рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Метод Гауса

Метод Гауса - раздел Философия, НАБЛИЖЕННЯ ЧИСЕЛ. ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ Теоретичні Відомості Найпростішим Методом Ро...

Теоретичні відомості

Найпростішим методом розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод послідовного включення змінних, або метод Гауса. Є кілька модифікацій цього методу. Розглянемо схему єдиного ділення, за якою систему розв’язують в два етапи. На першому етапі вихідну систему рівнянь зводять до рівносильної їй системи трикутної форми. Цей процес перетворення називають зворотним ходом, знаходять розв’язок лінійної системи рівнянь трикутної форми.

Обмежимося розглядом системи трьох рівнянь з трьома змінними

(1)

визначник якої не дорівнює нулю.

Нехай ≠0. Поділимо коефіцієнти першого рівняння системи (1), включаючи й вільний член, на коефіцієнти . Дістанемо нове рівняння

(2)

де , (j=2,3,4). (3)

Включимо тепер змінну з другого боку і третього рівнянь системи (1). Для цього рівняння (3) помножимо послідовно спочатку на коефіцієнт і віднімемо його від другого рівняння системи (1), а потім на і віднімемо від третього рівняння системи (1). Дістанемо систему двох рівнянь з двома змінними .

( 4)

де коефіцієнти обчислюються за формулами

(і=2,3; j=2,3,4). (5)

Далі поділимо коефіцієнти першого рівняння системи (4) на . Дістанемо рівняння

( 6)

,(j=3,4). (7)

Із системи (4) виключимо змінну . Дістанемо рівняння

, (8)

де

, (j=3,4) ( 9)

З рівняння (8) маємо

, (10)

Після трьох кроків перетворення дістанемо систему рівнянь трикутної форми

(11)

яка еквівалентна системі (1).

На цьому прямий хід методу Гауса завершено. Описаний процес перетворень системи (1) до рівносильної їй системи (11) можна здійснити, якщо виконуються умови 0, 0, 0.

Оскільки системи (1) і (11) еквівалентні, то розв’язком системи (1) буде розв’язок системи (11), який можна записати так

(12)

Цим завершено зворотній хід методу Гауса.

Приклад:Методом Гауса розв’язати систему рівнянь

(13)

Коефіцієнти і вільні члени якої є точними числами.

Розв’язання: переконаємось спочатку, що система не вироджена і добре обумовлена. Для цього підрахуємо визначник системи: =9,035498. Значення визначника системи становить 361% значення найбільшого коефіцієнта системи

За схемою єдиного ділення систему розв’язуємо в такий спосіб.

1. Коефіцієнти і вільні члени системи (13) записуємо у перші три рядки (стовпці 3-6) табл..1 Підраховуємо контрольні і рядкові суми, які збігаються між собою, і записуємо їх у 7-му і 8-му стовпцях.

 

Таблиця 1

Крок перетворення Рядок Коефіцієнт при змінних Вільний член Контроль
Контрольна сума Рядкова сума
2,5 0,87 0,26 0,94 2,3 0,97 0,36 0,76 2,15 6,804 8,415 8,877 10,604 12,345 12,257 10,604 12,345 12,257
0,376 1,9729 0,8722 0,144 0,6347 2,1126 2,7216 6,0472 8,1694 4,2416 8,6548 11,1542 4,2416 8,6548 11,1542
  0,3217 1,8320 3,0651 5,4960 4,3868 7,3280 4,3868 7,3280
      3,0000 2,1000 1,5000 4,0000 3,1000 2,5000 4,0000 3,1000 2,5000
                 

2. Усі числа першого рядка, крім рядкової суми, ділимо на . Результати ділення записуємо в четвертий рядок. Усі проміжні обчислення виконуємо з двома запасними десятковими розрядами. Рядкова сума 1+0,376+0,144+2,7216=4,2416 збігається з контрольною сумою 10,604:2,50=4,2416, а це означає, що випадкових помилок немає.

3. Обчислюємо коефіцієнти системи (4) за формулою (5) і записуємо

Їх у 5-ий і 6-ий рядки. Контрольні суми

12,345-0,87*4,2416=12,345-3,690=8,6548,

12,257-0,26*4,2416=12,257-1,103=11,1542

Збігаються з відповідними рядковими сумами

1,9729+0,6347+6,0472=8,6548,

0,8722+2,1126+8,1694=11,1542

А це означає, що обчислення виконано правильно.

4. Усі числа рядка 5, крім числа, що стоїть і 8-му стовпці, ділимо на , і результати записуємо в 7-й рядок. Контрольна сума дорівнює 8,6548:1,9729=4,3868 , івона збігається з рядковою сумою

1+0,3217+3,0651=4,3868.

5. Коефіцієнт рівняння (8) обчислюємо за формулами (9) і записуємо в 8-й рядок. Контрольна сума 11,1542-4,3868*0,8722=7,3280 збігається з рядковою 1,8320+5,4960=7,3280.

6.Зворотний хід виконуємо за формулами (12). При цьому використовуються 8-й, 7-й і 4-й рядки таблиці 1. з 8-го рядка дістаємо:

 

=5,4960:1,8320=3,0000;

=7,3280:1,8320-4,0000.

З 7-го рядка маємо:

 

=3,0651-0,3217*3=2,1000

=4,3868-0,3217*4=3,1000.

Нарешті, з 4-го рядка знаходимо:

=2,7216-0,144*3-0,376*2,1=1,5000,

=4,2416-0,144*4-0,376*3,1=2,5000.

Обчисленні значення і зв’язані між собою співвідношенням =+1 (j=1,2,3),що свідчить про відсутність випадкових обчислювальних помилок.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

НАБЛИЖЕННЯ ЧИСЕЛ. ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ

Розділ... НАБЛИЖЕННЯ ЧИСЕЛ... ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод Гауса

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

АБСОЛЮТНА І ВІДНОСНА ПОХИБКИ. ПРИЧИНИ ВИНИКНЕННЯ ПОХИБОК
  Неточність математичного опису задачі – неусувна похибка (неточність задання вхідних даних) та неповна відповідність математичній моделі. Метод який застосовується є

Доведення
Нехай дано точні числа х1,х2,...,хn та Х1,Х2,...,ХN. Розглянемо їх алгебраїчну суму:

Доведення
Нехай дано числа . ,

ЗАГАЛЬНА ПОХИБКА ДЛЯ ФОРМУЛИ
(Похибка функції)   Нехай задана система величин . Задані похибки

ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ. ПРИНЦИП СТИСКУЮЧИХ ВІДОБРАЖЕНЬ В МЕТРИЧНОМУ ПРОСТОРІ.
  Нехай дано рівняння (1). Суть полягає в наступному: нехай в деякій достатньо малій області Д існує єди

МЕТОД ПОДІЛУ ВІДРІЗКА ПОПОЛАМ
(МЕТОД ДИХОТОМІЇ)   Нахай задане рівняння . Нехай

УТОЧНЕННЯ КОРЕНІВ РІВНЯННЯ МЕТОДОМ ХОРД
(МЕТОД ПРОПОРЦІЙНИХ ВІДРІЗКІВ) Нехай дано рівняння . Залишимо в силі припущення п

Доведення
Щоб скористатися принципом стискуючого відображення досить показати, що в деякому околі R кореня похідна функції

Доведення
Нехай- розв’язок рівняння, щоб використати принцип стискуючих відображень потрібно показати окіл точки

МЕТОД ПРОСТОЇ ІТЕРАЦІЇ ДЛЯ РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ
Нехай (1), де неперервна на

Доведення
Розглянемо два послідовні наближення .

МЕТОД ПРОСТОЇ ІТЕРАЦІЇ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ, АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Нехай задано система рівнянь:(1) Або

ОЦІНКА ПОХИБКИ НАБЛИЖЕНЬ ПРОЦЕСУ ІТЕРАЦІЇ.
  Шукають модуль різниці між попереднім і наступним і він має бути меншим за . Нехай задано два послідов

Етап: прямий хід.
Як відомо з алгебри симетричну матрицю можна представити у вигляді добутку двох транспонованих матриць: .

МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ
  Нехай задана система рівнянь: (1)   1). МЕТОД НЬЮТОНА.  

КОЕФІЦІЄНТИ ЛАГРАНЖА. ОЦІНКА ПОХИБКИ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ.
  Вираз (1) називається коефіцієнтами Лагранжа. Тоді многочлен Лагранжа набере вигляду:

CКІНЧЕННІ РІЗНИЦІ
  Нехай задана функція . Позначимо

Доведення
З формули (1) . Вважаючи оператор як ум

МНОГОЧЛЕНАМИ НЬЮТОНА.
Нехай нескінченно-диференційовна на функція

ЗАДАЧА ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЇ. ФОРМУЛИ ПРЯМОКУТНИКІВ.
Якщо функція

КВАДРАТУРНІ ФОРМУЛИ НЬЮТОНА-КОТЕСА.
Нехай задана функція і задане розбиття відрізка

ФОРМУЛИ ТРАПЕЦІЇ.
В формули (1), (2) підставимо , тоді з формули (2) будемо мати:

КУСКОВО-КУБІЧНА СПЛАЙН ІНТЕРПОЛЯЦІЯ.
Означення: Сплайном називається функція для якої існує поділ її області визначення на підобласті, такі що в середині кожної підобласті ця функція є многочленом деякого степеня

Означення: Різницевим рівнянням називається рівняння відносно функції дискретної змінної.
Розглянемо найпростіший випадок одного лінійного рівняння відносно невідомої функції одного цілочисельного аргументу.

НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ В ЛІНІЙНОМУ НОРМОВАНОМУ ПРОСТОРІ. УМОВИ ІСНУВАННЯ ТА ЄДНОСТІ ЕЛЕМЕНТА НАЙКРАЩОГО НАБЛИЖЕННЯ.
Нехай - лінійний нормований простір,

N.1 НАБЛИЖЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ.
Візьмемо метричний простір функцій сумовних з квадратом, тобто функцій для яких виконується умова

N. 2 ДИСКРЕТНЕ СЕРЕДНЬОКВАДРАТИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ.
Нехай функція задана своїми значеннями в точках

N.3 СЕРЕДНЬОКВАДРАТИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ.
Розглянемо простір функцій сумовних з квадратом на відрізку . Елемент найкращого наближення будемо шукати серед:

Доведення
покажемо, що на існують – і + точки. Оскільки

Доведення Теореми
Будемо вважати, що [а,в]=[0,1], бо можна це завжди досягнути шляхом заміни змінної. Розглянемо многочлен Бернштейна:

Тригонометричні многочлени найкращого наближення.
Означення: Тригонометричний многочлен порядку n наз. вираз: Теорема: (ІІ Теорема Веєрштраса): Якщо

Найкращого наближення.
Теорема Веєрштраса вказує що найкраще наближення існує, але не дає практичного способу побудови. Ефективних способів точної побудови многочлена найкращого наближення до даної функції не іс

Метод Ейлера.
Дано диференціальне рівняння , (1)

Модифікації методу Ейлера.
п.1. Удосконалений метод Ейлера. Дано ,

Методи Рунге-Кутта.
  Задано диференціальне рівняння: (1) і початкова умова:

Метод Адамса
Нехай задано диференціальне рівняння: (1) Задана система точок:

Метод скінчених різниць для граничної задачі, для лінійного диференціального рівняння другого порядку з змінними коефіцієнтами.
Нехай задане диференціальне рівняння: (1) і крайові умови:

Метод прогонки розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.
  Нехай задане диференціальне рівняння: (1)

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги