ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Опорный конспект лекций

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный университет

технологии и дизайна»

 

 

А. Г. Усов

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Опорный конспект лекций. Ч.2

Учебное пособие

 

 

Вторая часть конспекта является продолжением первой части. Конспект содержит определения терминов, формулировки основных положений курса теоретической механики, а также разъяснения тех вопросов программы, изучение которых предлагается студентам выполнить самостоятельно. Конспект предназначен для студентов, обучающихся в СПГУТД по различным специальностям. Если какой-то материал выходит за рамки образовательного стандарта (например, параграфы, отмеченные символом *), он может быть опущен.

 

УДК 531.3

 

 

Санкт-Петербург

Содержание

 

3. Динамика материальной точки и механической системы ….……. . 3

3.1. Динамика материальной точки…………………………….. ……… 3

Основное уравнение динамики точки (3). Сила инерции. Уравнение динамики относительного движения (3). Две задачи динамики матер. точки (4). Решение обратной задачи (4). Начальные условия (5). Простейшие задачи динамики точки (5). К задаче об исследовании движения тела, брошенного под углом к горизонту (9). Свободные гармонические незатухающие колебания точки (11). Эквивалентная жесткость упругих элементов (13). Свободные затухающие колебания (13). Фазовый «портрет» гармонического осциллятора (ГО) (14). Вынужденные колебания (15). Вынужденные колебания вблизи резонанса (биения) и при резонансе (16). Коэффициент динамичности (17). Действие периодической или произвольной вынуждающей силы на ГО (18-19). ГО как звено САУ (19). Вынужденные колебания ГО с сопротивлением (20). Примеры колебательного движения (21).

3.2. Геометрия масс. Теоремы динамики……. ……………………… 23

Центр масс мех. системы (23). Выражение количества движения системы через скорость ее центра масс; уравнение движения центра масс (24). Теоремы Кёнига (24). Кинетическая энергия твердого тела в простейших случаях его движения (25).Кинетический момент вращающегося тв. тела (26). Кинетический момент и кинетическая энергия тела при его сферическом движении. Тензор инерции (26). Теорема Гюйгенса-Штейнера (31). Моменты инерции относительно полюса и плоскости (31). Моменты инерции некоторых однородных тел (32). Потенциальное силовое поле (33). Потенциальная энергия (34). Работа силы тяжести (35). Работа упругой силы (36). О кинетической энергии системы: приведение масс (37). Теорема об изменении кинетической энергии (38). Теорема об изменении количества движения; импульсные функции (39). Теорема об изменении кинетического момента (41). Физический маятник (42 ). Центр удара (42). Приближенная теория гироскопа (44). Удар матер. точки о преграду (44). Прямой удар двух тел (46).

3.3. Метод кинетостатики……………………………………………….. 47

Приведение сил инерции к простейшему виду (47). Уравнения кинетоста-тики твердого тела (48). Дифференциальные уравнения движения твердого тела (48).

4. Аналитическая механика …………………………………………….. 51

4.1. Классификация связей ……………………………………………. 51

4.2. Виртуальные перемещения. Обобщенные силы ………………. 51

Виртуальные и возможные перемещения (51). Идеальные связи (52).

Принцип виртуальных перемещений - ПВП (52). Общее уравнение динамики системы (53). Обобщенные силы (53). Классификация обобщенных сил (55). Выражение ПВП в терминах обобщенных сил (55). Общее уравнение динамики системы в терминах обобщенных сил (57).

4.3. Уравнения Лагранжа. Уравнения Гамильтона …………………… 58

Уравнения Лагранжа второго рода (58). Функция Лагранжа (58). Структура уравнений Лагранжа – 2 (58). Вариационный принцип Гамильтона (59) Уравнения Гамильтона (61). Циклические координаты (63).

4.4. Малые колебания консервативной системы.................................... 63

Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия (63). Малые колебания консервативной системы вблизи положения устойчивого равновесия (64).

Литература ………………………………………………………………. 67

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Опорный конспект лекций

 

Часть 2

 

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Динамика материальной точки

Основное уравнение динамики несвободной точки удобно представить в следующей форме: , где - равнодействующая задаваемых сил, приложенных к точке, - равнодействующая реакций связей.

Геометрия масс. Теоремы динамики

Пусть механическая система состоит из точечных фрагментов. Рассмотрим некоторую точку С пространства и пусть - радиус-вектор -го фрагмента… . Пусть - радиус-вектор -го фрагмента относительно полюса О абсолютной (инерциальной) системы отсчета, - абсолютный…

Моменты инерции относительно полюса и относительно плоскости

Эти моменты инерции определяются аналогично осевым моментам формулой , где - расстояние от -ой точки до полюса или до плоскости.

а б в г

 

Рис. 9. Моменты инерции относительно осей

 

Полярный момент инерции относительно начала декартовой системы координат

.

Моменты инерции относительно координатных плоскостей

Очевидны соотношения

.

Моменты инерции некоторых однородных тел

; . б) Тонкий обруч (тонкостенная труба) радиуса (рис. 9,в) .

Потенциальное силовое поле

Силовое поле называется потенциальным (имеющим скалярный потенциал), если существует дважды непрерывно дифференцируемая силовая функция , такая, что… . Тогда работа силы при перемещении точки приложения силы из пункта 1 в пункт 2 равна (см. ч. 1, п. 2.1.7)

Потенциальная энергия

Выберем одну из поверхностей уровня и назначим ее поверхностью нулевого уровня потенциальной энергии, т.е. на этой поверхности считается . Потенциальная энергия малого фрагмента системы, находящегося в точке поля,…

О кинетической энергии механической системы

Пример. Механическая система (рис. 10,в) состоит из двух тел массами ; она имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной можно назначить… Производная от обобщенной координаты по времени называется обобщенной…  

Теорема об изменении кинетической энергии

- когда условие задачи сформулировано в терминах сила – скорость – перемещение; - когда требуется исключить реакции идеальных связей (не совершающие… - когда в задаче используются постулаты иных разделов физики (понятие энергии существует не только в механике).

Метод кинетостатики

Приведение сил инерции, приложенных к твердому телу, к простейшему виду

Главный вектор сил инерции равен производной по времени от количества движения с противоположным знаком:

,

где - масса тела, - ускорение центра масс.

Главный момент сил инерции относительно неподвижного полюса :

,

где - кинетический момент тела относительно полюса .

(Кинетический момент относительно подвижного полюса определяется с помощью теоремы Кёнига).

Уравнения кинетостатики твердого тела

, . Здесь - равнодействующая активных сил, приложенных к -ой точке системы, -… а) главный вектор всех сил (задаваемых сил, реакций и сил инерции) равен нулю:

Аналитическая механика

Классификация связей

Рассмотрим связи, заданные аналитически. Связи выражают условия, накладываемые на положения и скорости точек, составляющих механическую систему.

А) Пусть условия связей заданы как неравенств:

Связи в этом случае называются ограничивающими. Если условия связи заданы в виде равенств – уравнений связей

,

то связи называются удерживающими (или напряженными).

Будем далее изучать механические системы, подчиненные удерживающим связям.

Б) Если уравнения связей явно содержат время, то связи называются нестационарными (или реономными – «текучими»). Иначе связи называются стационарными (или склерономными – «жесткими»).

В) Если уравнения связей содержат производные от координат, то связи называются дифференциальными, иначе они называются позиционными.

Если уравнения дифференциальных связей как дифференциальные уравнения относительно координат удается разрешить (проинтегрировать), то дифференциальные связи называются интегрируемыми. Механическая система, подчиненная позиционным или дифференциальным интегрируемым связям, называется голономной (– весь, целый; – закон).

Г) Если реакции связей совершают нулевую работу при любых виртуальных перемещениях точек механической системы (см. ниже), то связи называются идеальными, иначе – неидеальными.

4.2. Виртуальные перемещения. Обобщенные силы

4.2.1. Виртуальные перемещения - это бесконечно малые перемещения точек механической системы, совместимые со связями (удовлетворяющие уравнениям связей), совершаемые в окрестности рассматриваемого положения системы при мгновенно остановленных («замороженных») связях (если они нестационарные). Символ «» означает изохронную вариацию функции (радиус-вектора -ой точки системы) – бесконечно малое приращение этой функции при фиксированном значении аргумента функции . Вариация функции одной или нескольких переменных рассчитывается по тем же правилам, как и ее дифференциал, но при условии . Виртуальные перемещения при стационарных связях называются также возможными.

Сумму элементарных работ задаваемых сил на виртуальных (возможных) перемещениях точек механической системы будем называть виртуальной (возможной) работой задаваемых сил:

. Виртуальная работа реакций связей есть величина , а виртуальная работа даламберовых сил инерции

.

Идеальные связи

Идеальными называют связи, реакции которых не совершают работу на виртуальных перемещениях точек системы, т.е. виртуальная работа реакций равна нулю при любом наборе из векторов (сокращенно обозначим последнее условие как ):

.

Принцип виртуальных перемещений ( ПВП)

Для того, чтобы некоторое положение механической системы, подчиненной идеальным связям, было положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы виртуальная работа задаваемых сил в этом положении была равна нулю:

;.

Общее уравнение динамики системы

В каждый момент времени движения механической системы, подчиненной идеальным связям, сумма виртуальных работ задаваемых сил и сил инерции равна нулю:

; .

Обобщенные силы

  Вариация -го радиус-вектора равна

Классы обобщенных сил

Потенциальные силы определяются известным уже нам условием: функция , такая, что .

Гироскопические силы определяются условием , т.е. в любой момент времени суммарная мощность таких сил равна нулю.

Диссипативные силы характерны тем, что их суммарная мощность .

Если связи стационарны, а на систему действуют только потенциальные и гироскопические силы, то система консервативна, т.е. полная механическая энергия . Если помимо этих сил действуют диссипативные силы, то .

Выражение ПВП в терминах обобщенных сил

Пример. Механическая система состоит из грузов, нитей и блоков (рис.15,а).… Определим число степеней системы и назначим обобщенные координаты. Положение груза 1 можно задать координатой ,…

Уравнения Лагранжа. Уравнения Гамильтона

Обобщенная сила инерции может быть выражена через кинетическую энергию системы: . Из п. 4.8 получаем уравнений Лагранжа 2 рода:

Структура уравнений Лагранжа-2

. Тогда кинетическая энергия системы равна ,

Вариационный принцип Гамильтона

Набор функций условно называется путем системы. При движении системы реализуется путь, называемый прямым (на рис. 16 он изображен жирной линией).… Рис. 16. Прямой и окольные пути

Циклические координаты

Обобщенная координата называется циклической, если она явно не входит в выражение функции Лагранжа, т. е. если . Тогда , откуда следует

,

т. е. имеем один из интегралов системы дифференциальных уравнений движения.

4.4. Малые колебания консервативной системы вблизи положения устойчивого равновесия

Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия

. Положение равновесия называется устойчивым, если такое, что из условий… при, .