рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Мерное метрическое пространство

Мерное метрическое пространство - раздел Философия, СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Если В ...

Если в мерном векторном пространстве определить дополнительную операцию, называемую скалярным произведением векторов, то векторное пространство превращается в - мерное метрическое пространство. В этом случае говорят, что векторное пространство снабжено метрикой.

Определение 1. Любым двум векторам поставим в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением векторов и , обозначаемое, как и удовлетворяющее следующим аксиомам:

 

1.

2.

3.

 

 

-6-

Антисимметричному тензору можно поставить во взаимнооднозначное соответствие вектор

 

(6.16a,b)

где - тензор (символ) Леви - Чивитта. Вектор , представленный своими компонентами (6.16) в декартовом базисе , называется вектором угловой скорости вращения ассоциированныхбазисов . Согласно (6.16a)

 

(6.17)

Подставляя (6.16 b) в (6.14) и учитывая (6.17), получаем формулу

 

(6.18)

Полученная формула определяет производную любого вектора в направлении кривой , обусловленную вращением ассоциированных базисов , а, следовательно, и вращением координатных

-43-

- длины ее дуги. Дифференцируя (6.9b) по вдоль кривой , получаем

 

(6.11)

Подставим значения из равенства (6.9 a) в (6.11), тогда

 

(6.12)

Введем обозначение

 

(6.13)

и перепишем (6.12) в этих обозначениях

 

(6.14)

Функции являются компонентами в декартовом базисе тензора 2-го ранга, называемого тензором вращения базисов . Покажем, что тензор вращения антисимметричен, т.е.

 

(6.15)

Воспользуемся для этого его определением (6.13) и ортогональностью (6.4) матрицы Имеем

 

-42-

Скалярное произведение в общем случае не обязано быть положительным числом. Если , то говорят, что вектор имеет “норму” или “модуль” равный В случае, когда , но не является нуль-вектором, говорят, что - изотропный вектор. Когда модуль вектора равен

Определение 2. Метрика пространства называется положительно определенной, если для любого , не являющегося нуль-вектором, и только для нуль-вектора . В противном случае, метрика пространства называется индефинитной.

Определение 3. Векторы и называются ортогональными, если

Следствие. Всякий изотропный вектор ортогонален себе.

Определение 4. Мерой угла между направлениями любых двух неизотропных векторови является величина

(2.1)

Заметим, что в пространстве с индефинитной метрикой правая часть равенства (2.1) по модулю

может превышать единицу. Поэтому это равенство

-7-

следует понимать как формальное определение функции . В пространстве с положительно определенной метрикой правая часть (2.1) совпадает с традиционным определением тригонометрической функции .

Примеры метрических пространств,

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ... УКРАИНЫ ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им В И ВЕРНАДСКОГО...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Мерное метрическое пространство

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Мерное векторное пространство
Определение 1. Пусть векторы принадлежат множеству

Упражнения.
1. Докажите, что множество ортогональных матриц образуют группу. Ее принято обо

Преобразование базисов
Введем в трехмерном евклидовом пространстве базис из трех линейно независимых векторов

Вращения
Подвижный базис Френе, как и координатный базис декартовой системы координат, является ортонормированным. Но между ними есть и различие. Декартовые базисы во всех точках пространства имеют одинаков

Системы координат. Координатные базисы
Рассмотрим множество любых трех вещественных упорядоченных чисел или

Упражнения.
1. Докажите утверждения, сформулированные в примерах 14. 2. Найдите пре

Метод подвижного базиса и уравнения Френе
  Одной из задач теоретической механики является изучение траекторий движения материальной точки. Поскольку траектория есть линия в трехмерном пространстве, то эта задача решается сре

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги