Выражение ПВП в терминах обобщенных сил

Для того чтобы некоторое положение механической системы было бы положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении все обобщенные силы обращались в нуль:

Пример. Механическая система состоит из грузов, нитей и блоков (рис.15,а). Скольжение нитей по ободьям блоков считается отсутствующим. Массы тел обозначены соответственно как . Требуется найти условия равновесия системы.

Определим число степеней системы и назначим обобщенные координаты. Положение груза 1 можно задать координатой , которую удобно отсчитывать от конструктивно заданного начала – точки схода нити

с блока. Зафиксируем координату . При неподвижном грузе 1 возможно движение груза 2 и блока 6, который при этом как бы катится без скольжения по левой ветви нити. Следовательно, число степеней свободы системы больше единицы. Введем координату . Если зафиксировать координаты и , то движение системы невозможно. Следовательно, число степеней свободы равно 2, а величины и можно принять за обобщенные координаты данной системы.

а б в

Рис. 15. Механическая система из блоков и грузов

Определим обобщенную силу , соответствующую координате . Рассмотрим положение системы, соответствующее произвольным значениям координат и . Фиксируем координату , а координате придадим положительное приращение (рис.15,б). Груз 3 и центр блока 6 переместятся вверх на величину . Парциальная работа задаваемых сил тяжести

Множитель при в последнем выражении есть обобщенная сила

.

Аналогично .

Согласно ПВП условия равновесия имеют вид , что дает нам два уравнения равновесия системы в произвольном ее положении

.

Обобщенные силы можно также найти, составив выражение для потенциальной энергии системы .

Назначаем начальный уровень отсчета энергии : пусть . В произвольном положении системы грузы 1 и 2 опущены на и , а груз 3 и центр блока 6 подняты на высоту . (Отметим, что в любой момент времени справедлива формула - рис.15, в). Тогда

.

Взяв от этой функции частные производные по и , находим обобщенные силы.

4.2.8. Общее уравнение динамики системы в терминах обобщенных сил

При условии идеальности связей в любой момент времени движения механической системы каждая обобщенная задаваемая сила уравновешивается соответствующей обобщенной силой инерции :

.

Здесь .