	0,42505	0,42646	0,42784	0,42920	0,43055	0,43187

1,5	0,43318	0,43446	0,43573	0,43698	0,43821	0,43941	0,44061	0,44178	0,44293	0,44407
1,6	0,44519	0,44629	0,44737	0,44843	0,44948	0,45051	0,45153	0,45252	0,45351	0,45447
1,7	0,45542	0,45635	0,45727	0,45817	0,45906	0,45993	0,46078	0,46162	0,46245	0,46326
1,8	0,46405	0,46484	0,46561	0,46636	0,46710	0,46783	0,46854	0,46924	0,46993	0,47061
1,9	0,47127	0,47192	0,47256	0,47318	0,47380	0,47440	0,47499	0,47557	0,47613	0,47669

2,0	0,47724	0,47777	0,47829	0,47881	0,47931	0,47980	0,48029	0,48076	0,48122	0,48168
2,1	0,48212	0,48256	0,48298	0,48340	0,48381	0,48421	0,48460	0,48498	0,48536	0,48573
2,2	0,48608	0,48643	0,48678	0,48711	0,48744	0,48776	0,48808	0,48838	0,48868	0,48898
2,3	0,48926	0,48954	0,48982	0,49009	0,49035	0,49060	0,49085	0,49110	0,49133	0,49157
2,4	0,49179	0,49201	0,49223	0,49244	0,49265	0,49285	0,49304	0,49323	0,49342	0,49360

2,5	0,49378	0,49395	0,49412	0,49429	0,49445	0,49461	0,49476	0,49491	0,49505	0,49519
2,6	0,49533	0,49546	0,49560	0,49572	0,49585	0,49597	0,49609	0,49620	0,49631	0,49642
2,7	0,49653	0,49663	0,49673	0,49683	0,49692	0,49701	0,49710	0,49719	0,49728	0,49736
2,8	0,49744	0,49752	0,49759	0,49767	0,49774	0,49781	0,49788	0,49794	0,49801	0,49807
2,9	0,49813	0,49819	0,49825	0,49830	0,49835	0,49841	0,49846	0,49851	0,49855	0,49860

3,0	0,49865	0,49869	0,49873	0,49877	0,49881	0,49885	0,49889	0,49893	0,49896	0,49900
3,1	0,49903	0,49906	0,49909	0,49912	0,49915	0,49918	0,49921	0,49923	0,49926	0,49929
3,2	0,49931	0,49933	0,49936	0,49938	0,49940	0,49942	0,49944	0,49946	0,49948	0,49950
3,3	0,49951	0,49953	0,49955	0,49956	0,49958	0,49959	0,49961	0,49962	0,49964	0,49965
3,4	0,49966	0,49967	0,49969	0,49970	0,49971	0,49972	0,49973	0,49974	0,49975	0,49976

3,5	0,49977	0,49977	0,49978	0,49979	0,49980	0,49981	0,49981	0,49982	0,49983	0,49983
3,6	0,49984	0,49985	0,49985	0,49986	0,49986	0,49987	0,49987	0,49988	0,49988	0,49989
3,7	0,49989	0,49990	0,49990	0,49990	0,49991	0,49991	0,49991	0,49992	0,49992	0,49992
3,8	0,49993	0,49993	0,49993	0,49994	0,49994	0,49994	0,49994	0,49995	0,49995	0,49995
3,9	0,49995	0,49995	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49997	0,49997

Значення функції

Таблиця 9.5

Процентилі розподілу c²


0,005	0,010	0,025	0,05	0,10	0,20	0,30	0,40
0,00004	0,00016	0,00098	0,00393	0,0158	0,0642	0,148	0,275
0,0100	0,0201	0,0506	0,103	0,211	0,446	0,713	1,02
0,0717	0,115	0,216	0,352	0,584	1,00	1,42	1,87
0,207	0,297	0,484	0,711	1,06	1,65	2,19	2,75
0,412	0,554	0,831	1,15	1,61	2,34	3,00	3,66
0,676	0,872	1,24	1,64	2,20	3,07	3,83	4,57
0,989	1,24	1,69	2,17	2,83	3,82	4,67	5,49
1,34	1,65	2,18	2,73	3,49	4,59	5,53	6,42
1,73	2,09	2,70	3,33	4,17	5,38	6,39	7,36
2,16	2,56	3,25	3,94	4,87	6,18	7,27	8,30
2,60	3,05	3,82	4,57	5,58	6,99	8,15	9,24
3,07	3,57	4,40	5,23	6,30	7,81	9,03	10,2
3,57	4,11	5,01	5,89	7,04	8,63	9,93	11,1
4,07	4,66	5,63	6,57	7,79	9,47	10,8	12,1
4,60	5,23	6,26	7,26	8,55	10,3	11,7	13,0
5,14	5,81	6,91	7,96	9,31	11,2	12,6	14,0
5,70	6,41	7,56	8,67	10,1	12,0	13,5	14,9
6,26	7,01	8,23	9,39	10,9	12,9	14,4	15,9
6,84	7,63	8,91	10,1	11,7	13,7	15,4	16,9
7,43	8,26	9,59	10,9	12,4	14,6	16,3	17,8
8,03	8,90	10,3	11,6	13,2	15,4	17,2	18,8
8,64	9,54	11,0	12,3	14,0	16,3	18,1	19,7
9,26	10,2	11,7	13,1	14,8	17,2	19,0	20,7
9,89	10,9	12,4	13,8	15,7	18,1	19,9	21,7
10,5	11,5	13,1	14,6	16,5	18,9	20,9	22,6
11,2	12,2	13,8	15,4	17,3	19,8	21,8	23,6
11,8	12,9	14,6	16,2	18,1	20,7	22,7	24,5
12,5	13,6	15,3	16,9	18,9	21,6	23,6	25,5
13,1	14,3	16,0	17,7	19,8	22,5	24,6	26,5
13,8	15,0	16,8	18,5	20,6	23,4	25,5	27,4
17,2	18,5	20,6	22,5	24,8	27,8	30,2	32,3
20,7	22,2	24,4	26,5	29,1	32,3	34,9	37,1
24,3	25,9	28,4	30,6	33,4	36,9	39,6	42,0
28,0	29,7	32,4	34,8	37,7	41,4	44,3	46,9

0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	0,95	0,975	0,990	0,995	0,999
0,46	0,71	1,07	1,64	2,71	3,84	5,02	6,63	7,88	10,8
1,39	1,83	2,41	3,22	4,61	5,99	7,38	9,21	10,6	13,8
2,37	2,95	3,67	4,64	6,25	7,81	9,35	11,3	12,8	16,3
3,36	4,04	4,88	5,99	7,78	9,49	11,1	13,3	14,9	18,5
4,35	5,13	6,06	7,29	9,24	11,1	12,8	15,1	16,7	20,5
5,35	6,21	7,23	8,56	10,6	12,6	14,4	16,8	18,5	22,5
6,35	7,28	8,38	9,80	12,0	14,1	16,0	18,5	20,3	24,3
7,34	8,35	9,52	11,0	13,4	15,5	17,5	20,1	22,0	26,1
8,34	9,41	10,7	12,2	14,7	16,9	19,0	21,7	23,6	27,9
9,34	10,5	11,8	13,4	16,0	18,3	20,5	23,2	25,2	29,6
10,3	11,5	12,9	14,6	17,3	19,7	21,9	24,7	26,8	31,3
11,3	12,6	14,0	15,8	18,5	21,0	23,3	26,2	28,3	32,9
12,3	13,6	15,1	17,0	19,8	22,4	24,7	27,7	29,8	34,5
13,3	14,7	16,2	18,2	21,1	23,7	26,1	29,1	31,3	26,1
14,3	15,7	17,3	19,3	22,3	25,0	27,5	30,6	32,8	37,7
15,3	16,8	18,4	20,5	23,5	26,3	28,8	32,0	34,3	39,3
16,3	17,8	19,5	21,6	24,8	27,6	30,2	33,4	35,7	40,8
17,3	18,9	20,6	22,8	26,0	28,9	31,5	34,8	37,2	42,3
18,3	19,9	21,7	23,9	27,2	30,1	32,9	36,2	38,6	43,8
19,3	21,0	22,8	25,0	28,4	31,4	34,2	37,6	40,0	45,3
20,3	22,0	23,9	26,9	29,6	32,7	35,5	38,9	41,4	46,8
21,3	23,0	24,9	27,3	30,8	33,9	36,8	40,3	42,8	48,3
22,3	24,1	26,0	28,4	32,0	35,2	38,1	41,6	44,2	49,7
23,3	25,1	27,1	29,6	33,2	36,4	39,4	43,0	45,6	51,2
24,3	26,1	28,2	30,7	34,4	37,7	40,6	44,3	46,9	52,6
25,3	27,2	29,2	31,8	35,6	38,9	41,9	45,6	48,3	54,1
26,3	28,2	30,3	32,9	36,7	40,1	43,2	47,0	49,6	55,5
27,3	29,2	31,4	34,0	37,9	41,3	44,5	48,3	51,0	56,9
28,3	30,3	32,5	35,1	39,1	42,6	45,7	49,6	52,3	58,3
29,3	31,3	33,5	36,3	40,3	43,8	47,0	50,9	53,7	59,7
34,3	36,5	38,9	41,8	46,1	49,8	53,2	57,3	60,3	66,6
39,3	41,6	44,2	47,3	51,8	55,8	59,3	63,7	66,8	73,4
44,3	46,8	49,5	52,7	57,5	61,7	65,4	70,0	73,2	80,1
49,3	51,9	54,7	58,2	63,2	67,5	71,4	76,2	79,5	86,7