Реферат Курсовая Конспект
Основы проективной геометрии - раздел Философия, Основы Проективной Геометрии ...
|
Основы проективной геометрии
Классификация проекций
Проекции преобразуют точки из системы координат размерностью n, в точки системы координат размерностью n-1. Проекция строится при помощи прямых проецирующих лучей, называемых проекторами, которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и на проекционной плоскости образуют проекцию.
Проекции подразделяются на два основных класса: центральные (перспективные) и параллельные. Эти проекции различаются соотношением между центром проекции и проекционной плоскостью. Если это расстояние конечно, то проекция - центральная, если бесконечно, то проекция параллельная. Для центральной проекции явно задается центр проекции, а для параллельной проекции задается только направление проецирования.
Центральная проекция порождает визуальный эффект, аналогичный эффекту фотосистем или зрительной системы человека, и поэтому используется, в основном, художниками и архитекторами для изображения общих планов с максимальной степенью реалистичности. Параллельная проекция порождает менее реалистичное изображение, но фиксирует истинные размеры и, как правило, применяется в технических чертежах.
Рассмотрим классификацию проекций.
Классификация проекций
Проекции |
Параллельные |
Центральные |
Аксонометрические |
Косоугольные |
Однофокусные Двухфокусные Трёхфокусные |
Ортогональные Изометрия Диметрия Триметрия |
Свободные Кабинетные |
Среди аксонометрических проекций различают:
· ортогональную проекцию, когда проекционная плоскость перпендикулярна главным координатным осям;
· изометрию, когда в плоскости проекции три оси одинаково сокращены;
· диметрию, когда в плоскости проекции две оси одинаково сокращены;
· триметрию, когда в плоскости проекции разное сокращение по всем осям.
Ортогональные проекции. Рассмотрим часто употребляемое в техническом черчении ортогональное проецирование, которое слагается из фронтальных, профильных и горизонтальных проекций. Для этого рассмотрим сначала проекции в плоскостях X=0, Y=0, Z=0. Преобразование проецирования в соответствующую нулевую плоскость всегда содержит нулевой столбец, соответствующий плоскости проекции. Поэтому матрицы преобразования проецирования будут иметь вид
Матрицы преобразования проецирования в плоскостях X=0, Y=0, Z=0:
.
Естественная видовая плоскость экрана ХУ с Z=0, поэтому рассмотрим различные виды ортогональных проекций на плоскость Z=0. Для того, чтобы получить необходимый вид проекции, необходимо:
1. Выполнить вращение объекта вокруг оси Х или У до тех пор, пока требуемый вид объекта примет фронтальный вид.
2. Выполнить проецирование из бесконечности на плоскость Z=0.
Тогда алгоритмы ортогонального проецирования запишутся как:
М(Фп) = M(R(Х, 0)) ´ M(z=0) - (фронтальная проекция, вид спереди);
М(Фз)=M(R(Х,180)) ´ M(z=0) - (фронтальная проекция, вид с тыла);
М(Гв) = М R(Х, 90)) ´ M(z=0) - (горизонтальная проекция, вид сверху);
М(Гн) = М(R(Х, -90)) ´ M(z=0) - (горизонтальная проекция, вид снизу);
М(Пл) = М(R(Y, 90)) ´ M(z=0) - (профильная проекция, вид слева);
М(Пп) = М(R(Y, -90)) ´ M(z=0) - (профильная проекция, вид справа).
Подставляя в матрицы M(R(X,Q))и M(R(Y,Q))значения Q соответствующих видовых преобразований получим
Эти матрицы составляют программное обеспечение ортогонального проецирования и после выполнения умножения матрицы описания объекта на соответствующую матрицу видового преобразования, получаем нужную проекцию, т.е. Р*=РМ(вида).
Рассмотрим примеры вычисления ортогональных проекций для равнобедренной усечённой пирамиды (рис. 1, лекция 1) с учётом ОК.
Исходная матрица | Матрица преобразования | Преобразованная матрица Р* | Нормализованная матрица Р* |
´ | = Профильная проекция вид слева | ||
= Горизонтальная проекция вид сверху |
Изометрия, диметрия и триметрия. Ортогональное проецирование позволяет “увидеть” каждую грань объекта в отдельности. Для того чтобы “увидеть” сразу несколько граней, применяют диметрическое и изометрическое проецирование. Изометрия, диметрия получаются комбинацией поворотов, за которыми следует проекция из бесконечности. Если нужно описать проекцию на плоскость z=0, то сначала необходимо осуществить преобразование поворота на угол b относительно оси Y, затем на угол a относительно оси Х. Тогда общее уравнение получения диметрии или изометрии на пдоскость Z=0, имеет вид
M(Дим или Из = М(R(Y, b)) М(R(X, a)) M(Z=0)
После выполнения умножения получаем
.
Для диметрии ось z сокращается в 2 раза. Тогда угол a =20,70, а b =22,20.
.
Для изометрии a=35,260; b=450. Тогда после вычисления тригонометрических функций матрица преобразования для изометрии запишется в виде
.
Пример вычисления диметрии и изометрии на плоскость Z=0 для единичного куба.
Р =
Пример диметрической и изометрической проекций
Косоугольные проекции. В косоугольных проекциях проектирующие прямые образуют с плоскостью проекции угол отличный от 900. Поэтому появляются составляющие косоугольной проекции единичного вектора Z на плоскость XY. Тогда единичный вектор оси Z || 0 0 1 1 || преобразуется в вектор
|| Px Py 0 1 ||а матрица такого преобразования с проекцией на плоскость Z=0 будет иметь вид
Различные типы косоугольных проекций характеризуются величиной угла между проекторами и плоскостью проекции. При этом выделяют:
1. Свободную проекцию, когда этот угол равен 450.
2. Кабинетную проекцию, которая является частным случаем свободной проекции, когда масштаб по третьей оси уменьшен в два раза.
Поэтому для свободной проекции Рх=cos450 и Py=sin450, а для кабинетной проекции Px=1/2 cos450, а Py=1/2sin450.
Перспективные преобразования и проекции. Перспективному преобразованию может предшествовать последовательность аффинных преобразований. Аффинное преобразование – геометрическое преобразование плоскости или пространства, которое можно получить, комбинируя движения, зеркальные отображения и масштабирования в направлениях координатных осей.
Таким образом, чтобы получить перспективные изображения из произвольной точки наблюдения, вначале используют аффинные преобразования, позволяющие сформировать систему координат с осью z вдоль желаемой линии визирования. Затем применяют перспективное преобразование, а проекционное преобразование используют для того, чтобы спроецировать общее положение точек на плоскость наблюдения z=0 в текущей системе координат.
Перспективные проекции на плоскость Z=0 получаются из следующего общего матричного уравнения:
P*= P M(Перспек.), где М(Перспек.) =
.
Разные виды перспективных проекций получаются за счёт переменных p,q,r.
Значения | Вид проекции |
(p,q,r)≠0 | трёхточечная проекция с сходом на осях X,Y,Z |
(q,r)=0 | одноточечная проекция с сходом на оси X |
(p,r)=0 | одноточечная проекция с сходом на оси Y |
(p,q)=0 | одноточечная проекция с сходом на оси Z |
r =0 | двухточечная проекция с точками схода на X,Y |
q =0 | двухточечная проекция с точками схода на X,Z |
p =0 | двухточечная проекция с точками схода на Y,Z |
Конкретными значениями p, q, r являются величины обратно пропорциональные соответствующим фокусным расстояниям.
Примеры решения типовых задач
Примеры построения перспективных проекций
Пример 1.Вычислить перспективные проекции с фокусным расстоянием равным 10 для единичного куба. (см. пример диметрии и изометрии)
1. С одной точкой схода на оси Z
2. С двумя точками схода на осях X и Y
3. С тремя точками схода
Решение. С одной точкой схода на оси Z
С одной точкой схода на оси Z
Решение. С двумя точками схода на осях X и Y
Решение.С тремя точками схода
– Конец работы –
Используемые теги: основы, проективной, геометрии0.062
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Основы проективной геометрии
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов