рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Философия
/
Вариационный принцип Гамильтона

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Вариационный принцип Гамильтона

Вариационный принцип Гамильтона - раздел Философия, ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Опорный конспект лекций Пусть Задан Промежуток Времени ...

Пусть задан промежуток времени , на котором исследуется движение консервативной системы. Выражение , где - функция Лагранжа, называется действием по Гамильтону. Размерность этой величины . Значение величины зависит от того, какие функции (и, следовательно, какие функции ) входят в выражение для . Действие по Гамильтону представляет собой отображение набора функций на множество действительных чисел и называется функционалом. Функционал можно считать функцией от функции, в рассматриваемом случае – функцией от функций .

Набор функций условно называется путем системы. При движении системы реализуется путь, называемый прямым (на рис. 16 он изображен жирной линией). Другие пути, образующиеся благодаря варьированию величин в каждой точке , называются окольными. Окольные пути начинаются и заканчиваются в тех же точках пространства , что и прямой путь.

Рис. 16. Прямой и окольные пути

Принцип Гамильтона заключается в утверждении, что прямой путь отличается от окольных путей тем, что на нем действие принимает экстремальное (стационарное) значение. Экстремальное значение функционал приобретает при условии обращения в нуль его вариации, т.е. на прямом пути .

Действительно,

При этом , т.к. в начальной и конечной точках все пути сходятся: в этих точках . В силу уравнений Лагранжа-2 получаем .

*4.3.5. Уравнения Гамильтона

Введем вместо лагранжевых переменных гамильтоновы переменные . Здесь - вектор обобщенных импульсов, определяемых формулами

(потенциальная энергия зависит от переменных и не зависит от ). Тогда каждое уравнение Лагранжа-2 можно записать так:

.

Пусть связи стационарны: ; тогда справедливо равенство , или .

Отсюда получим

или, с учетом введенных величин ,

.

С другой стороны, выражения представляют собой линейную систему уравнений относительно , определитель которой (предложение п. 4.3.3). Тогда существует единственное нетривиальное (ненулевое) решение этой системы, и величины можно выразить через и подставить в кинетическую энергию , представив ее как функцию гамильтоновых переменных

Отметим, что ). Имеем далее

.

Поскольку , получаем, что

и .

Тогда .

Функцию называют функцией Гамильтона. При стационарных связях она есть полная механическая

энергия системы, выраженная в гамильтоновых переменных.

Функцию Гамильтона можно представить также в виде:

.

Систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций и

,

называют каноническими уравнениями Гамильтона движения консервативной системы.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Опорный конспект лекций

Федеральное агентство по образованию... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального... Санкт Петербургский государственный университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Вариационный принцип Гамильтона

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Динамика материальной точки
3.1.1.Основное уравнение динамики материальной точки в случае, когда на точку действуют n сил, имеет вид:

Геометрия масс. Теоремы динамики
3.2.1. Центр масс (центр инерции) механической системы Пусть механическая система состоит из

Моменты инерции некоторых однородных тел
а) Стержень (прямоугольная пластина) постоянной толщины массой и длиной

Потенциальное силовое поле
Силовое поле – часть пространства (или все пространство), в каждом пункте которого определена, тем или иным физическим законом, сила, действующая на материальную точку, находящуюся в этом пункте.

Потенциальная энергия
Потенциальная энергия тела (и механической системы вообще) складывается из потенциальных энергий отдельных его фрагм

О кинетической энергии механической системы
Кинетическую энергию находим как сумму кинетических энергий частей системы. Если система имеет одну степень свободы, и кинетическая энергия представлена как функция скорости какого-либо элемента си

Теорема об изменении кинетической энергии
Эта теорема динамики применяется в задачах механики в следующих ситуациях: - когда условие задачи сформулировано в терминах сила – скорость – перемещение; - когда требуется исключ

Уравнения кинетостатики твердого тела
Для механической системы, состоящей из материальных точек, можно составить

Обобщенные силы
Пусть механическая система состоит из точек и имеет

Выражение ПВП в терминах обобщенных сил
Для того чтобы некоторое положение механической системы было бы положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении все обобщенные силы обращались в нуль:

Уравнения Лагранжа. Уравнения Гамильтона
4.3.1.Уравнения Лагранжа второго рода (уравнения Лагранжа-2) Обобщенная сила инерции

Структура уравнений Лагранжа-2
Из выражения для радиус-вектора в п. 4.6 находим, что

Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия
Пусть консервативная механическая система имеет положение равновесия, т.е. положение, в котором она остается бесконечно долго, если она имела в этом положении нулевые обобщенные скорости. Пусть зна