рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ - раздел Философия, Министерство Образования Российской Федерации Кемеровский Технологич...

Министерство образования Российской Федерации

Кемеровский технологический институт пищевой

промышленности

Л.В. Громова, Л.М. Лазарева, Г.М. Мяленко,

Л.П. Козлова, Е.В. Скрынник

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Краткий конспект лекций

 

Кемерово 2002

Печатается по решению Редакционно - издательского совета Кемеровского технологического института пищевой промышленности Рецензенты:

ВВЕДЕНИЕ

В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования, входит начертательная геометрия. Некоторые идеи начертательной геометрии были разработаны еще в 1б-17в.в., но в самостоятельную науку начертательная геометрия оформилась в конце 18в, в связи с возросшими потребностями инженерной практики.

В 1798 году французский инженер Гаспар Монж опубликовал свой труд, «Начертательная геометрия» который лег в основу проекционного черчения.

В российских учебных заведениях систематическое преподавание начертательной геометрии началось с 1810 года, вначале на французском, а затем и на русском языке, В 1821 году профессор Я,С. Севастьянов издает курс «Основания начертательной геометрии».

В 1855 году профессором А.Х.Ребером написана книга по теории проекции с числовыми отметками.

Выдающийся вклад в теорию геометрии внесли русские математики Н И.Лобачевский (1792-1856 г.г.) и Л.Л.Чебышев (1821-1894 г.г,). В дальнейшем развитие начертательной геометрии как науки и учебной дисциплины; принадлежит многим советским ученым и педагогам.

Предмет изучения начертательной геометрии - разработка методов построения и чтения чертежей, а также методов решения на чертежах геометрических задач, связанных с оригиналом.

Правила построения изображений, излагаемых в начертательной геометрии, основаны на методе проекции.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛИКА

Для краткой записи геометрических предложений, алгоритмов решения задач и т.д. используется геометрический язык. 1. Точки обозначаются заглавными латинскими буквами:

A,B,C,D…

арабскими цифрами: 1, 2, 3,4…

последовательность точек: A1, A2, Аз.

2. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекции, обозначаются строчными буквами латинского алфавита: а, Ь, с, d...

3. Углы - строчными буквами греческого алфавита: ф, ц, р, v.

4. Плоскости - строчными буквами греческого алфавита:a,b,g,e,s.

5. Поверхности - прописными буквами русского алфавита:

цилиндр - Ц, конус - К...

6. Плоскости проекций

горизонтальная - Н, фронтальная- V, профильная- W,

7. Возможное обозначение плоскостей проекций - строчной буквой греческого алфавита -p; горизонтальная - p1, фронтальная - p2. профильная - p3.

8. Оси проекций - строчными буквами:

о- начало координат;

х- ось абсцисс;

у- ось ординат;

z- ось аппликат.

9. Проекции точек:

на горизонтальную плоскость Н- А', В', С',
на фронтальную плоскость V- А", В", С"...
на профильную плоскость W- А///, В///, С///...

10. Проекции линий - по проекциям точек, определяющих линию;кроме того, горизонталь- h; фронталь-f; профильная линия- р.

 

Символика

е - принадлежит (2ÎN) два принадлежит N

Ì- - включает, содержит (а Ì- а) прямая а принадлежит плоскости a

È - объединение множеств |АВ| È ½ВС| - ломанаяАВС

Ç - пересечение множеств

=>• импликация - логическое следствие (а // с и b // с) => а // Ь- [если

а // b и b // с, то а // b]

~- подобие

=- совпадают

|| - параллельны

^ - перпендикулярны

¸- - скрещиваются

—>•- преобразуется: a®a1

 

ВИДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Существует несколько видов проецирования.

Проекциицентральные, - когда задается плоскость про-екции и центр проекции точки, не лежащей в этой плоскости(рис. 1.1).

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Параллельное проецирование

Параллельные проекции также называют цилиндрическими, которые в свою очередь делятся на: косоугольные и прямоугольные. В параллельных проекциях, также как и в центральных: 1) для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случаеслужит плоскость, и поэтому прямая линия вообще…

Точка.

Точка относится к основным неопределяемым понятиям геометрии. Точка не имеет размеров; это основной геометрический элемент линии и поверхности.

Положение точки (и любой геометрической фигуры) в пространстве может быть определено, если будет задана координатная система отнесения. Наиболее удобная является декартовая система координат (французский философ, математик Декарт 1596 - 1650 г.) состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей, при этом получается восемь октантов (рис. 1.4).

7

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Преобразование в эпюр осуществляется совмещением плоскостей путем вращения (рис. 1.5), Или условно можно принять для построения одну из четвертей.

Рассмотрим принятую систему расположения плоскостей проекций (рис. 1.6).

Условимся называть: плоскость - Н- горизонтальная плоскость проекции, V- фронтальная плоскость проекции, W-профильная плоскость проекции.

 

 

Рис. 1.6

Проецирование точки на две плоскости проекции

Фронтальная плоскость V изображена в виде прямоугольни-ка, а плоскость Н- горизонтальная плоскость в виде параллело-грамма,, Наклонная сторона…   Рис. 1.7

Расположение точек на комплексном чертеже

Расположение проекции точки на комплексном чертеже

зависит от положения точки в пространстве (рис. 1.10).

 

 

Рис. 1.10

Если точка А — лежит на плоскости Н, то ее горизонтальная проекция совпадает с точкой А, а фронтальная с осью х.

Соответственно точка В лежит на V плоскости, то ее фрон-тальная проекция совпадает с точкой В, а горизонтальная лежит на оси х , Если точка С лежит на оси х, то проекцииС', С" сов-падают с точкой С.

Проецирование точки на три плоскости проекции

Рис. 1.11 Для получения комплексного чертежа точки А вращаем плоскости вокруг осей х; z. Он будет выглядеть следующим об- разом,…

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Прямая линия в пространстве вполне определяется положением двух любых точек, принадлежащих этой прямой (траектория перемещения точки), рис. 2.1.

Положение прямой линии относительно плоскостипроекции

Если прямая в пространстве параллельна какой - либо плоскости проекции, то такая прямая называется прямой частного положения.

Прямая линия может занимать относительно плоскостей проекций особые (частные) положения. Рассмотрим их по сле-дующим двум признакам;

1.Прямая параллельна одной плоскости проекции (прямые уровня рис.2.3, 2.4, 2.5).

2.Прямая параллельна двум плоскостям проекции (проецирую-щие прямые рис.2.6, 2.7, 2.8).

Прямая параллельная горизонтальной тоскости проекции (Н), называетсягоризонталью и обозначается h (рис.2.3.), (z-const).

 

 

Рис.2.3


Особенности горизонтали: все точки горизонтали удалены на одинаковое расстояние от плоскости Н.

Фронтальная проекция прямой параллельна оси проекции и горизонтальная проекция отрезка этой прямой равна самому отрезку А'В' = АВ – (натуральная величина), А»В'' параллельна оси х А»'В'» параллельна оси у.

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекции на-

   

Взаимное положение двух прямых на комплексном чертеже

  В случае, изображенном на рис.2.9 б, параллельные прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости,…

Построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций

Прямая АВ - общего положения (то есть, не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций). Поэтому обе ее проекции А'В' и… На рис.2.16 слева, длина отрезка АВ и угол, составленный прямой АВ с… Для установления натуральной величины отрезка АВ проводим на одной из проекций (горизонтальной) прямую параллельную…

Точка на прямой. Проецирование прямого угла. Следы прямой.

   

ПЛОСКОСТЬ

Задание и изображение плоскости на чертеже

Плоскость - это простейшая поверхность.

Положение плоскости в пространстве определяется: а) тремяточками, не лежащими на одной прямой линии, б) прямой иточкой, не принадлежащей данной прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя параллельными прямыми, д) любой плоской фигурой.

В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана: а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой, a(А,В,С) (рис.3.1), б) проекциями прямой и точки взятыми внеэтой прямой, b(а,А) (рис.3.2), в) проекциями двух пересекающихся прямых, b(a Ç b) (рис.3.3), г) проекциями двух параллель-ных прямых, a(а || b), (рис,3.4), д) проекциями плоской фигуры (треугольника, окружности, квадрата,.,) (рис.3.5).

Рис.3.1 Рис.3.2 Рис.3.3 Рис.3.4 Рис.3.5

Каждое из представленных заданий плоскости рис. (3.1-3,5) может быть преобразовано в любое из них.

 

Следы плоскости

На рис. 3.6 некоторая плоскость a задана двумя пересекающимися прямыми АВ и СВ. для построения прямой, по которой плоскость р пересечет плоскость Н,… Рис. 3.6 Рис. 3.7 Рис. 3.8 Построив проекции этих следов и проведя через точки Mi' и М2 'прямую, получим горизонтальную проекцию линии…

Взаимопринадлежность точки и прямой плоскости. Прямые особого положения.

1)прямая принадлежит плоскости, если она проходит черездве точки, принадлежащие данной плоскости. 2)прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую…

Положение плоскостей относительно плоскостей проекций

1) плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций; 2) плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций; 3) плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций.

Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или двум плоскостям проекций

    Рис.,3.33 Рис,3.34 Рис.3.35 Рис.З.З6

Построение линии пересечения двух плоскостей

На рис. 3.37 плоскость общего положения, заданную тре-угольником АВС, пересекает фронтально - проецирующая плоскость, заданная треугольником DEF,… Рис.3.37 Рис.3.38

Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

1) через данную прямую (MN) провести некоторую вспомогательную плоскость (g); 2} построить прямую (ED), линию пересечения данной плоскости (АВС) и… 3) определить положение точки (К) пересечения данной прямой (MN) и построенной линии пересечения (ED);

Пересечение двух плоскостей общего положения

   

Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пресечения прямых линий с плоскостью

На рис. 3,48 дано построение линии пересечения двух треугольников АВС и DEF. Прямая K1K2 построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника… прямой АС и треугольника DEF. Затем строим фронтальную проекцию K1// … Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость g2, проведенная через ВС, пересекает треугольник DEF по прямой с…

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

1) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия или плоская фигура, не изменяя своего положения в пространстве, оказалась в… 2) изменением положения прямой линии или плоской фигуры, путем поворота вокруг… 3) изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем перемещения их в частное, положение так, чтобы…

Способ перемены плоскостей проекций

Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том, что положение точек, прямых линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система Н, V дополняется плоскостями, образующими с Н или с V, или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций,

Каждая новая система выбирается таким образом, чтобы получить положение наиболее выгодное для выполнения требуемого построения.

Введение в систему Н, V одной дополнительной плоскости проекции

В большинстве случаев дополнительную плоскость в системуН, V вводят согласно определенному условию, отвечающему цели построения. Примером может служить плоскость V1 на рис.4.1.

Так как требовалось определить величину отрезка АВ и угол между АВ и плоскостью Н, то плоскость Vi расположена перпендикулярно к плоскости Н (образовалась система Н, V1) и параллельно АВ

Рис.4.1

Следовательно в системе Н, V1 отрезок АВ является фронталью (А'В' || оси X1) и величина A1"B1" равна натуральной величине отрезка АВ, угол f1 равен углу наклона ка АВ к плоскости Н.

Рис.4.2 Рис.4.3

На рис.4.2 выбор плоскости H1 также подчинен цели: определить угол между прямойCD и плоскостью V, а также натуральную величину отрезка CD. Поэтому плоскость H1 выбрана перпендикулярно V и в тоже время параллельно отрезку CD (ось H1/V || C"D") Следовательно, в системе V, H1 отрезок CD является горизонталью

(C"D" оси V/H1), величина C1'D1' равна натуральной величине

отрезка CD , а угол ф2 равен углу наклона отрезка CD к плоскости V.

 

В случае, изображенном на рис. 4.3, выбор плоскости H1 вполне зависит от задания.

Необходимо определить натуральный вид треугольника АВС. Так как в данном случае плоскость, определяемая треугольником, перпендикулярна к плоскостиV, то для изображения его без искажения необходимо ввести в систему H1, V дополнительную плоскость, отвечающую двум условиям: Н1,V (для образования системы V,Н1) и H1 || АВС (H1 || А"В"С"), что дает возможность изобразить треугольник АВС на плоскости Hiбез искажения. Новая ось V/H1 || А"В"С". Для построения проекции A'1B1'C'1 от новой оси откладываем отрезки, равные расстояниям точек А', В',С' от оси V/H. Натуральный вид треугольника АВС выражается новой его проекцией A'1B'1C'1.

Введение дополнительной плоскости проекции дает возможность преобразовать чертеж таким образом, что плоскость общего положения, заданная в системе Н, V, становиться перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций.

'с'

Рис.4.4 Рис.4.5

На рис.4.4 плоскость общего положения, заданная треугольником АВС в системе Н, V, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций V1. Для этого в треугольнике АВС проведена горизонталь AD, Плоскость, перпендикулярная к AD, перпендикулярна к АВС и в то же время к плоскости Н (так как .ADççН). Этому соответствует плоскость V1 и треугольник АВС проецируется на нее в отрезок B"1C"1, Угол ф1 соответствует углу наклона треугольника АВС к плоскости Н.


Если же взять плоскость H1 (рис. 4.5), перпендикулярную к плоскости V и плоскости, заданной треугольником АВС (для чего необходимо провести ось V/H1 перпендикулярно к фронтали треугольника АВС), то определим угол ф2 - наклона плоскости треугольника АВС к плоскости V.

Введение в систему H.V двух дополнительных плоскостей проекций

Рассмотрим следующий пример (рис.4.б, 4.7): прямую общего положения АВ, заданную в системеН, V, требуется расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проекций.

 

Рис.4.7

 

В этом случае придерживаемся такой схемы:

1) от системы H,V переходим к системе Н, V1 в которой дополнительная плоскость V1 ^ Н и V1 || АВ,

2) от системы H,V1 переходим к системе V1H1 гдеH1^V1 и H1^AB. Решение сводится к последовательному построению проекций А1¢ и A1" точки .А, В1¢ и B1" точки В.

Прямая АВ, общего положения в системе H,V, становится параллельной плоскости V1 в системе Н, V1 и проецируется в точку на плоскости H1 в системе V1, H1 т.е. АВ ^H1,

На рис.4.8 дан пример построения натурального вида треугольника АВС.

Рис. 4.8

Решение такой задачи проводится по следующей схеме:

1) от системы H,V переходим к системе H,V1, в которой V1 ^ Н и V1 ^ AD (AD - горизонталь треугольника АВС), V1 ^АВС.

2) от системы Н, V1 переходим к системе Vi, Hi, в которой H1 1 V1 и H1 || АВС,

В первой части задачи дополнительная плоскость V1 перпендикулярна плоскости треугольникаАВС. Это построение повторяет показанное на рис, 4.4.

Во второй части построения на рис.4.8 сводятся к проведению оси V1/H1úï C'1"A1"B1" т.е. плоскость H1 проведена параллельно плоскости АВС, что приводит к определению натурального вида, выражаемого проекцией C'1'A1'B1'.


Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций

При вращении вокруг некоторой, неподвижной прямой i (ось вращения) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскость вращения). При этом точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (ценmр вращения). Радиус окружности равняется расстоянию от вращаемой точки до центра (это радиус вращения). Если какая-либо точка данной системы находится на оси вращения i, то при вращении системы эта точка считается неподвижной. Ось вращения может быть, задана и выбрана. Если ось вращения выбирается, то ее выгодно располагать перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, так как при этом упрощаются построения.

Вращение вокруг заданной оси

Рис.4.9 Рис.4.10 Пусть точка А вращается вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости Н… оси вращения. Нарис.4.9 справа: окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси i, спроецирована без…

Вращение вокруг выбранной оси

   

Способ параллельного перемещения

Пример 1. Отрезок АВ прямой общего положения, перевести в положение, параллельное V (рис.4.14). Отрезок АВ перемещаем в положение фронтали (АВ // V ), поэтому новая… Так как при решении данной задачи используем метод параллельного переноса ,то, следовательно, траектория перемещения…

ПОВЕРХНОСТЬ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЗАДАНИЕ И ИЗОБРАЖЕНИЕ НАЧЕРТЕЖЕ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

В начертательной геометрии пользуются кинематическим способом образования поверхностей.

При этом способе поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону.

Линия при своем движении может оставаться неизменной или непрерывно меняться.

На всякой поверхности Ώ можно провести два таких семейства линий 1 и m (рис 5.1),которые будут удовлетворять следующему условию: никакие две линии одного семейства не пересекаются между собой и, наоборот, каждая линия одного семейства пересекают все линии другого семейства. В этом случае поверхность Ώ может быть, образована движением линии 1, называемой образующей, по неподвижным линиям m, которые называются направляющими.

 

Рис.5.1

Каждая поверхность может быть, образована различными способами. Так поверхность прямого кругового цилиндра (рис 5.2) может быть, образована вращением прямолинейной образующей 1 вокруг оси, ей параллельной, или движением образующей окружности m ,центр которой 0 перемешается по оси цилиндра, а плоскость окружности остается все время перпендикулярной к оси, либо вращением около оси произвольной образующей k, нанесенной на поверхность цилиндра.

Из всех способов образования поверхностей необходимо выбирать такие, которые являются наиболее простыми и удобными для решения задач.

Поверхность считается заданной, если по одной проекции точки на поверхности, можно построить ее вторую проекцию, т.е. на поверхности достаточно иметь такие элементы, которые позволяют построить каждую ее точку. Совокупность элементов позволяющих однозначно задать поверхность и выделить ее из других называется определителем поверхности.

В число элементов, входящих в состав определителя, должны быть, включены:

Рис 5.2

1. Геометрические фигуры (точки, линии, поверхности), с помощью которых, может быть, образована поверхность;

2. Алгоритмы формирования поверхности.

