Вихрове електричне поле.

Теорія Максвелла є теорією близькодії, згідно з якою електричні і магнітні взаємодії здійснюються за допомогою електричних і магнітних полів і у яких вони поширюються із скінченною швидкістю.

Максвелл узагальнив закон електромагнітної індукції для замкненого нерухомого провідного контуру, що знаходиться у змінному магнітному полі.

Із закону Фарадея можна зробити висновок, що будь-яка зміна магнітного потоку через поверхню, обмежену контуром, приводить до виникнення ЕРС індукції і внаслідок цього виникає індукційний електричний струм.

Виникнення ЕРС індукції можливо і в нерухомому контурі, що знаходиться в змінному магнітному полі.

Однак ЕРС в контурі виникає лише тоді, коли в ньому на носії струму діють сторонні сили – сили неелектростатичного походження. Тому виникає питання про природу сторонніх сил в даному випадку.

Досліди показують, що ці сторонні сили не зв’язані ні з тепловими, ні з хімічними процесами в контурі. Їх не можна пояснити силами Лоренца, оскільки вони не діють на нерухомі заряди.

Тому для пояснення явища елек­тромагнітної індукції в нерухомих провідниках Максвелл висунув гіпотезу:

змінне магнітне поле збуджує в
навколишньому просторі вихрове непотен­ціальне (тобто неелектростатичне) елек­тричне поле, яке і є причиною виникнення індукційного струму в контурі.

Якщо в контурі L, за яким обчислюється циркуляція вектора напруженості електричного поля, крім ЕРС електромаг­нітної індукції, ще є й інші ЕРС - , , ..., , то загальна ЕРС дорівнює їх алгеб­раїчній сумі .

Тому в загальному випадку .

Явище виникнення у просторі вихрового електричного поля під впливом змінного магнітного поля було викорис­тано для створення індукційного приско­рювача електронів – бетатрона.

2.Струми зміщення.Максвелл узагальнив закон повного струму

.

Він припустив, що, крім струмів, зв’язаних з впорядкованим рухом зарядів, джерелом виникнення магнітного поля є також змінне електричне поле.

Максвелл запропонував назвати вираз густиною струму зміщення: .

Густина струму зміщення в даній точці дорівнює швидкості зміни вектора електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню S називають фізичну величину, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення крізь цю поверхню .

Ввівши уявлення про струм зміщення, Максвелл зробив висновок про те, що кола будь-яких непостійних струмів замкнені так само, як і кола постійного струму. Замкненість таких кіл забезпечується струмами зміщення, які „проходять” у тих ділянках, де немає провідників, наприклад, між обкладинками конденсатора під час його заряджання або розряджання.

В загальному випадку струми провідності і зміщення в просторі не розділені, вони знаходяться в одному і тому самому об’ємі. Максвелл ввів поняття повного струму, що дорівнює сумі струмів провідності і конвекційних, а також струму зміщення. Густина повного струму . Повний струм в колах змінного струму завжди замкнений. Максвелл узагальнив закон повного струму, ввівши в його праву частину пов­ний струм , що охоплюється замкненим контуром L. Узагальнений закон повного струмумає вигляд .

Циркуляція вектора напруженості магнітного поля вздовж замкненого контура L дорівнює повному струму, що пронизує поверхню, обмежену цим контуром.

Якщо струмів провідності, конвекційних струмів і всіх ЕРС, крім ЕРС електромагнітної індукції, немає то отримуємо такі рівняння , .

Порівнюючи ці рівняння, можна зробити такі висновки:

а) між електричним і магнітним полями існує взаємний зв’язок: зміна в часі магнітного поля веде до появи електрич­ного поля, а змінне електричне поле є дже­релом вихрового магнітного поля;

б) знаки при швидкостях зміни по­токів магнітної індукції і електричного зміщення різні, причому напрямки і утворюють „правогвинтову” систему (рис. 201а), у той час як напрямки і утворюють „лівогвинтову” систему (рис. 201б).

 

Різниця в знаках правих частин цих рівнянь відповідає вимогам закону збереження енергії і закону Ленца. Ця різниця в знаках є необхідною умовою існування стійкого електромагнітного поля.

4.Рівняння Максвелла для електромагнітного поля в інтегральній та диференціальній формі.

І. Електричне поле може бути як потенціальним , так і вихровим . Тому напруженість сумарного поля . Оскільки циркуляція вектора вздовж довільного замкненого контура дорівнює нулю, то циркуляція вектора сумарного поля

.

Це рівняння зв’язує значення із зміною вектора з часом і є виразом закону електромагнітної індукції.

Перше рівняння Максвелла вказує на те, що джерелами електричного поля можуть бути не тільки електричні заряди, але і змінні з часом магнітні поля.

ІІ. Узагальнена теорема про циркуляцію вектора :

.

Це рівняння показує, що магнітні поля можуть збуджуватись або рухомими зарядами, або змінними електричними полями.

ІІІ. Теорема Остроградського-Гауса для потоку вектора електричного зміщення крізь довільну замкнену поверхню , що охоплює сумарний заряд :

.

Якщо заряд розподілений всередині замкненої поверхні з об’ємною густиною , то

.

IV. Теорема Остроградського-Гауса для магнітного потоку крізь довільну зам­кнену поверхню :

.

Отже, повна система рівнянь Максвелла в інтегральній формі має такий вигляд:

, ,

, .

Величини, що входять в рівняння Максвелла, не є незалежними і між ними є такий зв’язок:

, , .

Зазначимо, що до першого та чет­вертого рівняння Максвелла входять лише основні характеристики поля і , а в друге і третє – лише допоміжні величини і .

РОЗДІЛ III. Фізика коливань і хвиль.

Тема 8.Механічні і електромагнітні коливання. 4.Затухаючі електромагнітні коливання. Вільні коливання у коливальному контурі

Розглянемо електромагнітні коливання, при яких періодично змінюються електричні величини, а саме заряд, сила струму, енергія електричного і магнітного полів. Для збудження і підтримування
електромагнітних коливань потрібні певні системи, найпростішою з яких є коливальний контур — коло, що складається з з’єднаних послідовно котушки індуктивності L, конденсатора ємності С і резистора опором R.

Розглянемо послідовні стадії колив­ного процесу в ідеалізованому контурі, опір якого малий . Для збудження коливань в контурі конденсатор поперед­ньо заряджають, надаючи його обкладкам заряди (рис. 202). Тоді в початковий момент між обкладками конденсатора виникає електричне поле, енергія якого . Якщо замкнути конденсатор на котушку, то він почне розряджатися і в контурі потече струм І, який з часом зростає. Цей струм створить в котушці магнітне поле , що також зростає і в свою чергу викличе появу в котушці ЕРС самоіндукції. Під дією ЕРС самоіндукції виникає індукційний струм, який сповільнює наростання струму розрядки. Оскільки швидкість зміни струму розрядки конденсатора зменшується, то зменшується ЕРС самоіндукції і струм розрядки наростає. В результаті енергія електричного поля буде зменшуватися, а магнітного поля котушки - зростати. Оскільки , то згідно із законом збереження енергії повна енергія

.

Тому в момент , коли конденсатор розрядиться, (рис. 203), енергія електричного поля дорівнює нулю, а енергія магнітного поля і струм досягають максимального значення, відповідно і . З цього моменту струм в контурі починає зменшуватися і почне зменшуватися магнітне поле котушки, і в ній індукується струм, який тече в тому самому напрямку, що і струм розрядки конденсатора.

Конденсатор почне перезаряджатися, виникне електричне поле, що прагне зменшити струм, який зрештою буде дорівнювати нулю, а заряд на обкладках конденсатора досягне максимуму. Далі ті самі процеси почнуть протікати в зворотному напрямку (рис. 204) і система прийде у початковий стан.

 

Після цього почнеться повторення розглянутого циклу розряджання і заряд­жання конденсатора. Якщо би втрати енергії не було, то в контурі здійснювались би періодичні незгасаючі коливання.

В контурі виникають коливання, які супроводжуються перетвореннями енергії електричного і магнітного полів. Такі коливання називаються електромагнітними.

Згідно з другим правилом Кірхгофа для довільного контуру, що містить котушку індуктивністю , конденсатор ємніс­тю і резистор опором , , де - спад напруги на резисторі, – напруга на конденсаторі, – ЕРС самоіндукції, отже,

.

Оскільки

і , то

.

Якщо зовнішні ЕРС відсутні, то коливання будуть вільні. А якщо , то вільні коливання в контурі будуть гармонічними. Диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань заряду q в контурі:

, ,

де – власна частота контуру.

Звідси

,

де - амплітуда коливань заряду конденсатора з циклічною частотою .

Період власних коливань, які вини­кають в контурі,

.

Це співвідношення називають формулою Томсона.

Сила струму в коливальному контурі змінюється за законом

,

де - амплітуда сили струму.

Упродовж першої половини періоду струм іде в одному напрямку, а протягом другої половини – в протилежному.

Напруга на конденсаторі

,

де - амплітуда напруги.

Коливання струму і випереджують за фазою коливання заряду q на , тобто коли струм досягає максимального значення, заряд і напруга дорівнюють нулю і навпаки.

Оскільки

і , то

.

Величину називають хвильовим опором контуру.

 

5.Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакової частоти.

Перш ніж розглядати додавання ко­ливальних рухів, спинимось на способі
зображення коливань за допомогою обертального вектора амплітуди.

Для цього із довільної точки О, яка вибрана на осі X, під кутом , що дорівнює початковій фазі коливань, відкладемо вектор , модуль якого дорівнює амплітуді A коливання (рис. 28).

 

Проекція вектора на вісь OX дорівнює зміщенню у момент початку відліку часу :

.

Обертатимемо вектор амплітуди навколо осі O, яка перпендикулярна до площини рисунка, з кутовою швидкістю . За проміжок часу t вектор амплітуди повертається на кут . Проекція вектора в цьому положенні на вісь ОХ дорівнює:

.

За час Т, що дорівнює періоду коли­вань, вектор амплітуди повертається на кут , а проекція його кінця зробить одне повне коливання навколо положення рівноваги O, отже, обертовий вектор амплітуди повністю характеризує гармонічне коливання.

Нехай точка бере участь у двох гар­монічних коливаннях однакової частоти, які напрямлені вздовж однієї прямої:

, .

Ці коливання зручно додати, користуючись методом обертального вектора амплітуди. Для цього відкладемо з точки О під кутом вектор амплітуди , а під кутом - вектор амплітуди (рис. 29).

 

Оскільки вектори і обертаються з однаковою кутовою швидкістю, то різниця фаз між ними постійна. Оскільки сума проекцій двох векторів на одну вісь дорівнює проекції на ту саму вісь вектора, який є їх сумою, то результуюче коливання можна подати вектором амплітуди , що дорівнює сумі векторів і :

 

і який обертається навколо точки з тією самою кутовою швидкістю , що й вектори і . Результуюче коливання описуються рівнянням

,

де – амплітуда результуючого коливання, а – його початкова фаза.

Застосовуючи теорему косинусів до одного з трикутників, на які паралелограм розбивається діагоналлю, з рис. 29 видно, що

,

.

Амплітуда A результуючого коли­вання залежить від різниці початкових фаз коливань, що додаються. Можливі значення A лежать в межах

.

Розглянемо кілька окремих випадків.

1). , .

Тоді і .

2). , .

Тоді і .

Розглянемо аналітичний метод знаходження результуючого коливання в дея­ких простих випадках:

а) частоти і фази коливань, що додаються, однакові, амплітуди різні:

.

Амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі амплітуд коливань, що додаються.

б) частоти і амплітуди однакові, фази відрізняються на :

.

Амплітуда результуючого коливан­ня

менша суми амплітуд, що додаються; зокрема, якщо , то .

Якщо частоти коливань і неоднакові, то вектори і будуть обертатися з різною швидкістю. В цьому ви­падку результуючий вектор пульсує за величиною і обертається зі змінною швидкістю. Результуючим рухом буде в цьому випадку не гармонічне коливання, а деякий складний коливний процес.

Особливий інтерес становить випадок, коли два гармонічні коливання однакового напрямку, що додаються, мало відрізняються за частотою.

Періодичні зміни амплітуди коливання, які виникають при додаванні двох гармонічних коливань одного напрямку з близькими частотами, називаються бит­тями.

Нехай амплітуди коливань , ,

а частоти дорівнюють , і << .

Тоді рівняння коливань матимуть вигляд: , .

Додаючи ці вирази і застосовуючи тригонометричну формулу для суми коси­нусів, отримуємо: .

Отриманий вираз є добуток двох коливань. Оскільки << , то множник майже не зміниться, коли множник здійснює кілька повних коливань. Тому результуюче коливання можна розглядати як гармонічне з частотою й амплітудою

.

Частота зміни удвоє більша від частоти зміни косинуса (оскільки береться за модулем). Частота биття дорівнює різниці частот коливань, що додаються, тобто . Період биття .

Суцільні лінії на рис. 30 дають графік результуючого коливання у випадку , і графік амплітуди .

6.Додавання взаємно перпендикулярних коливань.

Нехай матеріальна точка C одночас­но бере участь у двох гармонічних коливаннях з однаковою частотою у двох вза­ємно перпендикулярних напрямках як вздовж осі Х, так і вздовж осі Y (рис. 31). Якщо збудити обидва коливання, матеріальна точка буде рухатись вздовж деякої криволінійної траєкторії, форма якої залежить від різниці фаз обох коливань.

Виберемо початок відліку часу так, щоб початкова фаза першого коливання дорівнювала нулю. Тоді рівняння коливань матимуть такий вигляд:

, .

де - різниця фаз обох коливань.

Ці вирази – параметрична форма
рівняння траєкторії, вздовж якої рухається точка, що бере участь в обох коливаннях. Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, треба виключити з цих рівнянь параметр . Проведемо наступні перетворення:

, ,

 

;

,

 

.

В результаті отримаємо

.

Це рівняння еліпса, осі якого повер­нуті відносно координатних осей OX і OY. Орієнтація еліпса і величини його півосей залежать від амплітуд OA і OB і різниці фаз .

Розглянемо частинні випадки.

1).

Тоді ;

звідси .

Результуюче коливання є гармонічним вздовж прямої з частотою і амплітудою (рис. 32). Пряма утворює з віссю X кут .

2). ,

У цьому випадку

;

і

.

Результуючий рух – це гармонічне коливання вздовж прямої (рис. 33).

3).

В результаті .

Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, а його півосі дорівнюють відповідним амплітудам (рис. 34).

Якщо А=В, то еліпс вироджується в коло. Випадки

і

відрізняються напрямком руху по еліпсу чи колу.

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань, що додаються, різні, то замкнена траєкторія результуючого коливання досить складна.

Замкнені траєкторії, що кресляться точкою, яка здійснює одночасно два взаємно перпендикулярні коливання, назива­ються фігурами Ліссажу. Форма цих кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і різниці фаз коливань, що додаються (рис. 35).

 

Тема 9.Хвилі. елементи хвильової оптики.

7.Експериментальне одержання електромагнітних хвиль. Диференціальне рівняння електромагнітної хвилі

З рівнянь Максвелла

,

можна отримати рівняння плоскої елек­тромагнітної хвилі.

Припустимо, що в тому місці, де збуджується електромагнітне поле, вектор весь час залишається паралельним до координатної осі , тоді , , а вектор паралельний до координатної осі OY і , .

Оскільки в рівняннях Максвелла контури можуть бути довільної форми і розмірів, то для першого з рівнянь виберемо елементарний контур , що лежить в площині , а для другого – контур , що лежить в площині (рис. 206).

Вектори і є функціями координат і часу, тому їх значення в різних місцях контурів будуть різними. Наприклад, якщо в точці вектор має значення , то в точці з координатою його значення дорівнюватиме:

,

де частинна похідна характеризує швидкість зміни в напрямку осі .

 

Розрахуємо . На ділянках Oа і bс добуток , оскільки вектор перпендикулярний до Oа і bс. Для ділянок аb і Oс помножимо довжину кожної з цих ділянок на середнє значення вектора в межах цих ділянок; оскільки на ділянці cO вектор напрямлений проти обходу, то отримаємо

,

де – площа, яка охоплена контуром.

Тоді

. Звідси

.

Аналогічний розрахунок для другого рівняння і контуру дає такий результат

.

Розрахуємо частинні похідні за часом від і за координатою від , вважаючи і сталими величинами.

, .

Звідси отримуємо хвильове рівняння для : . Аналогічно, беручи частинні похідні по координаті від і по часу від , отримуємо хвильове рівняння для : .

Отже, змінне електромагнітне поле поширюється в просторі у вигляді електромагнітної хвилі.

. 8. Енергія електромагнітної хвилі.

Електромагнітне поле має енергію. Тому поширення електромагнітних хвиль пов’язане з перенесенням енергії в полі, подібно до того, як поширення пружних хвиль у речовині пов’язане з перенесенням механічної енергії.

Об’ємна густина енергії електро­магнітної хвилі складається з об’ємних
густин і електричного, і магнітних полів: . Враховуючи вираз , отримаємо, що густина енергії електричного і магнітного полів в кожен момент часу однакова, тобто . Тому

.

У випадку плоскої лінійно-поляри­зованої монохроматичної хвилі, що поширюється вздовж додатного напрямку осі ОХ, напруженість поля

.

Відповідно об’ємна густина енергії цієї хвилі . Значення w в кожній точці поля періодично змінюється з частотою в границях від 0 до . Середнє значення w за період пропорційне до квадрата амплітуди напруженості поля:

 

.

Помноживши густину енергії w на швидкість поширення хвилі в середовищі, отримуємо модуль густини потоку енергії.

Модуль густини потоку енергії
числово дорівнює енергії, яку переносить хвиля за одиницю часу через одиницю площі поверхні, що розміщена перпендикулярно до напрямку поширення хвилі:

.

Оскільки вектори і взаємно перпендикулярні і утворюють з напрямком поширення хвилі правогвинтову систему, то напрямок вектора збігається з напрямком переносу енергій, а модуль цього вектора дорівнює EH. Отже, вектор густини потоку енергії електромагнітної хвилі, який називається вектором Пойнтінга, дорівнює: .

Потік Ф електромагнітної енергії через деяку поверхню S можна знайти за допомогою інтегрування: .

Інтенсивність електромагнітної хвилі I дорівнює модулю середнього значення вектора Пойнтінга за проміжок часу, який дорівнює періоду Т повного коливання: .

Інтенсивність біжучої монохроматичної хвилі .

Інтенсивність плоскої лінійно поляризованої монохроматичної біжучої хвилі прямо пропорційна до квадрата амплітуди коливань вектора поля хвилі

9.Особливості світлових хвиль

Згідно хвильової (електромагнітної) теорії світлове випромінювання – це електромагнітні хвилі, довжини яких лежить в межах від 0,38 до 0,77 мкм. Згідно з корпускулярної (фотонної) теорії світлове випромінювання – це потік особливих частинок – фотонів, які мають енергію, масу і імпульс.

Інтерференцією світла називається перерозподіл інтенсивності світла в просторі внаслідок накладання двох або кількох когерентних хвиль, в результаті чого в одних місцях виникають максимуми, а в інших мінімуми інтенсивності.

Хвилі називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту коливання і в точках накладання – сталу різницю фаз.

Отже, якщо хвилі когерентні, то спостерігається самоузгоджений перебіг в часі і просторі декількох хвильових процесів. Цю умову задовольняють монохроматичні хвилі – хвилі однієї строго визначеної частоти і сталої амплітуди.

Хвилі, які випромінюються незалежними джерелами світла, некогерентні. Цей результат є наслідком того, що жодне джерело не випромінює точно монохроматичного світла.

Просторово-когерентними називаються два джерела, розміри і взаємне розміщення яких при необхідному ступені монохроматичності світла дозволяють спостерігати інтерференційні смуги.

Довжиною просторової когерентності або радіусом когерентності називається відстань між двома точками перпендикулярної до напрямку поширення хвилі поверхні, між якими випадкова зміна різниці фаз досягає значення рівного . На відстані можна спостерігати явище інтерференції. Просторова когерентність визначається радіусом когерентності

,

де – довжина світлових хвиль, – кутовий розмір джерела.

Добуток геометричної довжини шляху, що проходить світлова хвиля в середовищі, на показник n заломлення середовища називається оптичною довжиною шляху , а різниця оптичних довжин шляхів , що пройшли хвилі, називається оптичною різницею ходу.

Для отримання когерентних світлових хвиль застосовують метод розділення хвилі, що випромінюється одним джерелом, на дві частини, які після проходження різних оптичних шляхів накладаються одна на одну і в результаті спостерігається інтерференційна картина.

Якщо оптична різниця ходу світлових променів дорівнює парному числу півхвиль

, (2.1)

де - довжина світлової хвилі у вакуумі, то в точці спостереження інтерференційної картини буде максимум інтенсивності світла.

Мінімум інтенсивності світла буде в точках, для яких оптична різниця ходу променів вміщає непарне число півхвиль

. (2.2)

Когерентність способи здійснення інтерференції світла. Шахтні інтерферометри.

Отримання когерентних хвиль за допомогою біпризми Френеля

Одна з оптичних схем отримання когерентних хвиль здійснюється за допомогою біпризми Френеля. Для цього використовується заломлення світла від одного точкового джерела S в двох призмах з малим заломлюючим кутом , які мають спільну основу (рис. 2.1). Така біпризма може бути також виготовлена з цільного матеріалу. Заломлюючий кут біпризми є малим, внаслідок чого промені відхиляються біпризмою на однаковий кут:

,

де n – показник заломлення скла, з якого виготовлена біпризма.

Джерело світла S розміщають на відстані від основи біпризми.

Як видно з рис. 2.1, при проходженні світла через верхню і нижню половини біпризми світлова хвиля розділяється на дві когерентні хвилі, які ніби виходять з точок і – уявних зображень джерела (при малому куті заломлення біпризми уявні джерела і практично знаходитимуться на такій самій відстані від біпризми, що й джерело ).

 

 

 

При малому значенні кута відстань між джерелами і можна визначити таким чином:

. (2.3)

Якщо на шляху інтерферуючих пучків поставити екран , то в його площині буде спостерігатися чергування темних і світлих смуг.

Положення інтерференційних максимумів і мінімумів на екрані можна визначити, якщо скористатися рис. 2.2. Оскільки і – уявні зображення джерела , то їх розглядають як два когерентні точкові джерела. Результат інтерференції світлових хвиль, які доходять до деякої точки M на екрані E від джерел і , визначатиметься їх оптичною різницею ходу

,

де - показник заломлення середовища; і – відстані від уявних зображень джерел і , відповідно.

 

 

Якщо = , то в точці M буде спостерігатися інтерференційний максимум. Якщо ж = , то в точці буде інтерференційний мінімум. При інших значеннях інтенсивність світла в точці М матиме проміжне значення.

Відстань між центральним максимумом і максимумом –го порядку з врахуванням того, що для малих значень кута , дорівнює: , (2.4)

де L - відстань щілини до екрану, а . З рівняння (2.4) отримуємо: . (2.5)

Якщо значення d з рівняння (2.3) підставити в (2.5), то довжину хвилі випромінювання можна визначити за формулою:

. (2.6)

Отримати когерентні хвилі можна також іншими методами: наприклад: методами білінзи Френеля, дзеркала Ллойда та ін.