Реферат Курсовая Конспект
Преобразование базисов - раздел Философия, СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Введем В Трехмерном Евклидовом Пространстве Базис Из Трех Линейно Независимых...
|
Введем в трехмерном евклидовом пространстве базис из трех линейно независимых векторов
-8-
представляющих подгруппу группы Ортогональные же матрицы, детерминант которых равен , осуществляют преобразование “зеркального отражения” и представляют дискретную подгруппу группы .
Произвольный вектор может быть представлен своими компонентами и в базисах и соответственно
(6.8)
поэтому
(6.9)
Рассмотрим вектор такой, компоненты которого в базисе постоянны, т.е.
(6.10)
Он “сопровождает” базис , изменяясь от точки к точке пространства, поэтому его компоненты в декартовом базисе являются функциями точки пространства. Зависимость компонент такого вектора от точки пространства следует из равенства (6.9 b) после подстановки в него (6.10).
Пусть задана произвольная кривая своими параметрическими уравнениями в функции параметра
-41-
(6.5)
Умножая (6.3a) скалярно на и учитывая (6.2), получаем
(6.6)
Таким образом, элементы матрицы , преобразующей декартовый базис в базис , равны косинусам “направляющих” углов каждого вектора в декартовом базисе. Иначе говоря, ортогональная матрица в каждой точке пространства осуществляет поворот базиса до совпадения его с . Единичная матрица, ортогональная по определению, осуществляет тождественное преобразование, при котором направляющие углы равны нулю. Детерминант единичной матрицы равен единице. И поскольку детерминант ортогональных матриц равен, согласно (6.5), либо , либо , а матрица и ее детерминант непрерывные функции своих аргументов, то
(6.7)
Следовательно, повороты базисов в пространстве осуществляются при участии только унимодулярных ортогональных матриц,
-40-
. В общем случае они не являются ни единичными, ни ортогональными. Тогда произвольный вектор может быть представлен согласно (1.3) равенством
(3.1)
В правой части этого равенства предполагается суммирование от единицы до трех по индексу . Это правило, называемое правилом сумм Эйнштейна, используется и далее, если не оговаривается другое. Правило сумм Эйнштейна состоит в следующем: если в какой-либо величине имеется повторяющийся многозначный индекс (в одной величине их может быть не более двух), то перед величиной предполагается знак суммы от 1 до 3 по повторяющемуся индексу. В этом случае индекс называется “немым” и может быть заменен любым другим индексом.
Числа , фигурирующие в равенстве (3.1), называются компонентами вектора в базисе , и зависят от выбора этого базиса.
Введем величину
. (3.2)
Она является симметричным тензором второго ранга. Матрица представляющая этот тензор, в силу линейной независимости векторов является неособенной, т.е. и в случае ортогонального и нормированного базиса единичной.
-9-
Для любых двух векторов и можно теперь записать равенства
если (3.3a)
. (3.3b)
Поскольку - неособенная матрица, то можно ввести матрицу такую, что
(3.4)
Введем новый базис дополняющий базис равенствами
(3.5a,b)
Легко видеть, что
. (3.6a,b)
Из последнего равенства следует, что каждый вектор дополняющего базиса ортогонален двум векторам базиса, номера которых отличаются от номера вектора дополняющего базиса, и наоборот.
Запишем формулы, аналогичные формулам (3.1) и (3.3a,b) ,
(3.7)
, если , (3.8a)
. (3.8b)
-10-
декартовой системы координат (они совпадают с координатными декартовыми базисами), а - базисы, ассоциированные с координатными базисами произвольной криволинейной системы координат. Из определения 1 следуют равенства
(6.2)
Легко проверить, следуя формулам раздела 3, что ко и контравариантные компоненты векторов в ортонормированных базисах совпадают. Представим векторы с помощью их компонент в базисе , а векторы соответственно в базисе . Тогда получаем
(6.3)
Подставляя (6.3) в (6.2), находим
или
(6.4)
Поэтому матрица преобразования ортонормированных базисов является, согласно определению 2, ортогональной, и ее детерминант равен
-39-
ассоциированные базисы совпадают с декартовыми.
Ассоциированные базисы не обязаны быть координатными. Но поскольку они однозначно
определяются координатными базисами, то множество ассоциированных базисов является непрерывным и, следовательно, дифференцируемым. При движении точки вдоль заданной кривой в пространстве ассоциированный базис испытывает вращение вместе с координатным базисом. Это позволяет заменить задачу нахождения угловой скорости вращения координатных базисов на нахождение угловой скорости вращения ассоциированных с ними ортонормированных базисов. Все ортонормированные базисы тождественны за исключением их пространственной ориентации. Поэтому, сравнивая ортонормированные базисы,
ассоциированные с координатными базисами криволинейной системы координат, с декартовыми базисами, можно судить о вращении координатных базисов криволинейных координат. Дело в том, что преобразование ортонормированных базисов осуществляется ортогональными матрицами, а группа ортогональных унимодулярных матриц является линейным представлением группы вращений
Определение 2.Квадратная матрица называется ортогональной, если обратная ей матрица равна транспонированной и называется унимодулярной, если ее детерминант равен единице.
Положим, что - ассоциированные базисы
-38-
Поэтому числа называются компонентами вектора в дополняющем базисе. Между числами и можно установить связь
(3.9)
(3.10)
Полученные соотношения выражают правила поднятия и опускания индексов с помощью тензоров и соответственно. Используя формулы (3.1), (3.7)(3.10), скалярное произведение векторов и можно теперь выразить тремя различными способами
(3.11)
Равенства (3.1) и (3.7) разрешаются относительно компонент вектора, а именно
(3.12)
(3.13)
Поэтому
(3.14)
Таким образом, равенства (3.1), (3.7) и (3.14) ставят во взаимнооднозначное соответствие вектору его компоненты в базисе и компоненты в дополняющем базисе . Эти компоненты вектора называются контравариантными и ковариантными соответственно.
-11-
Согласно следствию 3 раздела 1 имеется неограниченное множество различных базисов. Выберем из этого множества другой базис . Векторы составляющие этот базис, могут быть представлены в исходном базисе следующим образом
(3.15)
где - матрица, описывающая преобразование базиса в базис , верхний индекс матрицы нумеруют столбцы, а нижний строки. Заметим, что матрица неособенная, поскольку векторы линейно независимые, поэтому имеется матрица такая, что
Из (3.15) легко получить, воспользовавшись определением (3.2) для обоих базисов, правило преобразования тензора в виде
(3.16)
Если оба базиса и ортонормированные, тогда, а матрица является ортогональной.
Для получения формулы преобразования тензора умножим обе части равенства (3.16) на и учтем (3.4). Тогда
-12-
и вращение любого объекта геометрии, определено
только в смысле изменения его пространственной ориентации. Для характеристики пространственной ориентации координатного базиса произвольной системы координат введем ассоциированный с ним ортонормированный базис .
Определение 1. Каждой тройке векторов заданного координатного базиса поставим в соответствие тройку векторов ассоциированного с ним ортонормированного базиса так, чтобы удовлетворялись равенства
(6.1a,b,c)
здесь - угол, образуемый векторами и , знаки “” и “”, соответственно, для правоориентированной и левоориентированной троек векторов .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ... УКРАИНЫ ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им В И ВЕРНАДСКОГО...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Преобразование базисов
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов