Теоретические сведения

Электрические цепи делятся на простые и сложные. К признакам, определяющим простую цепь, можно отнести:

- наличие только одного источника энергии (сигнала);

- возможность до расчётов указать истинные направления токов во всех ветвях;

- соединение элементов цепи выполнено по правилам последовательного, параллельного и смешанного соединений.

Отсутствие любого из этих признаков может переводить цепь в категорию сложных.

Для анализа простых цепей используется два метода (в работе используется первый):

- метод свёртки схемы цепи относительно зажимов источника (он же метод определения входного или эквивалентного сопротивления);

- метод пропорциональных (определяющих) величин.

Из многих методов анализа сложных цепей здесь рассматриваются два: метод контурных токов (МКТ) и метод узловых напряжений (МУН).

Все методы, рассматриваемые в работе, применены к цепям постоянного тока, однако они справедливы и в цепях переменного тока. Метод свёртки простых цепей основан на возможности эквивалентных преобразований участков цепи. Преобразуемый участок заменяется на комбинацию (чаще всего более простую) других элементов. Причём, параметры новых элементов определяются из условия сохранения энергетического состояния цепи за пределами преобразуемого участка. Чаще всего используются эквивалентные преобразования, представленные на рисунке 1.1.

а

б

 

 

в

 

в-1	в-2

 

Рисунок 1.1 - Схемы эквивалентных преобразований:
а) последовательная; б) параллельная;
в) в-1 – «звезда»-«треугольник»; в-2 – «треугольник»-«звезда».

Метод контурных токов. Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы, составляемых по законам Кирхгофа, до

 

(1.1)

 

где число ветвей цепи;

число узлов цепи;

число источников тока цепи.

 

Он основан на том, что ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. При использовании метода перед расчётом выбирают направления и путь протекания контурных токов – по любой ветви должен протекать хотя бы один выбранный контурный ток. Общее число неизвестных контурных токов определяется величиной (формула (1.1)). Причём, из пути их протекания следует исключить ветви с источниками тока.

Кроме того, контурных токов следует направить так, чтобы каждый из них проходил через один источник тока. При таком выборе можно считать эти контурных токов известными, задаваемыми условиями задачи: .

Для определения неизвестных контурных токов система уравнений составляется только по второму закону Кирхгофа (порядок системы равен ):

 

 

В этой системе собственное сопротивление контура. Оно равно сумме сопротивлений ветвей, входящих в этот контур. Падение напряжения на этих сопротивлениях всегда положительно.
сопротивления ветви, общей для -го и -го контуров. При согласном протекании токов и по этой ветви падение напряжения берется со знаком «+», при встречном – со знаком «–». Сопротивления, фигурирующие под знаком суммирования в правой части (1.2), – это сопротивления ветвей, общих для рассматриваемого контура и контура, по которому протекает известный контурный ток, задаваемый соответствующим источником тока. Правило знаков для падения напряжений в этих случаях – обратное. алгебраическая сумма э.д.с., действующих в рассматриваемом контуре. После расчёта системы (1.2) относительно контурных токов реальные токи определяются алгебраической суммой контурных токов, протекающих в данной ветви. На рисунке 1.2 представлен пример использования метода контурных токов.

 

неизвестны известен   Система:   Токи в ветвях:

 

В обозначениях (1.2):

Рисунок 1.2 – Пример использования метода контурных токов

 

Метод узловых напряжений (узловых потенциалов). Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы, составляемой по законам Кирхгофа, до

 

,

 

где число ветвей, содержащих только идеальные источники
э.д.с.

 

Методом узловых напряжений рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда у < к.

Сущность метода состоит в определении напряжений (потенциалов) всех узлов схемы относительно одного из них (базисного), выбранного произвольно. Потенциал базисного узла принимается нулевым. Условно за положительное направление узловых потенциалов принимают направление от данного узла к базисному. Для нахождения узловых напряжений составляется и решается следующая система, основанная на первом законе Кирхгофа:

 

Суммирование в правых частях (1.3) распространяется на все ветви, присоединённые к -му узлу. В этой системе каждое уравнение соответствует отдельному узлу. сумма проводимости ветвей, присоединённых к узлу «» (собственная проводимость узла). сумма проводимости ветвей, включённых между узлами «» и «» (взаимная проводимость узла). алгебраическая сумма произведений э.д.с. на проводимости ветвей, подключённых к узлу «». алгебраическая сумма источников тока, присоединённых к узлу «». В две последние суммы слагаемые включаются со знаком «+», если э.д.с. или источник тока направлен к узлу «», и со знаком «–», если направление – от узла «».

После нахождения потенциалов ток в ветви, включённой между узлами «» и «», можно найти по формуле:

 

 

где и это (в отличие от (1.3)) величины, относящиеся к от-
дельным ветвям, включённым между узлами «» и «».

Пример использования МУН представлен на рисунке 1.3.

 

неизвестные Узел «0» – опорный. Система:

 

Рисунок 1.3 - Пример использования метода узловых напряжений