Формула полной вероятности.

 

Пусть некоторое событие А может произойти при условии, что появляется одно из несовместных событий (гипотез) В1,В2,...,Вn, образующих полную группу событий.

 

При этом необходимо помнить, что, т.к. совокупность гипотез (событий Вi) всегда образует полную группу событий, поэтому сумма их вероятностей равна единице.

 

Вероятность события А, которое может произойти лишь при появлении одного из несовместных событий В1,В2,...,Вn, образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

1.6.Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в

 

каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие

 

испытания называют "независимыми относительно события А"(Событие А

 

имеет одну и ту жевероятность) "Сложное событие"- совмещение нескольких

 

отдельных событий, которые называют "простыми". Пусть производится n

 

независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться

 

либо не появиться. Вероятность ненаступления события А равна

 

P(A)=q=1-p. Поставим перед собой задачу вычислиьт вероятность того, что

 

при n испытаниях событие А осущетвляется ровно k раз и, следовательно,

 

не осущетвлется n-k раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы

 

событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности.

 

Искомую веротность обозначим Pn(k). Например P5(3) означает вероятность

 

того, что в испытаних событие появится ровно 3 раза и не наступит 2

 

раза. Поставленную задачу можно решить с помощью формулы Бернулли-

 

Вероятность одного события,состоящего в том, что в n испытаних событие

 

А наступит k раз и не наступит n-k раз, по теореме умнож равна

 

p^k*q^(n-k). таких испытаний может быть Ckn. Формула Бернулли:

 

Pn(k)=Ckn*p^k*q^(n-k) или Pn(k)=(n!/(k!*(n-k)!))*p^k*q^(n-k).

 

2.1.Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной вели­чины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возмож­ными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Закон распределения может быть задан таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

 

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

 

 

Закон распределения дискретной случайной величины может быть также задан аналитически (в виде формулы):P(X=xi)=s(xi)

 

или с помощью интегральной функции F(x)=P(X<x).

 

 

з формулы P{Α ≤ X < Β}=F(Β)-F(Α)следует, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется скоростью изменения функции распределения вероятностей на этом интервале. Скорость изменения непрерывной функции равна ее производной. Это позволяет ввести новую функцию для задания случайной величины. Рассмотрим снова вероятность попадания случайной величины в интервал [x,x+Δx]:

 

P{x≤X<x+Δx}=F(x+Δx)-F(x).

 

Пусть Х - непрерывная случайная величина. Тогда для малых значений Δx эта вероятность будет также достаточно малой. Поделим ее на Δx и перейдем к пределу при Δx →0:

 

limΔx →0(P{x≤X<x+Δx}/Δx)=limΔx →0(F(x+Δx)-F(x))/Δx).

 

Если это предел существует, то он равен производной от функции распределения F(x):

 

limΔx →0(F(x+Δx)-F(x))/Δx)=F'(x)=f(x).

 

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х. Из определения следует, что при малых значениях Δx справедливо равенство:

 

P{x≤X<x+Δx}≈f(x)*Δx

 

Рассмотрим свойства плотности распределения f(x).

 

1. Всегда f(x)≥0, так как функция F(x) является неубывающей функцией.

 

2 Для функции распределения F(x) справедливо равенство:

 

F(x)=-∞∫xf(t)dt.

 

Действительно, так как по определению f(x)=F'(x), то F(x) является первообразной функцией по отношению к плотности распределения f(x). Следовательно,

 

-∞∫∞f(t)dt=F(t)-∞ιx=F(x)-F(-∞)=F(x)-0=F(x.)

 

3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [Α ; Β] равна:

 

P{Α≤X<Β}=Α∫βf(t)dt.

 

Действительно, в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница этот определенный интеграл равен F(Β)-F(Α). По 3-му свойству функции распределения вероятностей эта разность и представляет собой вероятность P{Α≤X<Β} .

 

4. Интеграл от плотности распределения вероятности по всей области задания случайной величины равен единице:

 

-∞∫∞f(t)dt=1 .

 

Равенство -∞∫∞f(t)dt=1 представляет условие нормировки вероятностей для непрерывных случайных величин. По смыслу данный интеграл есть не что иное, как F(∞)=1. Условие нормировки вероятностей часто используется для определения неизвестного параметра закона распределения

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

M (X) = x1p1 + x2p2 + ...+ xnpn.

Свойства математического ожидания:

 

Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной 1 свойство.

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания 2 свойство.

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий 3 свойство.

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

Если дискретная случайная величина принимает только значения x1, x2, ..., xn, вероятности которых соответственно равны p1, p2, ..., pn . Тогда математическим ожидание определяется равенством:

 

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

 

D (X) = M [X - M (X)]2.

Свойства дисперсии:

 

Дисперсия постоянной равна нулю.

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

Если x и y независимые случайные величины , то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий.

2.2.

 

Распределе́ние Берну́лли в теории вероятностей и математической статистике — дискретное распределение вероятностей, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи.

 

 

Свойства операций над множествами:

Бернулли: Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения (закон распределения Бернулли), если она принимает целочисленные неотрицательные значения 0, 1, 2, 3, …, m, …, n с вероятностями, вычисляемыми по формуле Бернулли:

- число сочетаний из n элементов по m. где q=1-p;

 

Математическое ожидание для биномиального распределения: np; дисперсия: npq

 

2.4.Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно. Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е.

F(x) = P (X <x).

Кроме этого, для задания закона распределения непрерывной случайной величины используется функция f(x) = F/(x), которая называется плотностью вероятности и которая является производной от функции распределения

Свойства плотности вероятности

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

 

2. Дисперсия непрерывной случайной величины.

 

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

 

 

2.7.Одним из наиболее важных случаев усреднения функций согласно является вычисление среднего значения . Это среднее значение называется характеристической функцией