Итак; определитель поверхности состоит из двух частей: из совокупности геометрических фигур (первая часть) и дополнительных сведений о характере изменения формы образующей и законе ее перемещения (вторая часть). Определитель произвольной поверхности будет иметь следующую структурную форму Ф (Г) [А ], где (Г) -геометрическая часть, [А ]- алгоритмическая часть. Например, определителем цилиндрической поверхности вращения будет: Ф (а, m), [А ], где а- прямая, m- ось вращения. При этом прямая а задает

 

образующую, а ось m и словесное добавление, что цилиндрическая поверхность является поверхностью вращения - определяет закон движения образующей а .

Для придания чертежу большей наглядности в большинстве случаев строят на нем еще и очерк поверхности.Очерком поверхности называется граница, которая отделяет проекцию поверхности от остальной части плоскости проекции. Так фронтальным очерком прямого кругового конуса, ось которого перпендикулярна плоскости Н, является треугольник, а горизонтальным очерком - окружность.

Поверхность, которая может быть, образована прямой линией, называется линейчатой поверхностью. Линейчатая поверхность представляет собой геометрическое место прямых линий.

Поверхность с криволинейной образующей называется нелинейчатой поверхностью. Примеры линейчатых поверхностей даны на рис.5.3. Поверхность образована прямой линией A1A2, которая оставаясь постоянно параллельной прямой S1S2, перемещается по неподвижной линии Т1 Т2 Т3 которую называют направляющей. Нетрудно видеть, что это поверхность цилиндра.

 

 

Поверхность конуса (рис 5.4) образуется движением прямолинейной образующей 1 по криволинейной направляющей m, при этом образующая постоянно проходит через одну и ту жеточку S. Точка S называется вершиной конической поверхности,

Примером нелинейчатой поверхности служит:

а) сфера (образующая- кривая линия, в данном случае окружность). Сфера образуется вращением окружности вокруг диаметра;

б) тор, образуется вращением окружности вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр.

Гранные поверхности.

Чертежи призмы и пирамиды.

Призматическая поверхность на чертеже может быть, изображена проекциями фигуры, полученной при пересечении боковых граней призмы плоскостью, и… призмы с проекциями треугольных оснований а΄΄ б΄΄…

Призмы и пирамиды в трех проекциях, точки на поверхности

Профильные проекции ребер оснований призм - точки 2΄΄΄ (3΄΄΄ ), (5΄΄΄ )6΄΄΄ на… Рис 5.7

Поверхсности вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, которая описывается какой- либо кривой, в частности прямой,(образующей) при ее вращении вокруг неподвижной оси.

Образующая может быть как плоской, так и пространственной кривой. Поверхность вращения определяется заданием своей образующей 1 и оси i(рис 5.8).

Каждая точка образующей 1 при вращении описывает окружность с центром на оси i. Эти окружности называются параллелями. Наименьшая и наибольшая параллели называются соответственно горлом и экватором. Параллели h2, h5 .- экваторы, а параллель h3- горло,


Рис 5.8

При изображении поверхности вращения на комплексном чертеже обычно поверхность располагают так, чтобы ее ось i была перпендикулярна к плоскости проекций. Если ось i перпендикулярна плоскости проекций Н, то все параллели проецируются на плоскость Н без искажения. Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, пересекают данную поверхность по меридианам. Меридиан, расположенный во фронтальной плоскости, проецируется без искажения на плоскость V. Этот меридиан называетсяглавным меридианом, он определяет фронтальный очерк поверхности.

Поверхности вращения получили широкое применение в деталях механизмов и машин. Основными причинами этого является, с одной


стороны, распространенность вращательного движения, а с другой стороны - простота обработки поверхности вращения.

Точка и линия на поверхности

На рис 5.9 показано построение точки К принадлежащей поверхности тора. Следует отметить, построение выполнено для видимых горизонтальной проекции К… На рис 5.10 показано построение по заданной фрактальной проекции m" точки на поверхности

Бщие сведения о способах построения линии взаимного пересечения двух поверхностей

Наиболее часто в качестве поверхностей- посредников применяют плоскости или сферы, в зависимости от чего различают следующие способы построения… способ вспомогательных плоскостей и способ вспомогательных сфер. Применение… Способ вспомогательных секущих плоскостей следует применять тогда, когда обе поверхности возможно пересечьпо…

Пересечение поверхностей, когда одна из них проецирующая

1) цилиндр,если его ось перпендикулярнаплоскости проекций; Рис 5.11

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Повторяя такие построения многократно с помощью других вспомогательных поверхностей, находят необходимое число общих точек двух поверхностей для… Сформулируем общее правило построения линии пересечения поверхностей: выбирают вид вспомогательных поверхностей;

Рис 5.14

На сфере, при пересечеиии ее плоскостью, всегда получается окружность, а если пересекать ее плоскостью уровня, то эта окружность проецируется на плоскости проекции соответственно в прямую линию и окружность.

Итак, в качестве вспомогательных плоскостей выбираем горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают и конус, и сферу по окружностям (простейшие линии).

Построение начинают обычно с отыскания проекций характерных точек. Проекции 1¢¢ высшей и 2¢¢ низшей точек являются точками пересечения фронтальных проекций очерков, так как центр сферы и ось конуса лежат в плоскости, параллельной плоскости V. их горизонтальные 1¢, 2¢ и профильные 1''',2"¢ про-

екции находят в проекционной связи. Проекции 3",3',3"' и 4//,4/,4/'', лежащие на экваторе

 

 

сферы, находят с помощью горизонтальной плоскости Q(Qv), проходящей через центр сферы 0(0¢¢ ). Она пересекает сферу по экватору и конус по окружности радиуса rq, в пересечении горизонтальных проекций которых и находят горизонтальные проекции 3¢ и 4¢ точек искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции 3¢ и 4¢ этих точек являются границами видимости участков линии пересечения на этой проекции. Проекции промежуточных точек, например 5¢¢,5',5¢¢¢ и 6¢¢,6¢,6¢¢, находят с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости Т (Тv). Их построение ясно из чертежа. Аналогично построены другие точки. Профильные проекции точек линии пересечения строят по их фронтальной и горизонтальной проекциям, точки с проекциями 7¢¢,7¢,7¢¢¢ и 8¢¢,8¢,8"¢ являются границами видимости участков профильной проекции линии пересечения. Ниже проекций 7¢¢¢ и 8"' профильная проекция линии пересечения видима.

5.7.Способ вспомогательных секущих сфер с постоянным
центром

Известно, что если центр сферы находится на оси какой- нибудь поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получаются окружности AB,CD, EF, КL(,рис5.15 ).

Рис 5.15.


Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения и положено в основу способа концентрических сфер, который применяют при следующих условиях:

1.0бе пересекающиеся поверхности- поверхности вращения.

2. Оси поверхностей пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомогательных, (концентрических) сфер.

3.Плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть, параллельна плоскости проекции. Еслиэто условие не соблюдается, то чтобы его достигнуть, прибегают к способам преобразования чертежа.

Пример. Определить линию пересечения двух конических поверхностей с пересекающимися осями (рис 5.16).

 

 

Рис.5.16

 

Построение начинаем с определения характерных точек А, В, С D, которые лежат во фронтальной плоскости, проходящей через плоскость симметрии поверхностей. Их фронтальные проекции А",В ,С ,D определяются пересечением главных меридианов. Далее определяем сферы R min и R max. Сфера R min определяется двумя способами:

1.Если образующие пересекающихся поверхностей прямые линии, то из центра 0¢¢ проводим перпендикуляры к образующим заданных поверхностей. Наибольший из этих перпендикуляров будет являться R min.

2. Если образующая хотя бы одной поверхности кривая линия, то R min находится подбором, т.е. сфера R min должна быть, вписана в одну поверхность и описана вокруг другой.

Сфера R max - это расстояние от центра 0¢' до наиболее удаленной от него точки линии пересечения. В нашем случае это 0"В¢¢.

Величина радиуса вспомогательных сфер для определения линии пересечения находим в пределах от R min = (О¢'М¢¢) до R max = (О¢¢ В¢¢). Точка М¢¢ определяется как точка касания окружности, проведенной к главному меридиану m¢¢2 из центра О¢¢. Для определения линии L2-Rmax=½О"С"½, R min =½О¢¢М¢¢½. Для определения точек N¢¢1 и N¢¢2, принадлежащих линии 12 находим окружность (на фронтальной плоскости - прямая), по которой пересекаются конус a¢¢ и сфера R min, и находим окружность (на фронтальной плоскости - прямая), по которой пересекаются конус b¢¢ и сфера R min . на пресечении этих линий находим точки N¢¢1и N¢¢2.

Построив несколько сфер с центром в точке О¢¢, в промежутке,

между R min и R max находим точки, принадлежащие линии пересечения

Вторую проекцию линии пересечения строят исходя из условия принадлежности точек этой линии той или другой поверхности.

Недостаток метода сфер

1) При построении должна соблюдаться графическая точность.

2) Линия пересечения строится на одной плоскости проекций.


Некоторые особые случаи пересечения поверхностей

В некоторых случаях расположение, форма или соотношения размеров криволинейных поверхностей таковы, что для изображения линии их пресечения никаких сложных построений не требуется. К ним относятся пересечение цилиндров с параллельными образующими, конусов с общей вершиной, соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы.

Пересечение поверхностей, описанных вокруг одной сферы

В этом случае линиями пересечения поверхностей второго порядка являются две плоские кривые второго порядка, изображаемые на плоскости, параллельной… Примеры изображения линии пересечения поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы рассмотрены на (рис 5.17).

Общие сведения о пересечении поверхности плоскостью.

При пересечении любого тела е плоскостью получается некоторого вида плоская фигура, называемая сечением. Под сечением понимают ту часть секущей плоскости, которая находится внутри рассеченного тела и ограничена линией сечения. Линией сечения тела плоскостью является контур этого сечения,

Плоскости, с помощью которых получается сечение, называют секущими.

Фигура сечения многогранника — многоугольник, число сторон которого равно числу граней, пересекаемых плоскостью. Вершинами этого многоугольника являются точки пересечения ребер с секущей плоскостью, а сторонами — линии пересечения граней с секущей плоскостью. Плоские сечения многогранников — замкнутые фигуры.

В пересечении кривой поверхности плоскостью в общем случае получается плоская кривая линия (окружность, эллипс и т. п.). При пересечении линейчатых поверхностей плоскостями могут получаться, в частности, и прямые линии, если секущая плоскость направлена вдоль образующих (цилиндра, конуса и др.).

Основным способом построения точек линии пересечения поверхности с плоскостью является способ вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательная плоскость пересекает секущую плоскость по прямой, а заданную поверхность по некоторой кривой или прямой линии. Точки пересечения этих линий и будут искомыми точками, принадлежащими поверхности и секущей плоскости.

Построение проекций линии сечения поверхности плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость проецирующая. В этом случае одна из проекций линии сечения уже имеется на чертеже: она совпадает с проекцией плоскости. Остается лишь найти другие проекции этой линии.

Пересечение пирамиды с плоскостью

  пирамиды с плоскостью определяют точки пересечения ее ребер с данной… На рис.6.1 показано построение проекции линии сечения пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью a Фронтальная…

Пересечение призмы с плоскостью

    На рис 6.3 показано построение проекций линии сечения треугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью a В сечении получен четырёхугольник ABCD, фронтальная проекция которого совпадает с фронтальной проекцией av секущей…

Пересечение цилиндра с плоскостью

При пересечении цилиндра плоскостью фигура сечения будет зависеть от угла наклона плоскости по отношению к оси вращения.


 

 

Если секущая плоскость параллельна оси вращения (рис 6.4 а ), в сечении цилиндра получится прямоугольник. Если плоскость перпендикулярна оси вращения (рис 6.4 , б), в сечении получится окружность.

Когда секущая плоскость расположена под углом к оси вращения цилиндра, в сечении получается эллипс (рис 6.4 в) или его часть ( рис 6.4', г).

Рис 6.4

На рис 6.5 показано построение проекций линиисечения цилиндра фронтально - проецирующей плоскостью a (av).

Линией пересечения является эллипс. Большая ось эллипса - АВ = А' 'В'/, малая ось CD = С¢D¢ - диаметр цилиндра.

Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости Н. Следовательно, все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия пересечения ее с плоскостью а(а ) проецируется на плоскость Н в окружность, на ней отмечают горизонтальные проекции точек А¢,1¢, С¢, 2¢, В', D', 2', 1' эллипса, расположив их равномерно по окружности. В проекционной связи строят фронтальные проекции А², ", С², В², 2//, В² на фронтальном следе av секущей плоскости.

Профильные проекции точек строят по их горизонтальной и фронтальной проекциям на линиях связи. Профильная проекция линии пересечения цилиндра с секущей плоскостью - эллипс, большая ось C²¢D²¢ которого в данном случае равна диаметру цилиндра , а малая ось А²¢В²¢ - профильная проекция отрезка АВ. Натуральный вид сечения построен способом замены плоскостей проекций на плоскости Т, перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллипса - отрезок АоВо @ A2B2, малая - отрезок CoDo @ d. Эллипс может быть построен по его большой и малой осям.

Пересечение конуса с плоскостью

Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться парабола (рис.6.6. в),… Если углы a (угол наклона образующей конуса к его оси) и b (угол наклона… Если секущая плоскость а (a v), направленная под углом к оси вращения конуса, пересечет его так, что угол b будет…

Рис 6.7

Пересечение сферы с плоскостью

На рис 6.8 изображена сфера, пересеченная фронтально - проецирующей плоскостью a(a² ), которая пересекает сферу по окружности диаметра АВ =… проекции этой окружности представляют собой эллипсы, длины больших осей… Построение начинают с характерных точек. Точки А и В линии сечения принадлежат главному фронтальному меридиану, точки…

Пересечение тора с плоскостью

  а б в г Рис.6.9

Примеры построения чертежей деталей, усеченных проецирующими плоскостями

Иногда на практике возникает необходимость в построении фигуры сечения не на проекциях детали, а отдельно на чертеже, на- пример с целью определения истинной величины этой фигуры. Если при этом секущая плоскость наклонена к плоскостям проекций, сечение называют наклонным

Пример наклонного сечения детали дан на рис 6.11 Как видно из чертежа, фигура сечения детали фронтально-проецирующей пло- скостью состоит из прямоугольника (результат пересечения наруж- ной поверхности детали — многогранника) и эллипса (результат пересечения плоскостью цилиндрического отверстия). Кроме того, в плоскость сечения попали прямоугольный вырез, идущий вдоль основания детали, два цилиндрических отверстия, из них одно сквозное, и вырез в верхней части детали. Цилиндрические отверстия изображаются в форме прямоугольников, так как секущая плоскость направлена вдоль образующих этих поверхностей.

Истинная величина фигуры сечения определена способом замены плоскостей проекций.Ось проекций новой системы на чертеже не по

казана. Поскольку полученная фигура сечения симметрична, в подстроении ее использована ось симметрии.Начертеже эту ось лучше располагать параллельно следу секущей плоскости. Тогда все размеры, выражающие длину фигуры сечения (I) и ее частей, могут быть непосредственно с помощью линий проекционной связи перенесены с фронтальной проекции на указанную ось. Размеры, относящиеся к ширине фигуры сечения (/; и др.), взяты с горизонтальной проекции.

Величина большой оси эллипса, как проекции линии сечения цилиндра наклонной плоскостью, определена по фронтальной проекции. Малая ось равна диаметру цилиндрического отверстия.

Фигуру сечения детали можно размещать и не в проекционной связи с фронтальной проекцией, в том числе и с ее поворотом.

 

Рис 6.11


МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

К метрическим относятся также задачи на построение угла и отрезка с наперед заданным соответственно градусной и линейной величины. В основе алгоритма решения любой метрической задачи лежит свойство плоской… ф½½аÞФа@Ф.

Определение действительной величины плоского угла но его ортогональным проекциям

Наиболее рациональный путь решения задачи по переводу плоскости угла в положение, параллельное плоскости проекции, достигается путем вращения… В этом случае для получения ответа на поставленную задачу достаточно… При использовании других способов преобразования нам пришлось бы дважды менять плоскости проекции либо дважды…

Взаимно перпендикулярные прямые.

Пример: Через точку А провести прямую m, перпендикулярную горизонтали h ( рис 7.4 ).

Так одна из сторон h прямого угла, параллельна плоскости H, то на эту плоскость спроецируется без искажения. Поэтому через А¢ проводим горизонтальную проекцию m¢^h'. Отмечаем точку M¢= m¢ Ç h. Затем находим М²(M"Îh² ), Точки М11 и А² определяют m².

Если вместо горизонтали будет задана фронталь и, то геометрические построения по проведению прямой mlu аналогичны только что рассмотренному случаю, с той лишь разницей, что построение неискаженной проекции прямого угла следует начинать с фронтальной проекции.

Взаимно перпендикулярные прямая и плоскость

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим данной плоскости.

Пример 1. Восстановить в вершине А перпендикуляр AD к плоскости треугольника АВС (рис 7.5 ).  

Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

1. Проводим прямую m, перпендикулярную к плоскости b (или a), затем прямую m заключаем в плоскость a (или b). 2. Проводим прямую n, принадлежащую или параллельную плоскости b (или a),… Так как через прямую m можно провести множество плоскостей (первый путь решения), то задача имеет множество решений.…

Мерой угла между двумя плоскостями служит линейный угол, образованный двумя прямыми — сечениями граней этого угла плоскостью, перпендикулярной к их ребру.

Дня построения линейного угла, являющегося мерой двухгранного угла, необходимо выполнить следующие графические построения, показанные на рис 7.10 в определенной последовательности,

1. Определяем прямую n - линию пересечения данных плоскостей a и b (п= aÇb);

2. Проводим плоскость d^n (эта плоскость будет перпендикулярна также и к плоскостям aи b;

3. Определяем прямые a=dÇa и b=d Ç b;

4. Находим действительную величину j° между прямыми а и b

.Ðj 0- искомый угол

 

7.4.Паралельность прямых, прямой и плоскости.

Параллельность плоскостей.

 

7.4.1. Параллельные прямые.

Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные

проекции также параллельны между собой.

аôôbÞа¢÷÷ b¢; а²ôô b²; а²¢ôô b²¢

Причем, если в пространстве прямые а , b занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то для выяснения по эпюру вопроса о параллельности прямых достаточно убедиться, будут ли параллельны между собой их одноименные проекции только на двух плоскостях.

Параллельность проекции на третьейплоскости в этом случае автоматы чески удовлетворяется.

Если прямые параллельны какой- либо плоскости (хотя бы плоскости W), то условие параллельности на третьей плоскости может не выполняться, В этом случае, для выяснения вопроса будут ли прямые параллельны в пространстве, условие параллельности их одноименных горизонтальных и фронтальных проекций будет необходимым, но недостаточным. Для получения ответа следует убедиться в параллельности их профильных проекций.

На рис 7.11 показаны два возможных варианта взаимного расположения прямых АВ и CD.

Рис 7.11

 


97

7.4.2.Параллельность прямой и плоскости

Прямая т параллельна плоскости a, если в плоскости a можно провести прямую п, параллельную т.

mïïa,если mïïn (nÎa)

Пример: Через заданную точку А провести плоскость a, параллельную данной прямой f ( рис 7.12).

Решение: 1. Через проекции точки А' и А¢' проводим проекции прямой а (а¢; а² ), соответственно параллельные одноименным проекциям f¢и f²;

Рис.7.13.
2. Через проекции точки А(А¢; А²) в произвольном направлении проводим проекции прямой b( b1; b"),

Плоскость a проходит через точку А и параллельна прямой f, так как плоскость (аÎa и аïïf).

Рис.7.12

Параллельность плоскостей

Две плоскости параллельны, если две произвольные пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Пример: Провести через точку А плоскость b, параллельную данной плоскости a, заданной двумя параллельными прямыми а и b (рис 7.13).

 

На рис.7.13 плоскость b задана пересекающимися прямыми m Çn (m ïïaïïb; nïïl)

Пределение действительной величины отрезка по его ортогональным проекциям

Отрезок прямой проецируется в натуральную величину лишь в том случае, когда он параллелен плоскости, на которую он проецируется.

Для установления зависимости между действительной величиной отрезка прямой и его проекциями рассмотрим рис 7.14 99

Пределение расстояния между точкой и прямой. Между двумя параллельными прямыми

Из чертежа видно (рис.7.16), что определение расстояния от точки до прямой достигается минимальным количеством геометрических построений; (m¢, m²) - фронталь: А"М² ^ m² Находим горизонтальную… величину искомого расстоянияAM,

Определение расстояния от точки до плоскости, между плоскостями

Расстояние от точки до плоскости определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Через А¢ проводим горизонтальную проекцию перпендикуляра m¢^aн через А² - его фронтальную проекцию m²^av. Отмечаем точку…    

Расстояние между плоскостями определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки, взятой на одной плоскости, на другую плоскость.

1. Взять в плоскости a произвольную точку А (АÎa); 2. Из точки А опустить перпендикуляр m на плоскость b(m'А); m^b; 3. Найти точку М пересечения перпендикуляра m с плоскостью b (M=mÇb);

РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ. РАЗВЕРТКИ ГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Для изготовления деталей, получаемых путем свертывания и изгиба листового или полосового материала, необходимо иметь заготовки - развертки будущих деталей.

Разверткой (выкройкой) поверхности тела называется плоская фигура, полученная путем совмещения всехточек даннойповерхности с плоскостью без разрывов и складок.

Развертками поверхностей пользуются на практике для изготовления моделей разных сооружений, форм для металлических отливок, фасонных деталей и устройств в кровельном и котельном деле и т.п.

Эти развертки обычно делают по специальным чертежам. Для построения разверток поверхностей в основном используют следующие графические способы;

а) способ нормальных сечений;

б) способ раскатки;

в) способ триангуляции,(способ треугольников) Рассмотрим построения разверток данными способами на примерах:

Способ нормальных сечений

По теореме о проецировании прямого угла(если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то прямой… V/H -W/H1; H1 II Ф (X1 II Ф² ) => l¢12¢1З¢1 -… 2. На продолжении проекции Ф плоскости Ф ( на прямой k ) построим развертку 3² ; 2² ; 3² линии…

Способ триангуляции (способ треугольников)

Способ треугольников (способ триангуляции) используется для построения развертки боковой поверхности пирамиды, а так же для построения боковой поверхности линейчатых поверхностей. Пример. Построить развертку боковой поверхности пирамиды SABC(рис 8.4,).

Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников - граней пирамиды. Поэтому построение развертки поверхности пирамиды сводится к


 

 

определению действительной величины ребер пирамиды и построению по трем сторонам треугольников - граней пирамиды.

На рис 8.4 определение действительной длины ребер пирамиды выполнено с помощью вращения их вокруг оси i (iÎS и i^H). Путем вращения ребра пирамиды совмещаются с плоскостью b(плоскость bôô V и bÉi). Определив действительные величины ребер [S² А2], [S² B2], [S² C2], приступаем к построению развертки. Из произвольной точки So проводим произвольную прямую а, откладываем на ней от точки So[SoA0]@[S² А2]. Из точки Ао проводим дугу радиусом

г1=[A¢B¢] , а из точки So- дугу радиусом Ri=[S² B2]. В пересечении дуг полусаем вершину Во треугольника S.0AoBo (треугольник SoAoBoS @треугольника SAB - грани пирамиды). Аналогично находятся точки So и Ао. Соединив точки AoB.oC0AoSo, получим развертку боковой поверхности пирамидыSABC.

При развертке линейчатых ( поверхности, образованные движением прямой линии, называют линейчатыми), развертывающихся поверхностей последние рассматривают как состоящие из очень большого числа бесконечно малых плоских элементов, иначе говоря, заменяют эту поверхность многогранной

поверхностью (аппроксимируют). Развертку поверхности строяткак суммы разверток треугольных граней вписанной многогранной поверхности.

Заменяя плавную кривую ломаной, следует разбить эту кривую на такие дуги, длины которых возможно мало отличаются от сторон ломаной, В этом случае стороны многоугольников будут очень мало отличаться от другой развернутой кривой. Этот способ построения разверток называется способом триангуляции - развертываемая поверхность аппроксимируется многогранной поверхностью с треугольными гранями.

Пример. Построить разверткуполной поверхности (боковой поверхности, поверхности основания и сечения) усеченного конуса вращения, рис 8.5

1. Делим основание конуса на 12 равных частей.

2. Соединяем эти 12 точек с вершиной (12 образующих). Строим их фронтальные проекции. Затем строим горизонтальную проекцию сечения. Построение видно из чертежа.

3. Боковая поверхность конуса вращения развертывается в сектор круга с углом

a=360°*D/2L,

где D - диаметр окружности основания конуса, а L - величина образующей конуса.

4. Затем откладываем на дуге 12 отрезков,равных 1/12 длины

окружности - основание конуса. Разрежем (мысленно) конус по образующей наибольшего размера.

На развертке необходимо откладывать истинные размеры образующих конуса, поэтому следует их определить. На фронтальной проекции только крайние образующие, проходящие через точки 1 и 7, проецируются без искажений.

Чтобы не загромождать чертеж, рядом, с фронтальной проекцией конуса чертим образующую S1² 7i², равную образующей S"7² и параллельную ей.

На этой образующей отмечаем параллельно основанию конуса точки пересечения образующих конуса с наклонной секущей плоскостью (кроме точек 1 и 7),

Далее на образующих развертки от точек 1,2,3,..., 12 откладываем размеры образующих конуса h1,h2,h3 ,h12.


Натуральную величину сечения строим прежде изученными методами. В данном примере использован метод замены плоскостей проекций.

К развертке боковой поверхности усеченного конуса пристраиваем круг - основание конуса и эллипс - основание конуса наклонной плоскостью.

Таким образом, получили полную развертку усеченного конуса методом триангуляции.

 

 

Рис 8.5

 

 

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Общие сведения

Во многих случаях при выполнении технических чертежей оказывается необходимым наряду с комплексным чертежом оригинала давать более наглядное изображение, обладающее свойством обратимости.

С этой целью применяют чертеж, состоящий только из одной параллельной проекции данного оригинала, дополненный проекцией пространственной системы координат, к которой предварительно отнесен изображаемый оригинал. Такой чертеж называется аксонометрическим или аксонометрией. Слово аксонометрия означает «измерение по осям».

Рассмотрим построение аксонометрической проекции. Выберем какую - нибудь плоскость проекций Р и спроецируем на нее по направлению S заданную точку А вместе с осями прямоугольных (натуральных) координат, к которым она отнесена в пространстве (рис 9.1 ). Плоскость Р называют тоскостъю аксонометрических проекций (эту плоскость называют также картинной плоскостью).

