Реферат Курсовая Конспект
Свойства математического ожидания - раздел Философия, 1. Числовые Характеристики Дискретных Случайных Величин. Свойства Мат...
|
1. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Свойства математического ожидания.Пусть дана случайная величина Х(ω) на пространстве Ω. Если ряд Σ Х(ω)*Р(ω) сходится абсолютно (имеет свои конечные значения), то эта сумма называется математическим ожиданием случайной величины Х.
Σ Х(ω)*Р(ω)=М[Х]
Свойства математического ожидания:
1. М[Х]=С, С=const
2. M[C*X]=C*M[X]
3. M[X±Y]=M[X]±M[Y]
4. M[X*Y]=M[X]*M[Y], когда эти случайные величины независимы.
Случайные величины Х и У называется независимыми, если:
Вероятность того, что Р{Х=хi,У=уi}=P{X=xi}*P{Y=yi}
Схема Бернулли
Под схемой Бернулли понимают конечную серию n-повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления одного исхода при одном испытании обозначают «n».
; .
Бернулли установил вероятность ровно m успехов из серии из n–повторных независимых испытаний.
Формулу Бернулли можно обобщить на случай когда при каждом испытании происходт одно и только одно из к-событий с вероятностью Pi.
Вероятность появления m1 раз первого события, m2 раза второго события и т.д. mk раз k-того события находится по формуле:
Случайные события. Классическая вероятность.
Неразложимые исходы w1, w2, …, wn некоторого эксперимента будем называть элементарными событиями, а их совокупность называем конечным пространством элементарных событий или пространством исходов:
.
Сумма двух событий А и В называется событие С, которое равно их сумме, состоящего в выполнении события А или события В
С= А+В.
Произведением двух событий А и В называется событие D, которое равно их произведению в совместном выполнении события А и В
D= A+B.
Противоположным к событию А называется событие , состоящего в невыполнении события А и значит дополняющего его до Ω.
Множество Ω называется достоверным событием.
Пустое множество Ø называется невозможным событием.
Если каждое появление события А сопровождается появлением события В, то пишем: АcВ, и говорят что А предшествует В или А влечет за собой В.
События А и В называются равносильными если АcВ, т.е. А влечет за собой В, а ВcА, т.е. В влечет за собой А.
Вероятность Р(А) события А называется число равное отношению элементарных исходов составляющих событие А к числу всех элементарных исходов.
Случай равновозможных событий
Элементарные события, входящие в событие А, называются благоприятными.
Свойства классичеческой вероятности:
1) 0≤Р(А)≤1;
2) Р(А)=0 => А=Ø
3) Р(А)=1 => А=Ω
4) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) если А и В –несовместные события А*В=0
5) Р(А)+Р(В)=1
6) Если АcВ, то Р(А)≤Р(В)
Выборки элементов с повторениями.
В данных выборках допускается повторение элементов.
Число размещений из n-элементов по m
Anm= nm
Число перестановок в которых первый элемент повторяется m1-раз, второй элемент - m2 раз
Число сочетаний повторений n-элементов по m
Подпространство линейного пространства
Множество называется подпространством линейного пространства V, если: 1)
2)
Линейная комбинация векторов
Линейной комбинацией векторов называют вектор
где - коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной.
Операции с матрицами. Сложение, умножение, транспонирование матриц.
Матрица – это прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m-строк и n-столбцов, состоящая из произвольных чисел аij (называемых элементами матрицы) i=1,m; j=1,n
a11 a12 … a1n
A = a21 a22 … a2n
………….
am1am2 …amn
Матрица А с элементами aij обозначается также A=(aij), А=׀aij׀
Где i – номер строки и j - номер столбца.
Суммой A+B (m x n)-матриц A=(aij) и B=(bij), называется матрица C=(cij) того же размера, каждый элемент которого равен сумме соответственных элементов A и B:
cij = aij + bij, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n
Произведением αA матрицы A=(aij) на число α (действительное или комплексное) называется матрица B=(bij), получающаяся из матрицы А умножением всех ее элементов на α:
bij = αaij, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n
Свойство: α(µА) = αµА
Произведение суммы матриц на число α: α(А+В) = αА + αВ
Произведением АВ (m x n)-матриц A=(aij) на (n x k)-матрицу B=(bij) называется (m x k)-матрица C=(cij), элемент которой cij, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы B:
cij = ∑ aiµ + bµj, i=1,2,…,m, j=1,2,…, k
Произведение двух матриц не обладает свойством коммутативности: АВ ≠ ВА
Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА
Матрица АТ = (aijТ) называется транспонированной к матрице A=(aij), если выполняется условие
aijТ = (aij), -/ i, j (любые)
Вариационный и статистический ряд. Полигон частот. Гистограмма.
Вариационным (статистическим) рядом называется таблица первая строка которой содержит в порядке возрастания элементы , вторая строка частоты mi или относительной частоты fi.
В прямоугольной системе координат строятся прямоугольники с основаниями hi и высотой . Полученная таким образом фигура называется гистограммой выборки. Полная площадь гистограммы равна 1.
Полигоном частот выборки называется ломанная с вершинами точек.
Классические распределения. Биномиальный закон распределения.
Классические распределения
1) Равномерный закон распределения
P {x=k}=
1<k<n
x€N
∑P{x=k}=++…=1
2) Биноминальный закон распределения
M{x}=∑Pixi=*1+*2+…+*n=(1+2…+n)= *=
3) Дисперсия
D [x]=M[x2]-M2[x]
M[x2]=∑pixi2=*12+*22+…++n2=(12+22+…+n2)= *n
Mo=; Me=
Биноминальный закон распределения
Случайная величина X={число успехов при n повторных независимых испытаний}
По формуле Бернулли вероятность, когда x=n
{x=n}=Cnm , где n – число сочетаний
Используя бином Ньютона получаем:
mn*pm*qn-m=(p+q)n=1n=1
26.Классические распределения. Распределения Пуассона.Распределения Пуассона можно получить из биноминального закона распределения, приняв за и устремив n в .
Математическое ожидание
Классические распределения. Равномерный закон распределения.
Равномерный закон распределения. Все вероятности равны друг другу.
1. Р{x=k}=
,
2. Математическое ожидание:
3. Дисперсия
Мо=;Ме=
28.Числовые характеристики дискретной случайной величины. Дисперсия, среднеквадратическое отклонение.Особое значение для практики имеет 2-ой центральный момент .
Для вычисления D[x] удобна след. формула:
Свойства дисперсии:
1. D[C]=0;С=const
2. D[C*x]=C2*D[x]
3. D[x+y]=D[x]+D[y], если х и у – независимые случайные величины.
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.
Положительное значение квадратного корня из дисперсии называется средним квадратическим отклонением.
– Конец работы –
Используемые теги: Свойства, математического, ожидания0.062
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Свойства математического ожидания
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов