Статистическое определение вероятности

.1.2 Статистическое определение вероятности

При рассмотрении результатов отдельных испытаний очень трудно найти какие-либо закономерности. Однако в последовательности одинаковых испытаний можно обнаружить устойчивость некоторых средних характеристик. Частостью какого-либо события в данной серии из n испытаний называется отношение m/n, числа m тех испытаний, в которых событие А наступило, к общему числу испытаний n. Почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частость события А устанавливается около определенного значения , которое принимается за вероятность события А. Устойчивость значения частости подтверждается специальными экспериментами. Статистические закономерности такого рода были впервые обнаружены на примере азартных игр, т. е. на примере тех испытаний, которые характеризуются равновозможностью исходов. Это открыло путь для статистического подхода к численному определению вероятности, когда нарушается условие симметрии эксперимента. Частость события А называют статистической вероятностью, которая обозначается

, (1.2)

P*(A)=mA/n

где mA - число экспериментов, в которых появилось событие А;

n - общее число экспериментов.

Аксиоматическое определение вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий Е и каждому событию А Е поставлено в соответствие единственное число Р ( А ) такое, что:

тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события А .

Классическое определение вероятности. Пусть пространство элементарных событий Е состоит из N равновозможных элементарных событий, среди которых имеется n событий, благоприятствующих событию А , тогда число

Р ( А ) = n / N

называется вероятностью события А .

1.1Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может и не произойти. Наступление случайного события, независимо от его природы, характеризуется вероятностью или плотностью вероятности. Вероятность случайного события характеризует частоту наступления случайного события, если указанные события повторяются большое количество раз.

Событие, противоположное событию A, обозначается как и состоит в том, что в результате испытания A не произошло

Несовместные (несовместимые) события - это события, для которых наступления одного из них исключает наступление других в одном и том же испытании, т.е. они не могут появиться вместе.

Диаграмма Венна — схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких (часто — трёх) множеств. Если пересечения позволяется указывать не все, получается более общий случай — круги Эйлера.

Диаграммы Эйлера — Венна (как их ещё называют) изображают все 2^n комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n=3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

 

Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или множество А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В.

Сумма ( объединение ) множеств А и В есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В.

 

Произведение ( пересечение ) множеств А и В ( рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В.

Разность множеств А и В ( рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.

1.3Перестановками из элементов называют комбинации, содержащие все элементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов.

 

Число перестановок из элементов находится по формуле Pn=n!=1*2*3*...n

 

– читается «эн факториал».

 

Принято считать, что 0 ! = 1.

 

Пример: Найти число перестановок из элементов abc

 

Р3= 3! =1×2×3 = 6

Размещениями из n элементов по (k<n) называют такие комбинации, в каждую из которых входит k элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

 

Число размещений из n элементов по k находят по формуле:

 

Amn = n (n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1).

 

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

С mn = n! / (m! (n - m)!).

Геометрическое определение вероятности

Если число исходов некоторого опыта бесконечно, то классическое определение вероятности не может служить характеристикой степени возможности… Геометрическое определение вероятности. Пусть в некоторую область случайным…  

Формула полной вероятности.

Пусть некоторое событие А может произойти при условии, что появляется одно из несовместных событий (гипотез) В1,В2,...,Вn, образующих полную группу…   При этом необходимо помнить, что, т.к. совокупность гипотез (событий Вi) всегда образует полную группу событий,…

Свойства характеристических функций

Важнейшим свойством характеристической функции, сделавшим её одним из главных инструментов современной теории вероятностей, оказалось то, что при…   Действительно,