У посібнику викладено теоретичні основи та математичний інструментарій розв’язування окремих оптимізаційних задач МП та ДО

 

Університет економіки та права "КРОК"

 

В.Р.Кігель

 

ВИКОРИСТАННЯ Excel

Для проведення оптимізаційних розрахунків

На ПК

 

 

Посібник

для студентів, що вивчають МП та ДО

 

Київ

 

У посібнику викладено теоретичні основи та математичний інструментарій розв’язування окремих оптимізаційних задач МП та ДО.

Наведено значну кількість задач, побудовано належні економіко–математичні моделі, ґрунтовно розглянуто методи дослідження та способи розв’язування усіх цих задач з використанням обчислювальної техніки та стандартних програмних інструментів.

Процеси проведення розрахунків докладно проілюстровано різноманітними конкретними прикладами.

Запропоновано завдання для самостійного опрацювання, виконання яких дозволить студентам поглибити рівень їх теоретичних знань і практичних вмінь з оптимізації економічних та управлінських рішень.

 

ЗМІСТ

ВСТУП
РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИКО–МЕТОДОЛОГІЧНІ ТА МЕТОДИЧНІ ОСНОВИ ОПТИМІЗАЦІЇ ЕКОНОМІЧНИХ ТА УПРАВЛІНСЬКИХ РІШЕНЬ, НЕОБХІДНИЙ МАТЕМАТИЧНИЙ ІНСТРУМЕНТАРІЙ ТА ПРОГРАМНІ ЗАСОБИ EXCEL
	1.1. Процес розв’язування, приклади та загальна постановка оптимізаційних задач
	1.2. Основні класи економіко–математичних моделей та методів розв’язування задач оптимізації
	1.3. Інструмент “Поиск решения” Excel та загальна методика його використання для розв’язування оптимізаційних задач
	1.4. Завдання для самостійного опрацювання
РОЗДІЛ 2. ОПТИМІЗАЦІЯ ПЛАНУ ПЕРЕВЕЗЕНЬ ПРОДУКЦІЇ (КЛАСИЧНА ТРАНСПОРТНА ЗАДАЧА)
	2.1. Загальна постановка класичної транспортної задачі
	2.2. Економіко–математична модель та умова існування розв’язку класичної задачі про оптимізацію плану перевезень продукції
	2.3. Розв’язування класичної задачі про оптимізацію плану перевезень продукції з використанням інструменту “Поиск решения” Excel
	2.4. Завдання для самостійного опрацювання
РОЗДІЛ 3. ОПТИМІЗАЦІЯ ПЛАНУ ПОСТАВОК ПРОДУКЦІЇ ДО СПОЖИВАЧІВ З УРАХУВАННЯМ ВІДПУСКНОЇ ЦІНИ НА ПРОДУКЦІЮ У РІЗНИХ ПОСТАЧАЛЬНИКІВ (ВИРОБНИЧО–ТРАНСПОРТНА ЗАДАЧА)
	3.1. Постановка виробничо–транспортної задачі
	3.2. Економіко–математична модель та умова існування розв’язку задачі
	3.3. Розв’язування задачі про оптимізацію плану поставок продукції до споживачів з урахуванням відпускної ціни на продукцію у різних постачальників за методом потенціалів шляхом зведення виробничо–транспортної задачі до транспортної
	3.4. Розв’язування виробничо–транспортної задачі з використанням інструменту “Поиск решения” Excel
	3.5. Завдання для самостійного опрацювання
РОЗДІЛ 4. ОПТИМІЗАЦІЯ ПЛАНУ РОЗПОДІЛУ ЗАМОВЛЕНЬ НА ПЕРЕВЕЗЕННЯ МІЖ ПЕРЕВІЗНИКАМИ (ЗАДАЧА ПРО ПРИЗНАЧЕННЯ)
	4.1. Постановка та особливості задачі про призначення; використання логічних змінних з метою відбиття її умов
	4.2. Оптимізація плану розподілу замовлень на перевезення за критерієм мінімізації загальних витрат
	4.3. Оптимізація плану розподілу замовлень на перевезення за критерієм мінімізації часу виконання всіх робіт
	4.4. Завдання для самостійного опрацювання
РОЗДІЛ 5. ОПТИМІЗАЦІЯ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНУ ВИРОБНИЦТВА, ЗБЕРІГАННЯ ТА ПОСТАВОК ПРОДУКЦІЇ
	5.1. Постановка та економіко–математична модель задачі
	5.2. Приклад розв’язування задачі на ПК
	5.3. Завдання для самостійного опрацювання
РОЗДІЛ 6. ОПТИМІЗАЦІЯ ПЛАНУ ПЕРЕВЕЗЕНЬ ПРОДУКЦІЇ ЗА НАЯВНОСТІ ПРОМІЖНИХ ПУНКТІВ МІЖ ПОСТАЧАЛЬНИКАМИ ТА СПОЖИВАЧАМИ (БАГАТОЕТАПНА ТРАНСПОРТНА ЗАДАЧА)
	6.1. Загальна характеристика багатоетапних транспортних задач
	6.2. Розв’язування двохетапної транспортної задачі
	6.3. Розв’язування багатоетапної транспортної задачі
	6.4. Завдання для самостійного опрацювання
РОЗДІЛ 7. ДОПОМІЖНІ ОПТИМІЗАЦІЙНІ ЗАДАЧІ НА ТРАНСПОРТНІЙ МЕРЕЖІ
	7.1. Визначення найдешевшого транспортного маршруту між заданими двома несуміжними пунктами транспортної мережі
	7.2. Визначення максимального потоку від одного до іншого несуміжних пунктів транспортної мережі
	7.3. Завдання для самостійного опрацювання
РОЗДІЛ 8. ОПТИМАЛЬНИЙ ВИБІР МІСЦЯ РОЗТАШУВАННЯ РОЗПОДІЛЬЧОГО ЦЕНТРУ
	8.1. Вибір оптимального місця розташування сховища пального
	8.2. Визначення оптимального місця розміщення нового проміжного розподільчого центру – вузлу транспортної мережі
	8.3. Завдання для самостійного опрацювання
РОЗДІЛ 9. ОПТИМІЗАЦІЯ РІШЕНЬ ЩОДО УПРАВЛІННЯ ЗАПАСАМИ: БАЗОВА ОДНОПРОДУКТОВА ЗАДАЧА
	9.1. Базова однопродуктова задача управління запасами; її економіко–математична модель
	9.2. Аналітичне розв’язування базової однопродуктової задачі
	9.3. Приклад: оптимальне управління виробництвом та зберіганням виготовленої продукції
	9.4. Стійкість розв’язку задачі оптимального управління запасами щодо незначної варіації оптимальних значень керованих параметрів
	9.5. Завдання для самостійного опрацювання
РОЗДІЛ 10. ОСНОВНІ МОДИФІКАЦІЇ БАЗОВОЇ ОДНОПРОДУКТОВОЇ ЗАДАЧІ УПРАВЛІННЯ ЗАПАСАМИ
	10.1. Оптимальне управління запасами за умов заборони дефіциту продукції
	10.2. Оптимальне управління запасами за умов, що поповнення запасів здійснюється миттєво
	10.3. Оптимальне управління запасами за умов, що дефіцит заборонено, а поповнення запасів здійснюється миттєво (класична задача управління запасами)
	10.4. Завдання для самостійного опрацювання: Оптимальне управління "запасами" за відсутності умов для зберігання виготовленої продукції
РОЗДІЛ 11. ОПТИМІЗАЦІЯ РІШЕНЬ ЩОДО УПРАВЛІННЯ БАГАТОПРОДУКТОВИМИ ЗАПАСАМИ
	11.1. Економіко–математична модель задачі
	11.2. Аналітичне розв’язування задачі оптимального управління багатопродуктовими запасами
	11.3. Розв’язування задачі оптимального управління багатопродуктовими запасами на комп’ютері
	11.4. Завдання для самостійного опрацювання
ЛІТЕРАТУРА

ВСТУП

 

Дисципліни МП та ДО вивчається студентами вищих навчальних закладів України, які навчаються за освітньо-професійними програмами підготовки економістів та менеджерів.

Об’єктом дисципліни виступають економічні системи та процеси, а предметом – оптимізаційні задачі, що виникають у відповідній діяльності, економіко-математичні моделі та методи розв’язування таких задач з використанням сучасної обчислювальної техніки та відповідного програмного забезпечення.

Прикладами оптимізаційних задач є задача формування найекономічнішого плану перевезень продукції, сировини або інших виробничих ресурсів від постачальників до споживачів, задача визначення якнайкращого місця розташування нового розподільчого центру логістичної мережі, задача визначення оптимальної стратегії управління запасами тощо.

Метою викладання дисциплін є формування у студентів навичок розробки та обґрунтування рішень щодо управління та розвитку економічних процесів. Основними завданнями викладання дисципліни є такі:

· оволодіння студентами теорією прийняття оптимальних рішень;

· формування вмінь побудови оптимізаційних економіко‑математичних моделей;

· формування навичок застосування методів та інструментів прийняття оптимальних рішень в економічній та управлінській діяльності.

 

 

РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИКО–МЕТОДОЛОГІЧНІ ТА МЕТОДИЧНІ

ОСНОВИ ОПТИМІЗАЦІЇ ЕКОНОМІЧНИХ ТА УПРАВЛІНСЬКИХ РІШЕНЬ, НЕОБХІДНИЙ МАТЕМАТИЧНИЙ ІНСТРУМЕНТАРІЙ

ТА ПРОГРАМНІ ЗАСОБИ EXCEL

 

2.1. Процес розв’язування, приклади та загальна постановка оптимізаційних задач

2.2. Основні класи економіко–математичних моделей та методів розв’язування задач оптимізації

2.3. Інструмент “Поиск решения” Excel та загальна методика його використання для розв’язування оптимізаційних задач

2.4. Завдання для самостійного опрацювання

 

 

1.1. Процес розв’язування, приклади та загальна

постановка оптимізаційних задач

 

Оптимізацію рішень здійснюють на основі всебічного аналізу комплексу взаємозалежних чинників, визначення та порівняльної оцінки можливих альтернатив і допустимих планів дій.

Для знаходження розв’язку оптимізаційної задачі використовують економіко–математичні методи моделювання та оптимізації, а також обчислювальну техніку та необхідне програмне забезпечення.

Процес оптимізації економічних та управлінських рішень із використанням економіко–математичного інструментарію складається з таких основних етапів:

· усвідомлення проблемної ситуації, формулювання цілі та визначення обмежень;

· розробка економіко–математичної моделі;

· вибір методів і програмних засобів для проведення розрахунків;

· підготування вихідної інформації;

· пошук і аналіз варіантів рішення;

· ухвалення рішення та затвердження плану його реалізації;

· контроль за виконанням рішення й оцінка результатів;

· підсумковий аналіз проблемної ситуації та її переосмислення (з поверненням до першого етапу).

 

Отже, оптимізацію слушно розглядати скоріше як циклічний процес, що постійно відновлюється, а не лише як окремий акт цього процесу.

Зверніть увагу, що економіко–математичне моделювання, тобто запис у математичній формі цілі та обмежень, що відповідають проблемній ситуації, є важливим етапом процесу оптимізації.

Прикладами оптимізаційних задач є такі:

· формування найекономічнішого плану перевезень продукції, сировини або інших виробничих ресурсів від постачальників до споживачів – безпосередньо або через певні розподільчі центри;

· визначення максимальної пропускної спроможності транспортної мережі;

· визначення найдешевшого транспортного маршруту між двома заданими пунктами транспортної мережі;

· вибір якнайкращого місця розташування нового розподільчого центру логістичної мережі;

· визначення оптимальної стратегії управління постачанням виробничих ресурсів або готової продукції;

· формування оптимального плану реального інвестування з метою забезпечення необхідного приросту виробничих потужностей;

· розробка систем оптимального управління запасами сировини, інших виробничих ресурсів, виготовленої продукції тощо.

У загальному вигляді оптимізаційна задача має вигляд:

(1.1)

де – множина допустимих планів (альтернатив, дій, попередніх варіантів рішень); – числова функція, визначена на множині , яка разом із вимогою максимізації або мінімізації називається цільовою функцією.

Розв’язок оптимізаційної задачі (1.1) утворює пара , де – множина оптимальних планів, – оптимальне (максимальне, найбільше або мінімальне, найменше – залежно від оптимізаційної спрямованості) значення цільової функції, що досягається нею на множині допустимих планів . Часто обмежуються частинним (а не загальним) розв’язком задачі, визначаючи лише один з множини оптимальних планів, а не всю цю множину.

Знаходять розв’язок оптимізаційної задачі з використанням спеціальних математичних методів оптимізації, комп’ютерних програм та засобів обчислювальної техніки на основі належної вихідної інформації.

 

1.2. Основні класи економіко–математичних моделей та методів розв’язування задач оптимізації

 

Довільна оптимізаційна задача містить дві складові: цільову функцію та обмеження. Цільова функція формалізує критерій оптимальності, за яким серед альтернативних варіантів рішень визначається якнайкращий. Обмеження, у свою чергу, визначають множину допустимих альтернатив. Обмеження подаються у вигляді нерівностей та/або рівнянь.

Найчастіше оптимізаційні задачі є багатовимірними та в узагальненій формі мають вигляд:

(1.2)

де , ..., та – дійсні змінні (керовані параметри), перші з яких є основними та утворюють план задачі, а остання показує відповідне значення цільової функції; , , , , , – числові функції змінних , ..., . Перша функція є цільовою, а інші використовуються з метою відбиття множини допустимих планів.

Якщо в (1.2) кожна з функцій , , та , , лінійна, маємо задачу лінійного програмування; у супротивному випадку – задачу нелінійного програмування. Поширеними оптимізаційними задачами є лінійні. Нелінійні цільова функція або окремі обмеження зустрічаються у випадках, коли залежності між певними змінними мають нелінійний характер.

Серед обмежень оптимізаційної задачі можуть зустрічатися особливі – наприклад, обмеження на знак певних змінних або вимоги щодо їх цілочисловості. Такі обмеження виокремлюють, називаючи невиокремлені обмеження основними, а виокремлені – додатковими. Якщо серед додаткових обмежень немає вимог цілочисловості, маємо задачу математичного програмування (лінійну або нелінійну) з неперервними змінними; у супротивному випадку – коли одна або кілька змінних мають набувати лише цілочислових (у більш загальному випадку – дискретних) значень – задачу цілочислового (дискретного) математичного програмування.

Скажімо, задача про оптимізацію плану перевезень продукції може бути задачею математичного програмування з неперервними змінними, які показують обсяги перевезень за відповідними маршрутами, а задача про визначення оптимального місця розташування нового розподільчого центру логістичної мережі – задачею математичного програмування з цілочисловими змінними (точніше, логічними 0–1 змінними), які значеннями 1 або 0 характеризують вибір або, навпаки, відмову від вибору певного пункту для розміщення у ньому нового розподільчого центру.

Тип задачі (лінійна, нелінійна, дискретна) визначає методи, які використовуватимуться для її розв’язку, а саме:

· лінійного програмування (симплекс–метод, двоїстий симплекс–метод, інші);

· цілочислового програмування (методи відтинань, розгалуженого пошуку, комбінаторні, евристичні, випадкового пошуку);

· нелінійного програмування (прямі, непрямі; проектування, лінеаризації тощо);

· інші (залежно від особливостей задачі, що розв’язується).

Розгорнутий опис методів лінійного, цілочислового та нелінійного програмування наведено в спеціальній літературі з математичного програмування, дослідження операцій, методів оптимізації тощо. Наприклад, у навчальному посібнику[1] викладено: симплекс–метод (включаючи геометричну ілюстрацію та метод штучного базису); теорію двоїстості у лінійному програмуванні та прикладні аспекти використання її результатів; техніку післяоптимізаційниого аналізу задачі лінійного програмування (існування альтернативних оптимальних планів; варіація коефіцієнтів цільової функції, компонентів вектору обмежень, коефіцієнтів при змінних у системі основних обмежень, уведення до задачі додаткового обмеження тощо). Докладно розглянуто метод потенціалів для розв’язування транспортної задачі: класичної та з певними особливостями у постановці (забороною на перевезення або фіксованими обсягами перевезень за окремими маршрутами; виробничо–транспортної; двохетапної), а також задачі про призначення. Опрацьовано методи цілочислового лінійного програмування: відтинань, розгалуженого пошуку; методи одновимірної оптимізації: прямі (рівномірного та рівномірного випадкового пошуку; ламаних; пошуку на основі золотого перерізу), непрямі (класична схема на основі пошуку стаціонарних точок; половинного поділу /пошуку Больцано/; дотичних; січних), а також методи майже половинного поділу та стохастичного програмування з проектуванням. Викладено методи нелінійного програмування для розв’язування нелінійних оптимізаційних задач без обмежень: класична схема з використанням необхідних та достатніх умов оптимальності, непрямі (градієнтні – з точною або наближеною оптимізацією крокового множника, з обмеженим або сталим кроком, з вибором крокового множника за методом розбіжного ряду, метод важкої кульки, прискорений багатокроковий, спряжених напрямів; Ньютона–Рафсона, включаючи дві його модифікації; квазіньютонівські), прямі (на основі скінченно–різницевої апроксимації /правої або симетричної/ градієнта цільової функції, стохастичних квазіградієнтів, покоординатного підйому, конфігурацій, пошуку за деформівним многогранником); методи нелінійного програмування для дослідження та розв’язування оптимізаційних задач з обмеженнями: класична схема з використанням умов оптимальності та теорії двоїстості у математичному програмуванні; проектування; можливих напрямів; лінеаризації; з використанням функцій штрафу (включаючи методи внутрішньої та зовнішньої точки).

Щодо інших методів та задач оптимізації зазначимо таке. Широке коло оптимізаційних задач допускають постановку та розв’язування з використанням спеціального рекурентного підходу. Згідно з ним вихідна задача подається як деяка сукупність простіших оптимізаційних задач, немов би вкладених одна в одну. Послідовне розв’язування таких задач спирається на вже знайдений розв’язок попередніх задач і зрештою призводить до знаходження розв’язку вихідної задачі. Відповідні методи та задачі об’єднуються під назвою динамічного програмування. Існують також задачі та методи стохастичного програмування, які поряд з детермінованими враховують стохастичні фактори. Одночасно з’ясувалося, що методи стохастичного програмування з успіхом використовуються й для розв’язування складних детермінованих оптимізаційних задач шляхом належної організації процесу випадкового пошуку розв’язку. Відомі також задачі і методи параметричного програмування, в яких окремі некеровані чинники є одночасно залежними від певних параметрів. Існують методи дробово–лінійного та квадратичного програмування – для оптимізаційних задач з лінійними обмеженнями та дробово–лінійною або квадратичною цільовою функцією, задачі та методи сітьового (потокового) програмування, інші класи оптимізаційних задач та методів їх розв’язування.

Реалізацію оптимізаційних методів для розв’язування оптимізаційних задач доцільно здійснювати з використанням засобів обчислювальної техніки та спеціального програмного забезпечення. Важливим і цікавим є факт, що прогрес у сфері економіко–математичного моделювання та методів оптимізації відбувається майже точно у відповідності з прогресом у галузі комп’ютеризації.

 

1.3. Інструмент “Поиск решения” Excel та загальна методика його використання для розв’язування оптимізаційних задач

 

Інструмент “Поиск решения” призначений для розв’язування оптимізаційних задач або рівнянь чи систем рівнянь з використанням комп’ютерної техніки.

Для завантаження інструменту “Поиск решения” після запуску електронної таблиці Excel потрібно виконати такі дії:

1. В меню “Сервис” обрати команду “Надстройки”.

2. В діалоговому вікні “Надстройки” встановити прапорець на інструменті “Поиск решения” та натиснути на кнопку ОК.

Процедура пошуку рішення дозволяє знаходити оптимальне (найбільше або найменше) чи наперед задане значення змінної (цільової функції), формула обчислення якої знаходиться у клітинці, що має назву цільової (“Целевая ячейка”). Процедура працює з групою інших клітинок, які безпосередньо або опосередковано зв’язані з формулою в цільовій клітинці.

Щоб знайти потрібне значення (оптимальне або наперед задане) цільової функції, процедура пошуку рішення за спеціальними алгоритмами визначає значення усіх змінних, які впливають на результат. Множину можливої варіації значень змінних можна обмежувати. Необхідні обмеження у разі потреби вводять щодо значень клітинок з незалежними змінними, а також клітинок з кінцевими або проміжними значеннями, які прямо чи опосередковано зв’язані між собою.

При записі обмежень можуть використовуватися наступні п’ять умовних операторів:

1) <= – менше або дорівнює;

2) = – дорівнює;

3) >= – більше або дорівнює;

4) цел – умова цілочисловості;

5) двоич – умова отримати логічні (лише 0 або 1) значення.

Обмеження про цілочислові або логічні значення можна вводити лише щодо таких незалежних змінних, значення яких міститимуться у клітинках “изменяемые”.

Розв’язування оптимізаційної задачі з використанням інструменту пошуку рішення Excel полягає у такому:

1. Обрати команду “Поиск решения” в меню “Сервис”. Результатом виконання цієї команди буде поява на екрані діалогового вікна “Поиск решения” (рис. 1.1).

 

Рис. 1.1. Діалогове вікно "Поиск решения"

 

2. У полі “Установить целевую ячейку” вказати адресу клітинки із значенням цільової змінної – саме в цій клітинці має бути наведена формула обчислення значень цільової функції.

3. Ввімкнути у відповідне положення перемикач вибору оптимізаційного спрямування, а саме:

· максимальному значению – для задачі максимізації;

· минимальному значению– для задачі мінімізації;

· значению– далі слід ввести конкретне числове значення – для розв’язування рівнянь.

4. У полі “Изменяя ячейки” вказати адреси клітинок з незалежними змінними. Різні клітинки зазначаються через кому. Суміжні клітинки можуть зазначатися як масив. Загальна кількість клітинок – до 200.

/Щоб автоматично визначити всі клітинки, що впливають на цільову змінну, можна натиснути кнопку “Предположить”./

5. У поле “Ограничения” ввести усі обмеження задачі. Якщо маємо лінійну задачу, для якої в параметрах пошуку рішення (дивись далі) буде встановлено прапорець “Линейная модель”, кількість обмежень не регламентується. Навпаки, при розв’язуванні нелінійних задач, додатково до умов цілочисловості змінних, можна ввести ще понад 100 обмежень.

6. Натиснути кнопку “Выполнить”. Через мить на екрані з’явиться вікно з результатами роботи процедури пошуку рішення.

7. Для збереження результатів перемикач “Результаты поиска решения” слід увімкнути у положення “Сохранить найденное решение”. Якщо зберігати результати не потрібно, цей перемикач слід увімкнути у положення “Восстановить исходные значения”.

Анотована інформація про функції або команди діалогового вікна “Поиск решения” наведена у таблиці 1.1.

Таблиця 1.1

Призначення функцій та команд діалогового вікна “Поиск решения”

Функція або команда	Призначення
Установить целевую ячейку	Щоб вказати цільову клітинку робочого аркушу Excel, в якій міститься формула обчислення значення цільової функції
Равной	Щоб вказати оптимізаційне спрямування цільової функції (до максимуму чи до мінімуму) або вимогу до цієї функції набрати певне числове значення – це число слід ввести у відповідне поле діалогового вікна
Изменяя ячейки	Щоб вказати адреси тих клітинок робочого аркушу Excel, які відведені для значень незалежних змінних
Предположить	Для автоматичного пошуку клітинок, значення в яких безпосередньо впливають на цільову функцію, записану формулою в цільовій клітинці. Результат пошуку буде відображено в полі “Изменяя ячейки”
Ограничения	Щоб показати обмеження оптимізаційної задачі, яка розв’язується
Добавить	Для виклику діалогового вікна “Добавить ограничение”
Изменить	Для виклику діалогового вікна “Изменить ограничение”
Удалить	Щоб зняти відповідне обмеження
Выполнить	Щоб розпочати процедуру пошуку рішення сформованої задачі
Закрыть	Щоб вийти з діалогового вікна “Поиск решения” без запуску процедури пошуку рішення
Параметры	Щоб викликати діалогове вікно “Параметры поиска решения”. Це дозволить завантажити чи зберегти умови задачі та вказати індивідуальні значення спеціальних параметрів пошуку рішення
Восстановить	Щоб очистити усі поля діалогового вікна та відновити значення параметрів пошуку рішення, які передбачені за умовчанням
Справка	Щоб звернутися до довідкової системи “Поиска решения”

 

Розпочинають роботу з процедурою “Поиск решения” після планування структури робочого аркушу Excel (слід визначити клітинки для цільової змінної, незалежних змінних, потрібних проміжних чи кінцевих результатів, вихідних даних; вписати необхідні пояснення, розграфити таблиці тощо), введення усіх потрібних формул для обчислення значень цільової функції, проміжних і кінцевих результатів, а також внесення усіх потрібних вихідних числових даних.

Щоб записати нове обмеження задачі, кнопкою “Добавить” викликають діалогове вікно “Добавить ограничение”, а щоб внести зміни у раніше введене обмеження, його виділяють та кнопкою “Изменить” викликають діалогове вікно “Изменить ограничение”. Ці вікна схожі на вигляд між собою – рис. 1.2 – і зовні різняться лише назвою.

 

 

Рис. 1.2. Діалогове вікно “Добавить ограничение”;

(“Изменить ограничение”)

 

Опис діалогових вікон “Добавить ограничение” або “Изменить ограничение” та правила щодо їх використання:

Ссылка на ячейку – у відповідне поле потрібно занести номер або діапазон клітинок, значення в яких слід обмежити, вони відповідають лівій частині обмеження;

Ограничение – спочатку із списку, що розкривається, слід обрати потрібний умовний оператор (<=, =, >=, цел, двоич), після чого в поле праворуч від обраного оператора ввести праву частину обмеження – число, формулу, посилання на номер або діапазон клітинок тощо;

ОК – закінчення роботи з діалоговим вікном “Добавить ограничение” або “Изменить ограничение”;

Отмена – відмова від роботи з діалоговим вікном;

Добавить – дозволяє перейти до введення чергового нового обмеження без повернення до діалогового вікна “Поиск решения”;

Справка – кнопка виклику довідкової служби.

 

У складі програмного забезпечення Microsoft Excel в папці OfficeSamples є книга з прикладами використання інструменту “Поиск решения” Excel – "Solvsamp.xls".

 

Інструмент “Поиск решения” дозволяє керувати умовами та варіантами пошуку рішення лінійних або нелінійних задач, зберігати задачі, що розв’язуються, а також звертатися до збережених раніше задач. Параметри та стан окремих елементів керування, які використовуються за умовчанням, придатні для розв’язування більшості нескладних задач. Водночас, при потребі, користувач має можливість обирати індивідуальні параметри пошуку рішення. Для цього у діалоговому вікні “Поиск решения” слід натиснути на клавішу “Параметры”. Внаслідок цього на екрані з’явиться діалогове вікно “Параметры поиска решения” (рис. 1.3). Інформація про це вікно наведена у таблицях 1.2 та 1.3.

 

 

Рис. 1.3. Діалогове вікно“Параметры поиска решения”

 

Таблиця 1.2

Опис параметрів діалогового вікна “Параметры поиска решения”

Параметр	Призначення
Максимальное время	Щоб обмежити час пошуку розв’язку задачі. За умовчанням у полі цього параметру вказано час 100 (у секундах). Дозволяється ввести інше значення, яке не перевищує 32767
Итерации	Для керування часом розв’язування задачі шляхом обмеження кількості проміжних обчислень. Для більшості простих задач досить значення 100, яке обране за умовчанням
Относительная погрешность	Щоб задавати точність обчислень. Ця точність показується у відповідному полі десятковим дробом від 0 (нуля) до 1 (одиниці). Чим меншим є число, тим вищою є точність. За умовчанням використовується значення 0,000001
Допустимое отклонение	Щоб вказати припустиме відхилення від оптимального значення. За умовчанням обрано значення 5 (у відсотках)
Сходимость	Параметр використовується лише щодо нелінійних задач. Якщо відносна зміна значення цільової змінної за п’ять послідовних ітерацій стає меншою від зазначеного у полі цього параметра числа, пошук рішення припиняється. За умовчанням обрано значення 0,0001. Щоб покращити збіжність, значення цього параметру слід зменшити. Межі параметру – від 0 до 1. Слід враховувати, що покращання збіжності може вимагати більшого часу на виконання обчислень
Линейная модель	Доцільно зазначити при розв’язуванні лінійних задач. Це прискорює пошук рішення
Неотрицательные значения	Доцільно використати, якщо значення всіх змінних, які знаходяться в клітинках “Изменяемые”, мають набувати лише невід’ємних значень. Це виключає необхідність заносити відповідні обмеження в поле “Ограничения” діалогового вікна “Поиск решения”
Автоматическое масштабирование	Щоб автоматично нормалізувати значення вхідних та вихідних змінних, якщо вони істотно розрізняються за величиною
Показывать результаты итераций	Після виконання чергової ітерації процес пошуку рішення буде призупинятися, щоб показати поточні результати
Оценка (далі слід обрати: линейная або квадратичная)	Щоб обрати метод екстраполяції при розв’язуванні нелінійних задач на кожному етапі одновимірного пошуку. Зазвичай квадратична екстраполяція дозволяє отримати результати кращі, аніж лінійна
Разности (далі слід обрати: прямые або центральные)	Щоб обрати метод наближеного обчислення частинних похідних. У більшості випадків можна обрати прямі різниці, але, щоб отримати більш точний розв’язок, слід звернутися до центральних різниць
Метод поиска (далі слід обрати: Ньютона або сопряженных градиентов)	Можна обрати алгоритм нелінійної оптимізації: або квазіньоютонівський, або спряжених градієнтів. Перший метод виконує менше ітерацій, але вимагає більше пам’яті. Тому другий метод рекомендують використовувати для великих за розміром задач або для підвищення точності обчислень

 

Таблиця 1.3

Опис клавіш керування

у діалоговому вікні “Параметры поиска решения”

Клавіша	Призначення
ОК	Щоб закрити діалогове вікно
Отмена	Щоб відмовитися від власноруч введених параметрів пошуку розв’язку
Загрузить модель…	Для виклику діалогового вікна “Загрузить модель”
Сохранить модель…	Для виклику вікна “Сохранить модель”. Ця можливість використовується, якщо на одному робочому аркуші слід зберігати інформацію про кілька задач. Одна (перша) задача зберігатиметься на робочому аркуші автоматично
Справка	Щоб звернутися до довідкової системи про “Параметры поиска решения”

 

Підсумкові повідомлення процедури пошуку рішення залежать від того, чим саме закінчилися обчислення. Якщо задачу розв’язано, отримаємо повідомлення, показані в таблиці 1.4, а якщо розв’язок не було знайдено – повідомлення, показані в таблиці 1.5.

Таблиця 1.4

Повідомлення діалогового вікна “Результаты поиска решения”,

Якщо розв’язок задачі знайдено

Можливе повідомлення	Пояснення
Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены.	Всі обмеження виконуються з точністю, яка встановлена у діалоговому вікні “Параметры поиска решения”. Знайдено потрібне значення цільової функції
Поиск свелся к текущему решению. Все ограничения выполнены.	Відносна зміна значення в цільовій клітинці за останні п’ять ітерацій є меншою, аніж встановлена параметром “Сходимость” у діалоговому вікні “Параметры поиска решения”. Щоб підвищити точність, слід зменшити значення цього параметру, але подальші розрахунки вимагатимуть більше часу

 

Таблиця 1.5

Повідомлення діалогового вікна “Результаты поиска решения”,

Якщо процедура пошуку рішення не знаходить розв’язку задачі

У випадку успішного виконання процедури пошуку рішення та появи діалогового вікна “Результаты поиска решения” Ви маєте можливість обрати одну з двох… або Сохранить найденное решение – для збереження знайденого розв’язку;

Або Восстановить исходные значения – для відновлення первісних значень усіх змінних, значення яких містяться у клітинках “изменяемые”.

Результаты. – Використовують для створення звіту, в якому буде вказано цільову клітинку та клітинки “изменяемые”, їх вихідні та кінцеві (оптимальні)… Устойчивость. – Використовують для формування звіту з інформацією про… Ограничения. – Використовують для створення звіту, в якому буде вказано цільову клітинку та клітинки “изменяемые”, їх…

Далі ми опрацюємо техніку використання інструменту “Поиск решения” Excel для розв’язування конкретних оптимізаційних задач.

Завдання для самостійного опрацювання

Наведіть змістовні приклади задач оптимізації в економіці та менеджменті.

Назвіть основні етапи процесу розв’язування оптимізаційної задачі, охарактеризуйте зв’язок між ними та обґрунтуйте послідовність їх виконання.

Наведіть означення розв’язку оптимізаційної задачі максимізації. Чи може така задача мати кілька альтернативних розв’язків?

4. Наведіть геометричну ілюстрацію теореми про розв’язність задачі лінійного програмування:

Задача лінійного програмування є розв’язуваною тоді і тільки тоді, коли виконуються дві умови:

1) множина допустимих планів непорожня;

Цільова функція (на випадок максимізації) є обмеженою зверху на множині допустимих планів.

5. Наведіть геометричну ілюстрацію теореми про достатні умови існування розв’язку задачі математичного програмування:

Якщо множина допустимих планів є замкненою та обмеженою підмножиною, а цільова функція неперервна на цій множині, тоді оптимізаційна задача є розв’язуваною.

Спробуйте активізувати пакет "Поиск решения" на Вашому комп’ютері.

(КЛАСИЧНА ТРАНСПОРТНА ЗАДАЧА)   2.1. Загальна постановка класичної транспортної задачі

Таблиця 2.1

Транспортні тарифи

Потрібно визначити оптимальний за критерієм мінімізації загальних транспортних витрат план постачання цеглою будівельних майданчиків. Вся вихідна…  

Рис. 2.1. Інформація до задачі про оптимізацію плану перевезень цегли

Економіко–математична модель. Передусім зазначимо, що кількість постачальників цегли – цегельних заводів – дорівнює 3, а кількість споживачів цегли – будівельних майданчиків – 5. Загальні щодобові виробничі потужності постачальників дорівнюють 18+24+28=70 тис. цеглин, а попит споживачів – 8+10+12+15+20=65 тис. цеглин. Отже, виробничі потужності достатні для забезпечення наявного попиту, тобто розв’язок задачі існує.

Далі уведемо позначення невідомих: – обсяг перевезень продукції (у тисячах цеглин) від -го постачальника до -го споживача (;); – загальні транспортні витрати (у гривнях), що відповідають певному плану перевезень продукції. Саме такі змінні ми використовували в попередньому підрозділі для побудови економіко–математичної моделі транспортної задачі.

Щоб у подальшому полегшити підготовку робочого аркушу Excel для розв’язування задачі на комп’ютері за допомогою інструменту “Поиск решения”, уведемо допоміжні змінні , , які показуватимуть обсяги вивезеної від відповідного -го постачальника продукції, а також змінні , , – обсяги продукції, ввезеної кожному споживачу.

За наведених позначень та наявних вихідних даних економіко–математична модель задачі, що розглядається, набере вигляду:

Мінімізувати загальні витрати на перевезення цегли:

при обмеженнях:

а) щодо потужностей постачальників:

б) щодо попиту споживачів:

в) щодо невід’ємності основних змінних, які показують обсяги перевезень за відповідними маршрутами:

Зазначимо, що вимога невід’ємності допоміжних змінних () є надлишковою через невід’ємність кожної з основних змінних(;), оскільки загальний обсяг вивезеної від постачальника продукції є сумою обсягів перевезень продукції від цього постачальника до кожного із споживачів.

Підготовка робочого аркуша Excel. Домовимося кожну задачу опрацьовувати в окремій книзі Excel, яку називатимемо відповідно до назви задачі, що в ній розв’язується. Отже, створимо файл “Cegla.xls” та розпочнемо роботу на першому аркуші цієї книги, який має назву “Лист 1”.

Виконаємо такі дії.

1. Об’єднаємо клітинки A1:D1 та внесемо туди назву задачі: “Оптимізація плану перевезень цегли”.

2. В масив клітинок A3:B7 занесемо таблицю з інформацією про потужності цегельних заводів, причому для обчислення загальної виробничої потужності в клітинку B7 уведемо формулу: =СУММ(B4:B6). Ця таблиця матиме такий вигляд:

Завод	Потужність
З-1
З-2
З-3
Разом

3. В масив клітинок A9:G10 занесемо таблицю з інформацією про попит цегли на кожному з будівельних майданчиків. Для обчислення сукупного попиту у клітинку G10 уведемо формулу: =СУММ(B10:F10). Таблиця матиме вигляд:

Буд-майданчик	Б-1	Б-2	Б-3	Б-4	Б-5	Всього
Попит

4. В масив клітинок A12:F17 занесемо таблицю з інформацією про транспортні тарифи:

Транспортні тарифі
Завод	Будівельний майданчик
Б-1	Б-2	Б-3	Б-4	Б-5
З-1
З-2
З-3

5. В клітинках A19:D19 передбачимо інформацію про загальні транспортні витрати. Щоб побудувати цю таблицю, клітинки A19:C19 об’єднаємо та впишемо слова: “Загальні транспортні витрати”, а клітинку D19 оберемо за цільову. Пізніше в цю клітинку потрібно буде ввести формулу для обчислення загальних транспортних витрат. Ось як виглядатимуть зараз клітинки A19:D19:

Загальні транспортні витрати

6. Для таблиці з інформацією про план перевезень цегли оберемо масив клітинок A21:F26. Частина клітинок цього масиву міститиме необхідні написи, а для значень змінних, що безпосередньо означають обсяги відповідних перевезень, потрібен лише фрагмент B24:F26 – зараз ці клітинки порожні:

План перевезень цегли
Завод	Будівельний майданчик
Б-1	Б-2	Б-3	Б-4	Б-5
З-1
З-2
З-3

7. Уведемо в цільову клітинку D19 формулу для обчислення загальних транспортних витрат. Зараз зручно скористатися спеціальною функцією, яка дозволяє знаходити суму добутків відповідних елементів числових масивів – функцією СУММПРОИЗВ, а також врахувати, що транспортні тарифи містяться в масиві клітинок B15:F17, а обсяги перевезень міститимуться в масиві клітинок B24:F26. Отже, в клітинку D19 вводимо формулу:

=СУММПРОИЗВ(B15:F17;B24:F26)

8. Масив клітинок A28:B31 відведемо для інформації про обсяги вивезеної з заводів цегли. Для цього, крім необхідних надписів, уведемо:

у клітинку B19 – формулу: =СУММ(B24:F24)

у клітинку B20 – формулу: =СУММ(B25:F25)

у клітинку B21 – формулу: =СУММ(B26:F26)

/Бачимо, що для опрацювання клітинок B20 і B21 формулу з клітинки B19 потрібно просто “протягнути” на клітинки B20, B21./

Отримаємо поки що таке:

Завод	Вивезено
З-1
З-2
З-3

9. У масиві клітинок A33:F34 передбачимо інформацію про обсяги ввезень цегли на кожний з будівельних майданчиків:

Буд-майданчик	Б-1	Б-2	Б-3	Б-4	Б-5
Ввезено

Для автоматичного заповнення цієї таблиці уведемо потрібні формули:

у клітинку B34: =СУММ(B24: B26)

у клітинку C34: =СУММ(C24: C26)

у клітинку D34: =СУММ(D24: D26)

у клітинку E34: =СУММ(E24: E26)

у клітинку F34: =СУММ(F24: F26)

/Можна “протягнути” формулу з клітинки B34 на клітинки C34, D34, E34 та F34./

Підготовку робочого аркушу закінчено. Він матиме такий вигляд, як це показано на рисунку 2.2.

 

 

	A	B	C	D	E	F	G
	Оптимізація плану перевезень цегли
	Завод	Потужність
	З-1
	З-2
	З-3
	Разом:
	Буд-майданчик	Б-1	Б-2	Б-3	Б-4	Б-5	Всього
	Попит
	Транспортні тарифи
	Завод	Будівельний майданчик
	Б-1	Б-2	Б-3	Б-4	Б-5
	З-1
	З-2
	З-3
	Загальні транспортні витрати
	План перевезень цегли
	Завод	Будівельний майданчик
	Б-1	Б-2	Б-3	Б-4	Б-5
	З-1
	З-2
	З-3
	Завод	Вивезено
	З-1
	З-2
	З-3
	Буд-майданчик	Б-1	Б-2	Б-3	Б-4	Б-5
	Ввезено

 

Рис. 2.2. Вид робочого листа, підготовленого для розв’язування задачі про оптимізацію плану перевезень цегли

 

Пошук розв’язку.

1. Оберемо команду “Поиск решения” в меню “Сервис”.

2. У діалоговому вікні “Поиск решения”, яке з’явиться на екрані, в полі “Установить целевую ячейку” вкажемо на адресу цільової клітинки: D19.

3. Перемикач вибору оптимізаційного спрямування цільової функції ввімкнемо у положення “минимальному значению”.

4. У полі “Изменяя ячейки” вкажемо на адреси клітинок з основними незалежними змінними, які відповідають шуканим обсягам перевезень цегли за кожним з маршрутів: B24:F26.

5. У поле “Ограничения” введемо обмеження задачі. Для цього натиснемо кнопку “Добавить” та введемо обмеження щодо виробничих потужностей заводів:

$B$29:$B$31

<=

$B$4:$B$6

та щодо попиту на цеглу з боку будівельних майданчиків:

$B$34:$F$34

=

$B$10:$F$10

/Зараз ми скористалися можливістю використовувати в Excel відношення “<=” та “=” не лише щодо двох чисел, а також і щодо двох числових масивів однакової розмірності – у такому разі зазначене відношення мають задовольняти усі пари відповідних елементів вказаних у відношенні масивів./

6. Введемо параметри пошуку рішення: “Линейная модель” та “Неотрицательные переменные”.

7. Натиснемо на кнопку “Выполнить”.

8. У вікні “Результаты поиска решения”, яке через мить з’явиться на екрані, увімкнемо перемикач “Сохранить найденное решение” та натиснемо ОК.

9. Прочитаємо на робочому аркуші Excel знайдений розв’язок (рис. 2.3). Оптимальному плану перевезень відповідають мінімальні загальні транспортні витрати у розмірі 2215 гривень.

Розв’язок задачі знайдено.

 

	A	B	C	D	E	F	G
	Загальні транспортні витрати
	План перевезень цегли
	Завод	Будівельний майданчик
	Б-1	Б-2	Б-3	Б-4	Б-5
	З-1
	З-2
	З-3
	Завод	Вивезено
	З-1
	З-2
	З-3
	Буд-майданчик	Б-1	Б-2	Б-3	Б-4	Б-5
	Ввезено

 

Рис. 2.3. Фрагмент робочого листа з розв’язком задачі

Про оптимізацію плану перевезень цегли

 

Задачу про оптимізацію плану перевезень цегли розв’язано.

 

2.4. Завдання для самостійного опрацювання

 

З п’яти цегельних заводів З₁, З₂, З₃, З₄ та З₅ цегла щоденно відвантажується на сім будівельних майданчиків М₁, ..., М₇. Щодобові виробничі потужності заводів, щоденна потреба будівельників у цеглі та транспортні тарифи на перевезення однієї тисячі цеглин наведено в таблицях 2.2 – 2.4.

Таблиця 2.2

Виробничі потужності цегельних заводів, тис. цеглин на добу

Цегельний завод	З-1	З-2	З-3	З-4	З-5	Разом
Потужність

 

Таблиця 2.3

Щодобові потреби будівельних майданчиків, тис. цеглин

Майданчик	М-1	М-2	М-3	М-4	М-5	М-6	М-7	Разом
Попит

 

Таблиця 2.4

Транспортні тарифи, гривень з розрахунку на 1 тис. цеглин

Потрібно: 1. Визначити оптимальний за критерієм мінімізації загальних транспортних… 2. Чи є сенс змінити знайдений план постачання на інший, якщо додатково враховувати витрати на придбання цегли?…

Задачі оптимізації плану розподілу замовлень між перевізниками за критерієм мінімізації загальної вартості виконання усіх перевезень зустрічаються у логістичній діяльності досить часто.

Припустимо далі, що є інформація про можливу тривалість виконання кожного з замовлень кожним з потенційних перевізників, тобто що відома матриця тривалостей .

Якщо всі перевезення розпочинаються одночасно, може виникнути потреба у визначенні моменту часу, коли ці перевезення буде виконано. Цей момент часу визначається подією закінчення найтривалішого з перевезень. Отже, якщо маємо допустимий план призначень , тривалість його виконання обчислюватиметься за формулою:

(4.7)

/Нагадаємо, що Excel у переліку вбудованих стандартних статистичних функцій має спеціальну функцію “МАКС” для обчислення максимуму з елементів масиву./

Критерій мінімізації тривалості виконання усіх перевезень теж може зустрічатися у задачах оптимізації логістичних рішень.

 

4.2. Оптимізація плану розподілу замовлень на перевезення
за критерієм мінімізації загальних витрат

 

Математичний аналіз задачі. Економіко–математична модель задачі про оптимізацію плану розподілу замовлень на перевезення між перевізниками за критерієм мінімізації загальних витрат, з урахуванням формул (4.3) – (4.6), має вигляд:

(4.8)

Цільова функція моделі відбиває вимогу знаходження плану розподілу замовлень між перевізниками із якнайменшою загальною вартістю. Перша група основних обмежень відтворює вимоги про те, щоб кожне з замовлень було доручено точно одному з виконавців. Друга група основних обмежень – вимоги про те, щоб кожному з виконавців було доручено виконання точно одного замовлення. Нарешті, допоміжними обмеженнями відбито особливість основних змінних задачі – те, що вони є логічними і можуть набувати лише значень із множини .

Математично наведена модель являє собою задачу цілочислового лінійного програмування транспортного типу з логічними змінними. Її схожість до класичної закритої транспортної задачі наводить на думку про можливість застосування для пошуку розв’язку методу потенціалів.

Проаналізуємо, чим саме відрізняється математична модель задачі про призначення від математичної моделі закритої транспортної задачі.

Помічаємо, що відмінностей є дві. По-перше, наявні обмеження зверху на значення кожної із основних змінних: .

Якщо врахувати вимоги невід’ємності цих змінних, а також наявні основні обмеження стосовно сум певних груп таких змінних (кожна з сум має дорівнювати 1), доходимо висновку, що зазначені обмеження зверху на значення кожної із основних змінних у задачі про призначення є надлишковими, тобто їх можна відкинути.

Друга відмінність полягає у тому, що на кожну із змінних накладено вимогу цілочисловості. У загальному випадку такі обмеження відкидати не можна, оскільки без них план може містити нецілочислові компоненти. Але в нашому випадку ситуація особлива. Річ у тім, що в системі основних обмежень задачі про призначення (вона тотожна системі основних обмежень закритої транспортної задачі) усі вільні коефіцієнти кожного з основних обмежень – цілі числа (дорівнюють +1). Відомо, що довільний опорний план закритої транспортної задачі із цілочисловими вільними коефіцієнтами системи основних обмежень задовольняє вимогу цілочисловості. Отже, якщо задачу про призначення розглядати як транспортну та застосувати до неї метод потенціалів, тоді знайдений за цим методом оптимальний опорний план автоматично задовольнятиме вимогу цілочисловості, тобто визначатиме оптимальний план розподілу замовлень між перевізниками.

Приклад розв’язування задачі за методом потенціалів. Припустимо, що задача про призначення має розмірність та тарифи, що наведені у таблиці 4.1.

Таблиця 4.1

Тарифи на виконання замовлень різними перевізниками,

грошових одиниць

Замовлення	Перевізник
П-1	П-2	П-3
З-1
З-2
З-3

 

Процес пошуку оптимального плану розподілу замовлень між перевізниками за методом потенціалів полягає у такому.

1-й крок. Знайдемо за методом якнайменшого тарифу план розподілу замовлень між перевізниками:

З-1 ® П-2, З-2 ® П-1, З-3 ® П-3

    >       …   Наведений план не є оптимальним. Його можна покращити шляхом перерозподілу замовлень між перевізниками:

З-1 ® П-3, З-2 ® П-1, З-3 ® П-2 .

Задачу про оптимізацію плану розподілу замовлень на перевезення між перевізниками розв’язано. Розв’язування задачі на ПК. Розпочнемо роботу зі створення файлу… 1. Об’єднаємо клітинки A1:D3 та внесемо туди назву задачі: “Оптимізація плану розподілу замовлень на перевезення за…

Таблиця 4.2

різними виконавцями, годин Замовлення Перевізник П-1 П-2 П-3 П-4 З-1 …   Необхідно знайти такий план розподілу замовлень між перевізниками, щоб тривалість часу до моменту закінчення усіх…

При розв’язуванні нелінійних задач або задач з цілочисловими чи логічними змінними потрібно уважно проаналізувати отримані результати, оскільки інколи замість точного розв’язку на екран спочатку виводиться лише наближений розв’язок, який може істотно відрізнятися від точного. Наприклад, мій комп’ютер кілька разів зупинявся на плані розподілу замовлень , який вимагає для виконанню 12 годин, що на 9,09% більше, аніж при оптимальному плані. Зараз, щоб переконатися, що оптимальний план розподілу замовлень на перевезення вимагає 11 годин, досить звернути увагу, що третє замовлення (З-3) потребує для свого виконання щонайменше 11 годин (за умови його призначення першому перевізнику П-1), тому виконати всі замовлення за час, менший від 11 годин, неможливо.

В загальному випадку щоб упевнитись у правильності розв’язку, окрім аналітичних досліджень буває корисним запустити інструмент “Поиск решения” декілька разів, починаючи щоразу з іншої “стартової” точки.

 

4.4. Завдання для самостійного опрацювання

 

1. Знайти найекономічніший план розподілу п’яти запитів на перевезення між виконавцями за відомими тарифами перевізників на виконання кожного з перевезень (таблиця 4.3). Врахувати вимогу задіяти для перевезень усіх перевізників.

Таблиця 4.3

  2. Припустимо, що в задачі про призначення кількість запитів на перевезення ()… 3. Припустимо, що в задачі про призначення кількість запитів на перевезення є більшою від кількості виконавців: .…

Таблиця 4.4

різними виконавцями, годин Замовлення Перевізник П-1 П-2 П-3 П-4 П-6 П-6 …   5. Наведіть власні приклади можливого застосування задачі про призначення в економічній та управлінській діяльності…

Постановка та економіко–математична модель задачі

Для виконання календарних замовлень на постачання продукції фірмі потрібно визначити обсяги виробництва, враховуючи її щодобові виробничі…   Вихідною інформацією до задачі слугує така:

Таблиця 7.1

Витрати на перевезення вантажу
на окремих ділянках транспортної мережі,

Гривень

Побудова графа транспортної мережі. Для розв’язування задачі про визначення найекономічнішого маршруту наявну транспортну мережу доцільно подати у… (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (4, 8), (5, 7), (6, 8)… Довжина кожної дуги є відомою – вона відповідає витратам на перевезення вантажу на відповідній ділянці транспортної…

Таблиця 7.2

Розв’язування задачі про визначення максимального потоку на комп’ютері. Відкриємо робочу книгу Excel "Potik.xls" та у клітинках A1:H1… Блок клітинок A3:H12 відведемо для вихідних даних з таблиці 7.2 про пропускні… Для інформації про план перевезень відведемо блок клітинок A14:H23. За формою він є копією блоку A3:H12. Значення…

Таблиця 8.1

  Фірма планує для забезпечення пальним усіх АЗС побудувати єдиний розподільчий… Позначимо через координати розподільчого центру (на трасі Київ–Одеса, в кілометрах), а через у – загальний обсяг…

ВИКОРИСТАННЯ Excel

Для проведення оптимізаційних розрахунків

На ПК

 

Навчальний посібник

для студентів економічних та управлінських спеціальностей

вищих навчальних закладів України

 

 

Текст подано в авторській редакції

 

[1] Кігель В.Р. Елементи лінійного, цілочислового лінійного, нелінійного програмування: Навчальний посібник. – К.: ІСДО, 1995. – 400 с.