Проекция А' называется аксонометрической проекцией точки А, а точка А¢1 - вторичной проекцией точки А, В дальнейшем аксонометрическую проекцию A/ условимся обозначать так же, как ' в пространстве, буквой А.

Проекция O¢A¢xA¢1A¢ называется аксонометрической координатной ломаной..

ОтрезкиО¢ Ax¢, Ax¢ А1¢¢ и А ¢1А¢ , соответственно параллельные осям х¢, у¢ и z¢ - аксонометрическими отрезками координат.

Проекция O'x'y'z называется аксонометрической системой координат. Она состоит из аксонометрических осей х¢, у¢, z¢, пересекающихся в точкеО', называемой аксонометрическим началом координат.

Проекции х,¢ у¢, z¢ осей х, у и z называются аксонометрическими осями координат.

Проекции е'я e'y, ё'г натурального масштаба е называются аксонометри ческими масштабами.

Показатели искажения

Обозначим через и показатель искажения по оси х, через v - показатель искажения по оси .у, через w - показатель искажения по оси г, тогда ; ; Если все три показателя искажения по осям равны между собой:

Стандартные аксонометрические проекции

Для единого правила выполнения аксонометрических изображений разработан ГОСТ 2,317-69.

К числу стандартных прямоугольных аксонометрических проекций относятся изометрическая проекция ( рис 9;2а ,);

диметрическая проекция ( рис 9.26 ).

К числу стандартных косоугольных аксонометрических проекций относятся фронтальная изометрическая проекция ( рис 9.2в );

горизонтальная изометрическая проекция ( рис 9.2г ); фронтальная диметрическая проекция ( рис 9.2 , д).

Прямоугольная изометрическая проекция

Рис. 9.3 Зная основную формулу прямоугольной аксонометрии и2 + v2 + w2 = 2 и равенство коэффициентов искажения… 3u2=2; u=»0,82; u=v=w=0,82 Следовательно, при построении прямоугольной изометрической проекции натуральные размеры вдоль координатных осей…

Прямоугольная диметрическая проекция

если и = w и v =Вычислим показатели искажения.Из соотношения u2 + v2 + w2 = 2 имеем u2 + + u2 = 2,откуда и = »0,94, тогда w =… В практике применяют приведенные коэффициенты искажения U == W = 1 и V = 0,5, При этом коэффициент приведения »1,06…

Косоугольные аксонометрические проекции

Косоугольная фронтальная диметрическая проекция предпочтительна в тех случаях, когда окружности лежат в плоскостях, параллельных плоскости V, а рис.9.6 б ГОСТ 2.317 - 69 также рекомендует… В практике черчения ГОСТ 2,317 - 69 разрешает использовать и еще одну косоугольную проекцию - горизонтальную…

Аксонометрические проекции окружности

Окружность в аксонометрической проекции представляет собой эллипс, Построение эллипса сравнительно сложно, поэтому его заменяют овалом. Овал - это кривая, по очертанию похожая на эллипс, но строится при помощи циркуля.

Окружность в прямоугольной изометрии

Окружности, вписанные в грани куба ( рис 9.6а ), проецируются в эллипсы, В прямоугольной изометрии все три эллипса одинаковы по форме, равны друг другу, но расположены различно (рис 9.6.б) . Их малые оси всегда располагаются по направлению отсутствующей в данной плоскости аксонометрической оси, а большая ось к ней перпендикулярна.

Большая ось=1,22D

 
 

 

Существует несколько способов построения окружности в

Первый способ. Строят ромб со стороной, равной D окружности. Точки А и В - центры больших дуг радиусаR, Точки С и Е - центры малых дуг радиуса г.… Второй способ. Проводят две окружности, одна - диаметром, равным большой оси… б На рис 9-8 показан графический способ определения большой и малой осей изометрического…

Окружность в прямоугольной диметрии

На рис.9.9 показаны эллипсы, принадлежащие отдельнмм координатным плоскостям, и указаны размеры их осей. У эллипса, расположенного в плоскости… Эллипсы, принадлежащие координатным плоскостям x¢О¢y¢ и z'Oy'… На риc.9.9 дано построение диметрического овала для окружности диаметра D, расположенной в плоскости…

Окружность в косоугольной фронтальной диметрии

На рис.9.12 изображен куб, выполненный в косоугольной фронтальной диметрии. В каждую грань куба вписана окружность. Одна из них, расположенная в плоскостиV, проецируется без искажения; две другие - в виде эллипсов, где большая ось равна 1,07D, a малая - 0,33 D. Большие оси эллипсов перпендикулярны недостающим аксонометрическим осям плоскости, в которой они расположены.

Рис. 9.12

Способ построения этих овалов такой же, как в прямоугольной диметрии.

Примеры построения стандартных аксонометрий

Аксонометрическую проекцию точки А строят по ее координатам ха, уa, za. На рис 9.13, а даны две проекции осей координат и точки. Чтобы построить изометрию точки, от точки О' на оси х' откладывают координату ха ( рис 9.13 б). Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси у' и откладывают на ней координату уА Отмечают вторичную проекцию А¢1 точки А, затем откладывают координату za, параллельно оси z¢. Полученная точка А - изометрическая проекция точки. Итак, любую аксонометрическую проекцию точки можно получить, построив в аксонометрии трехзвенную координатную ломаную линию, определяющую положение этой точки относительно начала координат.

 

 

 

Рис.9.13

Аксонометрические проекции прямых, кривых строят по координатам их точек. На рис 9.14 показано построение отрезка АВ, на рис 9.15 показано построение плоской кривой, а на рис 9.16 - пространственной кривой в изометрической проекции

 

 

 

 

Рис.9.15

 

 

 

Построение шестигранной призмы по данному чертежу начинают с плоской фигуры основания (рис 9.171). Основание призмы строят по координатам его точек. На изометрической оси г' откладывают высоту Н, проводят линии, параллельные осям х 'и у.' Отмечают на линии, параллельной оси х,' положение точек 1 и 4.

Для построения точки 2 определяют координаты этой точки на чертеже - х2; и у2; и, откладывая эти координаты на аксонометрическом изображении, строят точку 2. Таким же образом строят точки 3, 5 и 6.

Построенные точки верхнего основания соединяют между собой. Боковые ребра призмы являются горизонтально - проецирующими

прямыми, поэтому на горизонтальную плоскость проекции Н они проецируются в виде точек. Из точки 1 проводят ребро до пересечения с осью х! затем - ребра из точек 2, 3, 6. Нижнее основание призмы проводят параллельно верхнему. Невидимые ребра призмы следует проводить штриховой линией.

 

Рис.9.17

Рис.9.18
Построение аксонометрической проекции прямого кругового конуса начинают с его основания (рис 9.18).

Аксонометрической проекцией основания будет эллипс, расположенный в плоскости Н. Далее из центра эллипса откладывают высоту конуса. Полученную точку - вершину конуса - соединяют двумя касательными с основанием.На | рис9.18а дано изображение конуса в прямоугольной изометрии, на рис.9.18 б - в прямоугольной диметр ии.

а
б
Прямоугольной аксонометрической проекцией сферы диаметром D является окружность, диаметр которой равен 1,22 D (изометрия) или 1,06 D (диметрия) по приведенным коэффициентам искажения.На рис.9.19 а изображена прямоугольная изометрия сферы с вырезом одной восьмой его части. На рис.9-19, б - прямоугольная диметрия сферы с вырезом одной восьмой его части. Три эллипса на изображении - проекции сечения шара координатными плоскостями.

 

 

 

 
 
Рис.9.19

 

 

 

На рис.9.20 изображена прямоугольная диметрия части тора. Сначала строят ось поверхности в виде овала, затем радиусом образующей сферы проводят окружности, равномерно располагая их по направляющей.

 

 

Рис.9.20

Для изображения кольца проводят плавную касательную ко всем окружностям. Чтобы спроецировать любую поверхность вращения (рис.9.21) вписывается в неё произвольные сферы, при этом 0¢1¢=0²1²и т.д. Плавная касательная ко всем окружностям представляет собой контур изображения .При построении ксонометрии по приведенным показателям искажения радиусы вписываемых сфер увеличиваются в изометрии в 1,22 раза, в диметрии - в 1,06

 

 

Рис. 9.21

 

10. МАШИННАЯ ГРАФИКА

Одно из замечательных достижений человеческого гения в последние десятилетия -быстрое развитие электроники и вычислительной техники.

Электроника и вычислительная техника используется в различных областях человеческой деятельности,

Слово компьютер означает вычислитель. В первой половине 19 века английский математик Чарльз Бэббидж попытался построить универсальное вычислительное устройство - Аналитическую машину, которая должна была выполнять вычисления без участия человека, с помощью перфокарт. Но Бэббидж не смог довести до конца свою машину т.к. она оказалась слишком сложной для того времени.

К этому времени потребность в такой машине была очень велика, что над ее созданием работали многие ученые того времени.

В"1°45 году к работе был привлечен знаменитый математик Джон фон Нейман, который сформулировал общие принципам функционирования универсальных вычислительных устройств, т.е. компьютеров.

Первый компьютер, в котором были воплощены принципы фон Неймана, был построен в 1949 году. С той поры компьютеры стали более мощные, но подавляющее большинство из них сделано в соответствии с теми принципами, которые предложил Джон фон Нейман.

Прежде всего, компьютер должен иметь следующие устройства:

1) арифметическое - логическое устройство;

2) устройство управления; (организует программы)

3) запоминающее устройство; (память)

4) внешнее устройство, (ввод информации)

Следует заметить, что схема устройства современных компьютеров несколько отличается от приведенных выше.

В частности, арифметическое - логическое устройство и устройство управления, как правило, объединены в единое устройство - центральный процессор.

Программы для первых компьютеров писали на машинном языке, т.е. в кодах, что было очень кропотливой и сложной работой,

В 50 - х годах были разработаны программы с использованием мнемонических обозначений машинных команд, имен точек


программ, так называемый язык ассемблера. Однако написание программ и на этом языке трудоемко. Поэтому, после ассемблеров появились языки программирования высокого уровня.

Первый коммерческий используемый язык программирования высокого уровня Фортран был разработан в 1958 году в фирме IBM под руководством Джона Бэкуса.

Сейчас широкое распространение получили лишь немногие языки, в частности Си, Паскаль, Бейсик, Лого, Форт, Лисп, Пролог и др.

С помощью ЭВМ сейчас решаются многие задачи геометрического характера, в машине синтезируются простые и сложные геометрические образы - поверхности, тела, структуры.

Переходя к общению с ЭВМ на уровне графических изображений, схем, фигур, графиков, чертежей, можно значительно повысить эффективность использования вычислительной техники.

Чертеж называют языком техники. Поэтому понятен тот интерес к машинной графике, который сейчас наблюдается во многих странах и активные разработки в этой области.

Развитие машинной графики позволило создать специализированные системы автоматизированного изготовления чертежей. В последние годы для этих целей стали широко использовать персональныеЭВМ.Они просты и удобны в использовании, обеспечивают достаточную точность, необходимое качество чертежей и легкость внесения изменений.

При автоматизированном изготовлении чертежей конструктор создает «Электронный» эквивалент чертежа, используя вместо карандаша и бумаги экран графического дисплея и устройство ввода. Подготовленный чертеж вводится на принтер или графопостроитель. Для выполнения графических работ существует множество прикладных компьютерных программ. Одна из них AutoCAD предназначена для выполнения автоматизированных чертежных работ. Она позволяет создавать любые чертежи, корректировать их, компоновать из сделанных ранее и многое другое.

Постоянно развиваясь AutoCAD стал мошной системой автоматизации проектных работ, представляя пользователю принципиально новые возможности.

 

Сегодня он является международным стандартом для подготовки конструкторской документации. Работа в системе AutoCAD открывает новые возможности.

Название системы образовано сокращениямиот «Automated Computers Aided Desing», означающего в переводе с английского языка « Автоматизированное компьютерное проектирование».

Auto CAD широко распространен в мире, разработчиком системы и ее юридический владелец - фирма AUTODESK Ltd. Первая версия программы появилась на рынке в 1982 году, Сегодня уже существует Auto CAD версия 14,

Система AutoCAD позволяет выполнять графические работы в этой области, где в составе проекта есть чертежи: автомобилестроения, судостроение, самолетостроение, гражданское, промышленное и транспортное строительство, радиоэлектроника, приборостроение, архитектура и т.д.

Черчение в системе Auto CAD не только удобно, но при определенных знаниях и навыках ускоряет процесс вычерчивания чертежа в 2 - 4 раза. Технология послойного построения, чертежа, позволяет вводить ранее заготовленные варианты деталей, проектировать варианты застройки и т.д. Подробней остановимся на девятой версии Auto CAD,

Начиная с 1 по 12 версию программный комплекс Auto CAD, работает в системе DOC. ACADnMeer встроенный компилятор языка Auto LISP.

Для работы в системе AutoCAD необходимы:

1. Совместимый с IBM PC персональный компьютер 386 / 486,

2. Операционная система MS - DOS / PC - DOS версия 5.0 и выше.

3. Объем оперативной памяти 8 Мбайт.

4. Свободное место на жестком диске.как минимум 12 Мбайт.

5. Плоттер или принтер,

6. манипулятор «мышь».

Система AutoCAD построена таким образом,что практически все действия пользователя может выполнять только мышью, не прибегая к помощи клавиатуры.

Система AutoCAD запускается файлом acad, exe, acad bat, либо набором с клавиатуры acad при этом появляется меню Auto CAD, при выборе одной из позиций, входим в рабочее окно acad, которое принадлежит графическому редактору и содержит четыре зоны (Рис.10.1)

Рис 10.1 Рабочее окно Auto CAD.

Зона 1 - рабочий лист.

Зона 2 - справка состояния или падающее меню.

Зона 3 - экранное меню.

Зона 4 - справка команд и сообщений.

Auto CAD работает, выполняя команды своего внутреннего языка. Их можно вводить с клавиатуры, хотя более удобно и быстрей выбрать команду на экране из меню системы.

Наиболее часто используемым меню является так называемое экранное меню. Можно считать его главным меню. Если работать в версии поставляемой фирмой AUTODESK Ltd, но часто существует уже переведенная версия и в ней лучше использовать падающее меню, которое находится в зоне 2 (т.к. оно полностью переведено на русский язык).

Если вы вошли в команду, выбрав ее в зоне 2, то в экранном меню (или его еще называют боковое меню), команда дублируется, но ее название пишется на английском языке, При работе, если вы забыли, в какой команде находитесь, в боковом меню окна поддерживается постоянно пункты отмеченные эта команда.

 

пункты без отметок - группа команд. Сами команды могут находиться в подменю второго и даже третьего уровня.

Общение между пользователем и программой происходит взоне 4, которая так и называется зоной команд и сообщений.

Здесь выводятся команды, выбранные пользователемиз меню или набранные на клавиатуре, а также все сообщения системы.

В нижней «командной» строке выводится текущая команда система ведёт протокол диалога, записывая его в специальный файл на диске.

Для того чтобы увидеть диалог можно нажать клавишу F1,повторное нажатие возвращает систему в рабочее окно графического редактора.

Как уже говорилось выше, мышь имеет большое значение для данной программы.

С помощью её мы вызываем команды, работаем на рабочем поле чертежа как курсором, который имеет вид двух 1 линий.Он служит для многих функций, указать объект, точки, место открытие окон и т.д.

Две ортогональные линии графического курсора // координатным осям если повернуть координатные оси на угол, то и курсор повернётся на соответствующий угол,

Если вы работаете, в какой либо команде, для того чтобы прервать действие, не выходя из команды, надо нажать правую клавишу мышки и левую для продолжения данной команды,

Программа ACAD постоянно перерабатывается, дополняется, и постоянно появляются новые версии. Если у вас что либо не получается, не спешите, посмотрите внимательно, всё ли вы сделали правильно; если все таки не получается что либо, в Auto CAD всегда есть несколько вариантов, чтобы достигнуть результата.

Приведенные материалы, разумеется, дают лишь предварительное представление о больших возможностях интенсификации процесса обучения начертательной геометрии и графики с использованием компьютерных графических систем.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. БрилингН.С., БалягинС.Н. Черчение: Справочное пособие.- М,:

Стройиздат, 1994,- 421с :ил,

2. Виниградов.В.Н. Начертательная геометрия. -М.: Просвещение

1989.

3. ВласовМ.П. Инженерная графика, - М,: Машиностроение, 1979.

4. ВяткинГ.П,, АндрееваА.Н., БалтухинА.К, и др. под ред. ВяткинаГ.П, Машиностроительное черчение.: Учебник для студентов машиностроительных и приборостроительных специальностей вузов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.:

Машиностроение, 1985. -368с.

5. ГордонВ.О... Семенцов - ОгиевскийМ.А. Курс начертательной геометрии. - М. «Наука».: Главная редакция физико - математической литературы, 1988.

6. ДружининН.С., ЧувиковН.Т. Черчение: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1982 - 244, с., ил.

7. ЛантухА., ВысоковичВ. Введение в AutoCAD. - М.:ЭКОМ, 1997.

8. Ломоносов!". Г, Инженерная графика. -М,:недра, 1984,

9. МанцетоваИ.В., МаянцД.Ю., ГамеченкоК.Я, ЛяшевичК.К. Проекционное черчение с задачами, - Минск: Высшая школа, 1978.

10. ПосвянскийА.Д. Краткий курс начертательной геометрии. - М.:

Высшая школа, 1974.

11. РойтманИ.А.. практикумпо машиностроительному черчению. - М.:

Просвещение, 1976.

12. Словарь - справочник по черчению: кн. для учащихся / Виноградова.Н., ВасиленкоЕ.А., АлохименокА.А. и др. -М,:

Просвещение, 1993 - 159с.:ил.

13. ТовминА.М, ШаловГ.С., Нартова А.Г., ПолозовВ.С., Якунин; B.C. Курс начертательной геометрии, - М,: 1983.

14. ФигурновВ.Э. IBMPC для пользователя. - Уфа: ПК Дегтярев и сын.1993.

15. ФроловС.А. Начертательная геометрия. - М.: Машиностроение 1978.

16. ЧекмаревА.А. Начертательная геометрия. - М.: Просвещение, 1987.

17. ЧекмаревА.А, Инженерная графика. - М.: Высшая школа, 1988.

18. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение - М • Вчадос 1999,

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……….……………3

Условные обозначения и символика………..3

1. Виды проецирования……………………….5

1.1. Параллельное проецирование……………….. 5

1.2. Точка…………………………………….. б

1.3. Проецирование точки на две плоскости проек-

ций………………………………………………. 7

1.4. Расположение проекций точек на комплексном

чертеже..................................................……..... 9

1.5. Проецирование точки на три плоскости проек

ций………………………………………………….. 10

2. Проецирование отрезка прямой линии ..................11

2.1. Проецирование прямой линии на две и три плос-

кости………………………………………………. 11

2.2. Положение прямой линии относительно плоскос-

тей проекций ........................................…………....... 12

2.3. Взаимное положение двух прямых на комплекс-

ном чертеже .,..........................……………..........:.... 15

2.4. Построение на чертеже натуральной величины

отрезка прямой общего положения и углов на

клона прямой к. плоскостям проекций..........…….... 17

2.5. Точка на прямой. Проецирование прямого угла.

Следы прямой……………………… 19

3. Плоскость…………....…………................................... 22

3.1. Задание и изображение плоскости на чертеже.. 22

3.2. Следы плоскости………………………….. 23

3.3. Взаимопринадлежность точки и прямой пло-

скости. Прямые особого положения……………...... 24

3.4. Положение плоскостей относительно плоскостей

проекций.....………………….........……………. 29

3.5. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпен-

дикулярной к одной или двум плоскостям проек-

ций ...............................................……………........... 33

3.6. Построение линии пересечения двух плоскостей 34

3.7. Пересечение прямой линии с плоскостью общего

положения…………………………………….. 36

3.8. Пересечение двух плоскостей общего положения 38

3.9. Построение линии пересечения двух плоскостей

по точкам пересечения прямых линий с плоскостью 39

4. Способы преобразования чертежа ……………………………40

4.1 .Способ перемены плоскостей проекций ............... 40

4.1.1. Введение в систему H,V одной дополнительной

плоскости проекций…………………………………..., 41

4.1.2. Введение в систему H,V двух дополнительных

плоскостей проекций………………………………….. 43

4.2. Способ вращения вокруг оси перпендикулярной к

плоскости проекций.....…………….................................. 45

4.2.1.Вращение вокруг заданной оси………………………… 45

4.2.2.Вращение вокруг выбранной оси..…………………….. 46

4.3 .Способ параллельного перемещения...........…………...... 49

5.Поверхность: определение, задание и изображение на чертеже . Определитель поверхности. Принадлежность точки и линии поверхности. Построение линии пересечения поверхностей…………… …………………………………….....52

5.1 .Гранные поверхности ...........……………................ 55

5.2.Поверхности вращени.........……………............……….. 58

5.3.Точка и линия на поверхности……………………. 60

5.4.Общие сведения о способах построения линии

взаимного пересечения поверхностей..........…………..... 61

5.5.Пересечение поверхностей, когда одна из них прое

цирующая. .………………................................................ 62

5.6.Способ вспомогательных секущих плоскостей.., 65

5.7. Способ вспомогательных секущих сфер с посто

янным центром.....................................……………………....68

5.8.Некоторые особые случаи пересечения поверхнос-

тей.………………………………………………………….. 71

5.8.1, Пересечение поверхностей описанных во-

круг одной сферы ...……………………........................... 71

6. Пересечение поверхности с плоскостями…………………… 73

6.1.Общие сведения о пересечении поверхности с

плоскостью………………………………………………………., 73

6.2.Пересечение пирамиды с плоскостью..,........…………….... 73

6.3 .Пересечение призмы с плоскостью ................ 75

6.4 .Пересечение цилиндра с плоскостью ,...,...,.... 76

6.5.Пересечение конуса с плоскостью………………….... 78

6.6.Пересечение сферы с плоскостью.................. 81

6.7.Пересечение тора с плоскостью,,.,,...,............ 83

6.8.Примеры построения чертежей деталей, усечен

ных проецирующими плоскостями.........………………..... 85

7. Метрические задачи………………………………………. 87

7.1. Определение действительной величины плоского

угла по его ортогональным проекциям……………………88

7.2. Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости,

перпендикулярность плоскостей ..................... 91

7.2.1. Взаимно перпендикулярные прямые …………………… ..91

7,2.2,Взаимдо перпендикулярные прямые и плоскости… .91 7.2.3.Взаимно перпендикулярные плоскости .....…………….... 92

7.3. Определение действительной величины угла меж-

ду прямой и плоскостью, между двумя плоскос-

тями...... ...........................…………………………...................... 94

7.4. Параллельность прямых, прямой и плоскости, па-

раллельность плоскостей....................…………………........ .. 96

7.4.1. Параллельные прямые,................………………............ 96

7.4.2. Параллельность прямой и плоскости.,,.,,...,………….... 97

7.4.3. Параллельность плоскостей....................…………….. 97

7.5. Определение действительной величины отрезка

по его ортогональным проекциям,,..,,,,,.,…………….......,, 98

7.6. Определение расстояния между точкой и прямой,

между двумя параллельными прямыми…………................ 100

7.7. Определение расстояния от точки до плоскости,

между плоскостями.........................………………............... 101

Развертки поверхностей, развертки гранных по-

8.1. Способ нормальных сечений......………….....................…. 103 8.2. Способ раскатки..………………………………………….. 105 8.3. Способ триангуляции…………….……………………….., , 106

Начертательная геометрия

Краткий конспект лекций

 

Подписано к печати 27.11.2002г.

Объем 8,5 уч.- изд.л. Цена 34руб.

Тираж 1200 экз.

Заказ №237.Отпечатано на ризографе.

 

Кемеровский технологический институт пищевой

промышленности

650060, г. Кемерово,60, б-р Строителей ,47.

 

Отпечатано в лаборатории множительной техники

КемТИППа

650010, г. Кемерово, 10, ул. Красноармейская,52.

 

 

– Конец работы –

Используемые теги: Начертательная, Геометрия0.045

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Начертательная геометрия и инженерная графика
Сложные разрезы бывают: сложный ступенчатый (см. рис. 52); сложный ломаный (см. рис. 53). 3.От направления рассечения предмета: продольный – вдоль… У начала и конца линии сечения, а при необходимости и у мест переходов и… Размер шрифта для этих букв берут на 1-2 размера больше, чем размер шрифта для нанесения размеров.

Т.В. Хрусталева НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Оглавление... Предисловие... Введение Общие требования и методические рекомендации по изучению курса начертательная геометрия...

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Российской Федерации... Пензенская государственная технологическая академия Л А Найниш...

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ... Институт пути строительства и сооружений Кафедра Начертательная геометрия и черчение...

Введение в курс. Курс лекций Начертательная геометрия
Курс лекций Начертательная геометрияв которой рассматриваются следующие основные вопросы... Построение изображений или чертежей предметов... Решение геометрических задач в пространстве при помощи чертежей на плоскости...

Начертательная геометрия
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования... БРЯНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИНЖЕНЕРНО ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ...

И. С. Козлова, Ю. В. Щербакова Начертательная геометрия. Конспект лекций Лекция № 1. Сведения о проекциях
Лекция Сведения о проекциях Понятие проекций Чтение чертежа... Центральная проекция... Представление о центральной проекции можно получить если изучить изображение которое дает человеческий глаз...

Лекция №1. Задачи начертательной геометрии. Методы проецирования. Комплексный чертеж точки. 1.1. Основные задачи начертательной геометрии. Условные обозначения
План... Основные задачи начертательной геометрии Условные обозначения... Методы проецирования Проецирование точки на две взаимно перпендикулярные плоскости...

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Алгебра матриц... На множестве матриц определены операции сложения умножения на число... Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка Сложение выполняется поэлементно...

ТР: АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ТР АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ... Задача Вычислить определитель Задача Даны матрицы и Найти матрицу...

0.028
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам
  • Алгебра и аналитическая геометрия Понятие матрица операции над матрицами и их свойства... Матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя... а Сложение матриц поэлементная операция...
  • АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ... УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ САНКТ ПЕТЕРБУРГ...
  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Геометрические векторы операции над векторами... В физике и других науках встречаются два типа величин скалярные и векторные... Определение Геометрический вектор это направленный отрезок...
  • Геометрия На сайте allrefs.net читайте: Геометрия. СА СА... Тесты...
  • ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ учреждение высшего профессионального образования... Набережночелнинский институт Казанского Приволжского федерального университета...