Определение 1. Пусть векторы принадлежат множеству . Множество называется векторным пространством, если на нем определены бинарная операция, обозначаемая знаком “ + “, и операция умножения элементов множества на действительные числа обозначаемая символом ““, удовлетворяющие следующим аксиомам:
-3-
1. ;
2. ;
3. ;
4. Имеется нуль-вектор
такой, что
,
;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. , .
Аксиома 1 является определением суммы двух векторов, обладающей свойством ассоциативности (аксиома 2) и симметрии относительно перестановки слагаемых векторов (аксиома 3). Аксиома 5 определяет умножение векторов на действительные числа, обладающее свойством ассоциативности (аксиомы 68).
Определение 2. Векторы называются линейнонезависимыми, если равенство
(1.1)
выполняется тогда и только тогда, когда
-4-
Поэтому
Подставляя полученные значения и в (6.19), находим искомую формулу для угловой скорости вращения подвижного базиса Френе
(6.20)
Из этой формулы следует еще один геометрический смысл кривизны и кручения кривой: кривизна равна угловой скорости вращения подвижного базиса в соприкасающейся плоскости , направление вращения всегда совпадает с бинормалью ; кручение кривой также равно угловой скорости вращения, но уже в нормальной плоскости , а направление вращения параллельно вектору и зависит от знака .