рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Свойства характеристических функций

Свойства характеристических функций - раздел Философия, Статистическое определение вероятности   Важнейшим Свойством Характеристической Функции, Сделавшим Её ...

 

Важнейшим свойством характеристической функции, сделавшим её одним из главных инструментов современной теории вероятностей, оказалось то, что при суммировании независимых случайных величин их характеристические функции перемножаются: если X и Y независимы, то для случайной величины Z=X+Y: wZ(t)=wX(t)×wY(t).

 

Действительно,

 

wZ(t)=M(eitZ)=M(eit(X+Y))=M(eitX×eitY)=M(eitX)×M(eitY)=wX(t)×wY(t).

 

Законы распределения при суммировании независимых слагаемых ведут себя гораздо сложнее (см. Л12, закон распределения суммы случайных величин).

 

Если Y=aX+b, то

 

wY(t)=M(eit(aX+b))=eitb×M(eitaX)=eitb×wX(at).

 

Другим важным свойством характеристических функций является их простая связь с моментами.

 

Предполагая возможность дифференцирования под знаком математического ожидания в равенстве w(t)=MeitX, получим:

 

w(k)(t)=ikM(Xk×eitX).

 

При t=0:

 

[image]

 

Таким образом, характеристическая функция позволяет заменить интегрирование при вычислении моментов дифференцированием.

 

В частности,

 

[image]

 

Характеристическую функцию определяют также и для n-мерной случайной величины (X1, X2, , ¼ , Xn):

 

w(t1, t2, , ¼ , tn)=M(expi(t1X1+t2X2+¼+tnXn)).

Иногда эту функцию называют также производящей функцией для моментов. Она представляет собой просто преобразования Фурье для и очень полезна для оценки различных характеристик распределения, так как ее наличие эквивалентно заданию самой функции распределения

3.4.РЕГРЕССИЯ [regression] — зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины или нескольких величин (в последнем случае — имеем множественную Р.). Следовательно, при регрессионной связи одному и тому же значению x величины X (в отличие от функциональной связи) могут соответствовать разные случайные значения величины Y. Распределение этих значений называется условным распределением Y при данном X = x.ерейти к: навигация, поиск

 

Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.Уравнение регрессии выражает среднюю величину одного признака как функцию другого.

2.3. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона получается как предельный случай распределения Бернулли, если устремить р к нулю, а n к бесконечности, но так, чтобы их произведение оставалось постоянным: nр = а.

1 . Математическое ожидание (среднее значение)

 

Определение:

Математическим ожиданием называется

- для дискретной случайной величины: (6.4)

 

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

 

- для непрерывной случайной величины:; (6.5)

 

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

 

Свойства математического ожидания:

 

a . Если С - постоянная величина, то МС = С

b . МСх = СМх

c . Математическое ожидание суммы случайных величин всегда равно сумме их математических ожиданий: М(х+y) = Мх + Мy d . Вводится понятие условного математического ожидания. Если случайная величина принимает свои значения хi с различными вероятностями p(xi/Hj) при разных условиях Hj, то условное математическое ожидание определяется

 

как или ; (6.6)

 

Если известны вероятности событий Hj, может быть найдено полное

 

математическое ожидание: ; (6.7)

 

Пример 4: Сколько раз в среднем надо бросать монету до первого выпадения герба ? Эту задачу можно решать "в лоб"

xi 1 2 3 ... k..

p(xi) : ,

 

но эту сумму еще надо вычислить. Можно поступить проще, используя понятия условного и полного математического ожидания. Рассмотрим гипотезы Н1 - герб выпал в первый же раз, Н2 - в первый раз он не выпал. Очевидно, р(Н1) = р(Н2) = ½; Мx / Н1 = 1;

Мx / Н2 на 1 больше искомого полного матожидания, т.к. после первого бросания монеты ситуация не изменилась, но один раз она уже брошена. Используя формулу полного математического ожидания, имеем Мх = Мx / Н1×р(Н1) + Мx / Н2×р(Н2) = 1×0.5 + (Мх + 1)×0.5 , разрешая уравнение относительно Мх, получаем сразу Мх = 2 .

 

e . Если f(x) - есть функция случайной величины х, то определено понятие математического ожидания функции случайной величины:

 

- для дискретной случайной величины: ; (6.8)

 

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся.

 

-для непрерывной случайной величины:; (6.9)

 

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся.

 

2 . Дисперсия случайной величины

Определение:

Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения величины от ее математического ожидания: Dx = M(x-Mx)2

 

- для дискретной случайной величины: ; (6.10)

 

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

 

- для непрерывной случайной величины: ; (6.11)

 

Интеграл должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

 

Свойства дисперсии:

a . Если С - постоянная величина, то DС = 0

b . DСх = С2Dх

c . Дисперсия суммы случайных величин всегда равно сумме их дисперсий только, если эти величины независимы (определение независимых величин)

d . Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу:

 

Dx = Mx2 - (Mx)2 (6.12)

 

2.5.Непреры́вное равноме́рное распределе́ние — в теории вероятностей распределение, характеризующееся тем, что вероятность любого интервала зависит только от его длины.

Свойства математических ожиданий

 

Математическое ожидание постоянной величены равно этой постоянной; т.е. если С-постоянная величина, то

 

 

Постоянный множитель можно выносить за символ математического ожидания, т.е. если k постоянный множитель, то

 

 

Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий, т.е.

 

Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

 

6. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на одно и тоже число С, то ее математическое ожидание увеличится (уменьшиться) на это же число

 

б) дисперсией D(X) случайной величины Х называется математического ожидания α(M(X)= α:

 

в) средним квадратическим отношением G(X) (G) случайной вершины называется арифметическим значением корня квадратного из дисперсии, т.е.

 

 

Свойства дисперсий

 

1. Дисперсия постоянной величены равна, т.е. если С постоянная величена, то

 

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, но возводя его при этом в квадрат, т.е. если k – постоянный множитель, то

 

 

3. Если все значения случайной величены увеличить или уменьшить на одно и то же число С, то дисперсия не изменится

 

4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

 

5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

 

6. Дисперсия случайной величены равна ожиданию квадрата ее без квадрата ее математического ожидания,т.е.

 

3.1.Закон распределения дискретной случайной величины

 

Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно указать еще и их вероятность.

 

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

 

Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде многоугольника распределения).

 

Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения x1, x2, x3 ... xn с некоторой вероятностью pi, где i = 1.. n. Сумма вероятностей pi равна 1.

 

Сумма вероятностей

 

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей вида

x1 x2 x3 ... xn ...

p1 p2 p3 pn

 

называется рядом распределения дискретной случайной величины или просто рядом распределения. Эта таблица является наиболее удобной формой задания дискретной случайной величины.

 

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. По оси абсцисс откладываются возможные значения дискретной случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности.

 

Многоугольник распределения

Числовые характеристики дискретных случайных величин

 

Закон распределения полностью характеризует дискретную случайную величину. Однако, когда невозможно определить закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины:

 

Математическое ожидание,

Дисперсия,

Среднее квадратичное отклонение

 

Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

 

Математическое ожидание M дискретной случайной величины - это среднее значение случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

 

Свойства математического ожидания:

 

Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной 1 свойство.

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания 2 свойство.

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий 3 свойство.

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

 

Для описания многих практически важных свойств случайной величины необходимо знание не только ее математического ожидания, но и отклонения возможных ее значений от среднего значения.

 

Дисперсия случайной величины — мера разброса случайной величины, равная математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

 

Дисперсия

 

Принимая во внимание свойства математического ожидания, легко показать что

 

Дисперсия случайной величины

 

Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания, а просто отклонение. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуля отклонения случайной величины от ее математического ожидания, но как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям.

 

Свойства дисперсии:

 

Дисперсия постоянной равна нулю.

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

Если x и y независимые случайные величины , то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий.

 

Средним квадратическим отклонением случайной величины (иногда применяется термин «стандартное отклонение случайной величины») называется число равное

 

 

среднее квадратическое отклонение

 

Среднее квадратическое отклонение, следовательно, является, как и дисперсия, мерой рассеяния распределения, но измеряется, в отличие от дисперсии, в тех же единицах, которые используют для измерения значений случайной величины.

2.6.Нормальное распределение, также называемое гауссовым распределением, гауссианой или распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

ормально распределенные случайные величины

 

Случайная величина Х распределена по нормальному закону (или закону Гаусса), если плотность вероятности ее имеет вид

 

 

где а=М(Х) – математическое ожидание, G2=D(x)- дисперсия случайно величины.

 

.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

 

которая назывФункция Лапласа обладает следующими свойствами:

 

1) Ф(0) = 0;

 

2) Ф(-х) = - Ф(х);

 

3) Ф(¥) = 1

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

 

Как уже было установлено, вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах:

.

Для нормально распределенной случайной величины соответственно получим:

.

Преобразуем последнее выражение, введя новую переменную . Следовательно, показатель степени выражения, стоящего под интегралом преобразуется в:

.

Для замены переменной в определенном интеграле еще необходимо заменить дифференциал и пределы интегрирования, предварительно выразив переменную из формулы замены:

;

;

– нижний предел интегрирования;

– верхний предел интегрирования;

(для нахождения пределов интегрирования по новой переменной в формулу замены переменной были подставлены и – пределы интегрирования по старой переменной ).

Подставим все в последнюю из формул для нахождения вероятности:

 

где – функция Лапласа.

Вывод: вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна:

,

где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.

 

2.9.Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц. П. Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

 

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

 

Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям k, таким что |k-np|=o(npq)^{2/3}, имеет место

 

P(X=k)simfrac{1}{sqrt{2pi npq}}e^{-frac{(k-np)^2}{2npq}}=frac{1}{sqrt{npq}}varphileft(frac{k-np}{sqrt{npq}} ight),

 

где varphi — плотность стандартного нормального распределения.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Статистическое определение вероятности

При рассмотрении результатов отдельных испытаний очень трудно найти какие либо закономерности Однако в последовательности одинаковых испытаний... P A mA n...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Свойства характеристических функций

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Геометрическое определение вероятности
  Если число исходов некоторого опыта бесконечно, то классическое определение вероятности не может служить характеристикой степени возможности наступления того или иного события. В эт

Формула полной вероятности.
  Пусть некоторое событие А может произойти при условии, что появляется одно из несовместных событий (гипотез) В1,В2,...,Вn, образующих полную группу событий.  

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги