рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Преобразование базисов

Преобразование базисов - раздел Философия, СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Введем В Трехмерном Евклидовом Пространстве Базис Из Трех Линейно Независимых...

Введем в трехмерном евклидовом пространстве базис из трех линейно независимых векторов

 

 

-8-

 

представляющих подгруппу группы Ортогональные же матрицы, детерминант которых равен , осуществляют преобразование “зеркального отражения” и представляют дискретную подгруппу группы .

Произвольный вектор может быть представлен своими компонентами и в базисах и соответственно

(6.8)

поэтому

(6.9)

 

Рассмотрим вектор такой, компоненты которого в базисе постоянны, т.е.

 

(6.10)

Он “сопровождает” базис , изменяясь от точки к точке пространства, поэтому его компоненты в декартовом базисе являются функциями точки пространства. Зависимость компонент такого вектора от точки пространства следует из равенства (6.9 b) после подстановки в него (6.10).

Пусть задана произвольная кривая своими параметрическими уравнениями в функции параметра

-41-

(6.5)

 

Умножая (6.3a) скалярно на и учитывая (6.2), получаем

 

(6.6)

 

Таким образом, элементы матрицы , преобразующей декартовый базис в базис , равны косинусам “направляющих” углов каждого вектора в декартовом базисе. Иначе говоря, ортогональная матрица в каждой точке пространства осуществляет поворот базиса до совпадения его с . Единичная матрица, ортогональная по определению, осуществляет тождественное преобразование, при котором направляющие углы равны нулю. Детерминант единичной матрицы равен единице. И поскольку детерминант ортогональных матриц равен, согласно (6.5), либо , либо , а матрица и ее детерминант непрерывные функции своих аргументов, то

 

(6.7)

Следовательно, повороты базисов в пространстве осуществляются при участии только унимодулярных ортогональных матриц,

 

-40-

. В общем случае они не являются ни единичными, ни ортогональными. Тогда произвольный вектор может быть представлен согласно (1.3) равенством

(3.1)

В правой части этого равенства предполагается суммирование от единицы до трех по индексу . Это правило, называемое правилом сумм Эйнштейна, используется и далее, если не оговаривается другое. Правило сумм Эйнштейна состоит в следующем: если в какой-либо величине имеется повторяющийся многозначный индекс (в одной величине их может быть не более двух), то перед величиной предполагается знак суммы от 1 до 3 по повторяющемуся индексу. В этом случае индекс называется “немым” и может быть заменен любым другим индексом.

Числа , фигурирующие в равенстве (3.1), называются компонентами вектора в базисе , и зависят от выбора этого базиса.

Введем величину

. (3.2)

Она является симметричным тензором второго ранга. Матрица представляющая этот тензор, в силу линейной независимости векторов является неособенной, т.е. и в случае ортогонального и нормированного базиса единичной.

-9-

Для любых двух векторов и можно теперь записать равенства

 

если (3.3a)

. (3.3b)

 

Поскольку - неособенная матрица, то можно ввести матрицу такую, что

(3.4)

Введем новый базис дополняющий базис равенствами

(3.5a,b)

Легко видеть, что

 

. (3.6a,b)

 

Из последнего равенства следует, что каждый вектор дополняющего базиса ортогонален двум векторам базиса, номера которых отличаются от номера вектора дополняющего базиса, и наоборот.

Запишем формулы, аналогичные формулам (3.1) и (3.3a,b) ,

(3.7)

, если , (3.8a)

. (3.8b)

-10-

декартовой системы координат (они совпадают с координатными декартовыми базисами), а - базисы, ассоциированные с координатными базисами произвольной криволинейной системы координат. Из определения 1 следуют равенства

 

(6.2)

 

Легко проверить, следуя формулам раздела 3, что ко и контравариантные компоненты векторов в ортонормированных базисах совпадают. Представим векторы с помощью их компонент в базисе , а векторы соответственно в базисе . Тогда получаем

 

(6.3)

 

Подставляя (6.3) в (6.2), находим

 

 

или

(6.4)

Поэтому матрица преобразования ортонормированных базисов является, согласно определению 2, ортогональной, и ее детерминант равен

 

-39-

ассоциированные базисы совпадают с декартовыми.

Ассоциированные базисы не обязаны быть координатными. Но поскольку они однозначно

определяются координатными базисами, то множество ассоциированных базисов является непрерывным и, следовательно, дифференцируемым. При движении точки вдоль заданной кривой в пространстве ассоциированный базис испытывает вращение вместе с координатным базисом. Это позволяет заменить задачу нахождения угловой скорости вращения координатных базисов на нахождение угловой скорости вращения ассоциированных с ними ортонормированных базисов. Все ортонормированные базисы тождественны за исключением их пространственной ориентации. Поэтому, сравнивая ортонормированные базисы,

ассоциированные с координатными базисами криволинейной системы координат, с декартовыми базисами, можно судить о вращении координатных базисов криволинейных координат. Дело в том, что преобразование ортонормированных базисов осуществляется ортогональными матрицами, а группа ортогональных унимодулярных матриц является линейным представлением группы вращений

Определение 2.Квадратная матрица называется ортогональной, если обратная ей матрица равна транспонированной и называется унимодулярной, если ее детерминант равен единице.

Положим, что - ассоциированные базисы

 

-38-

Поэтому числа называются компонентами вектора в дополняющем базисе. Между числами и можно установить связь

(3.9)

(3.10)

Полученные соотношения выражают правила поднятия и опускания индексов с помощью тензоров и соответственно. Используя формулы (3.1), (3.7)(3.10), скалярное произведение векторов и можно теперь выразить тремя различными способами

(3.11)

Равенства (3.1) и (3.7) разрешаются относительно компонент вектора, а именно

(3.12)

(3.13)

Поэтому

(3.14)

Таким образом, равенства (3.1), (3.7) и (3.14) ставят во взаимнооднозначное соответствие вектору его компоненты в базисе и компоненты в дополняющем базисе . Эти компоненты вектора называются контравариантными и ковариантными соответственно.

-11-

Согласно следствию 3 раздела 1 имеется неограниченное множество различных базисов. Выберем из этого множества другой базис . Векторы составляющие этот базис, могут быть представлены в исходном базисе следующим образом

(3.15)

где - матрица, описывающая преобразование базиса в базис , верхний индекс матрицы нумеруют столбцы, а нижний строки. Заметим, что матрица неособенная, поскольку векторы линейно независимые, поэтому имеется матрица такая, что

 

Из (3.15) легко получить, воспользовавшись определением (3.2) для обоих базисов, правило преобразования тензора в виде

(3.16)

Если оба базиса и ортонормированные, тогда, а матрица является ортогональной.

Для получения формулы преобразования тензора умножим обе части равенства (3.16) на и учтем (3.4). Тогда

 

-12-

и вращение любого объекта геометрии, определено

только в смысле изменения его пространственной ориентации. Для характеристики пространственной ориентации координатного базиса произвольной системы координат введем ассоциированный с ним ортонормированный базис .

Определение 1. Каждой тройке векторов заданного координатного базиса поставим в соответствие тройку векторов ассоциированного с ним ортонормированного базиса так, чтобы удовлетворялись равенства

 

(6.1a,b,c)

здесь - угол, образуемый векторами и , знаки “” и “”, соответственно, для правоориентированной и левоориентированной троек векторов .

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ... УКРАИНЫ ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им В И ВЕРНАДСКОГО...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Преобразование базисов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Мерное векторное пространство
Определение 1. Пусть векторы принадлежат множеству

Упражнения.
1. Докажите, что множество ортогональных матриц образуют группу. Ее принято обо

Мерное метрическое пространство
Если в

Вращения
Подвижный базис Френе, как и координатный базис декартовой системы координат, является ортонормированным. Но между ними есть и различие. Декартовые базисы во всех точках пространства имеют одинаков

Системы координат. Координатные базисы
Рассмотрим множество любых трех вещественных упорядоченных чисел или

Упражнения.
1. Докажите утверждения, сформулированные в примерах 14. 2. Найдите пре

Метод подвижного базиса и уравнения Френе
  Одной из задач теоретической механики является изучение траекторий движения материальной точки. Поскольку траектория есть линия в трехмерном пространстве, то эта задача решается сре

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги