Устойчивость простейшей динамической системы управления по линейному приближению ее математической модели

 

Если использовать полученную структурную схему динамической системы управления с исполнительным электродвигателем постоянного тока с независимым возбуждением без учета средств коррекции (см. рис. 17), то передаточная функция этой системы управления в замкнутом состоянии по ошибке (9) примет следующий вид:

(60)

или при достаточно малом трении на объекте и на валу исполнительного двигателя, т.е. при :

. (61)

В соответствии с известным алгебраическим критерием Раута-Гурвица, для того чтобы система управления, функционирование которой описывает математическая модель в виде передаточной функции (60) или (61), необходимо и достаточно выполнение следующих условий. Во-первых, все коэффициенты характеристического полинома в (60) или (61) должны быть с одним знаком, например, положительными. И, во-вторых, должно соблюдаться неравенство вида

или . (62)

Если заданными требованиями к функционированию динамической системы управления предусмотрено обеспечение величины максимальной скорости отработки: ; , максимальной допустимой ошибки , то можно определить добротность этой системы управления по скорости, равную:

. (63)

Таким образом, для выполнения требований к системе по скорости должно быть обеспечено условие .

Аналогично, если требованиями к функционированию динамической системы управления предусмотрено обеспечение величины максимального ускорения отработки: при той же заданной максимальной допустимой ошибки , можно определить добротность этой системы управления по ускорению:

. (64)

Но для этого необходимо с учетом (62) выполнения условия:

. (65)

Далее отметим, что динамическая система управления с электродвигателем постоянного тока с независимым возбуждением без средств коррекции структурно устойчива. Иными словами, всегда можно выбрать коэффициент усиления в прямой цепи системы, отвечающий условию (65).

Однако для обеспечения устойчивости в этом случае необходимо, чтобы электромагнитная постоянная времени была достаточно малой. Практически такое условие невыполнимо.

С другой стороны, применяя известную предельную теорему к (60) или (61), можно определить величины статической и скоростной ошибок рассматриваемой динамической системы управления.

 

Статическую ошибку определяет условие постоянства входного сигнала:

. (66)

При этом

, (67)

так как , и .

 

Такую динамическую систему управления принято называть астатической первого порядка.

 

Напомним, что порядок астатизма определяется показателем степени в знаменателе передаточной функции в разомкнутом состоянии (6).

 

Скоростную ошибку определяет условие постоянства задаваемой скорости:

. (68)

При этом

.(69)

 

Таким образом, скоростная ошибка динамической системы управления с астатизмом первого порядка прямо пропорциональна задаваемой скорости и обратно пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутой системы

 

Очевидно, что, для того чтобы при некоторой максимальной постоянной задаваемой скорости ошибка системы не превышала заданной, необходимо, чтобы коэффициент усиления в прямой цепи динамической системы был не менее ее добротности (63). Нетрудно убедится, что практически всегда это приводит к нарушению условий (62), а величина действительной ошибки при постоянной максимальной скорости всегда оказывается равной:

. (70)

Для уменьшения этой ошибки за счет обеспечения возможности поднять коэффициент усиления в прямой цепи динамической системы и применяются различные средства коррекции. Процесс синтеза средств коррекции называют процессом выбора законов управления этой динамической системы.

 

Выбор законов управления обеспечивается следующими способами:

1) введением в закон управления первой и более высоких производных от угла поворота исполнительной оси (объекта управления) с помощью местных отрицательных обратных связей;

2) использованием звена последовательной коррекции;

3) введением в закон управления первой и более высоких производных от угла рассогласования (ошибки) с помощью местных отрицательных обратных связей и компенсационных сигналов, пропорциональных первой и более высоким производным от угла поворота командной оси.

 

На структурной схеме рис. 16 первому способу соответствуют цепи с коэффициентами передачи , второму - звено с передаточной функцией , третьему - цепи с коэффициентами передачи и .

В качестве примера покажем, как это сказывается на функционировании динамической системы управления с передаточной функцией (60), т.е. когда коэффициент трения .

Вначале представим структурную схему рис. 17 в виде рис 18.

Рис.18. Структурная схема с введение первой производной

 

Очевидно, что в этом случае передаточная функция системы в разомкнутом состоянии с учетом местной обратной связи примет вид

. (71)

Передаточная функция этой системы управления в замкнутом состоянии по ошибке (9) запишется как

. (72)

Неравенство (62) преобразуется к виду

., (73)

а условие устойчивости (63) динамической системы управления в зависимости от значения :

. (74)

 

Таким образом, полученное соотношение (74) позволяет определить значение коэффициента в цепи обратной связи, которое гарантирует устойчивость динамической системы с электродвигателем постоянного тока с независимым возбуждением в качестве исполнительного двигателя при соответствующем увеличении значения коэффициента усиления в прямой цепи.

 

Так, если выбрать величину коэффициента обратной связи (74)

, (75)

а в пределе

, (76)

соответственно, то система управления останется устойчивой при сколь угодно большом коэффициенте усиления:

. (77)

 

При этом установившаяся статическая ошибка останется равной нулю, а скоростная определится из того, что

. (78)

 

Первое слагаемое этой ошибки может быть уменьшено за счет выбора достаточно большого коэффициента усиления , а второе мало потому, что коэффициент обратной связи по скорости по абсолютной величине также мал, а крутизна чувствительного элемента обычно больше единицы.

 

Аналогичный результат может быть получен при введении в закон управления второй производной от угла поворота исполнительной оси. Покажем это также на примере, когда коэффициент трения . Структурная схема для этого случая примет вид рис. 19.

 

Рис. 19. Структурная схема с введение второй производной

 

Передаточная функция (70) с учетом отрицательной местной обратной связи в этом случае примет вид:

, (79)

а передаточная функция системы в замкнутом состоянии по ошибке (74)

. (80)

Условие устойчивости (63) динамической системы управления в зависимости от значения определится из неравенства

, (81)

откуда:

., (82)

Тогда, если выбрать величину коэффициента обратной связи

, (83)

а в пределе

, (84)

соответственно, то система управления останется устойчивой при сколь угодно большом коэффициенте усиления:

. (85)

При этом установившаяся статическая ошибка останется равной нулю, а скоростная определится из того, что

(86)

и, следовательно, может стать сколь угодно малой с ростом , так как всегда справедливо .