Системы счисления

Системой счисления называется способ изображения чисел с помо­щью ограниченного набора символов, имеющих определенные количе­ственные значения. Систему счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В по­зиционных системах каждая цифра числа имеет определенный вес, зависящий от позиции цифры в последовательности, изображающей чис­ло. Позиция цифры называется разрядом. В позиционной системе счис­ления любое число можно представить в виде

Основание системы счисления N показывает, во сколько раз «вес» i-го разряда больше (i- 1)-го разряда. Целая часть числа отделяется от дробной части точкой (запятой).

Пример 2.1.А₁₀=37.25.

В соответствии с формулой (2.1) это число формируется из цифр с весами разрядов:

Теоретически наиболее экономичной системой счисления является сис­тема с основанием е =2,71828..., находящимся между числами 2 и 3.

Во всех современных ЭВМ для представления числовой информации используется двоичная система счисления. Это обусловлено:

· более простой реализацией алгоритмов выполнения арифметических и логических операций;

· более надежной физической реализацией основных функций, так как они имеют всего два состояния (0 и 1);

· экономичностью аппаратной реализации всех схем ЭВМ.

При N=2 число различных цифр, используемых для записи чисел, ограничено множеством из двух цифр (нуль и единица). Кроме двоичной системы счисления широкое распространение получили и производные системы:

· двоичная — {0,1};

· десятичная, точнее, двоично-десятичное представление десятичных чисел — {0, 1,...,9};

· шестнадцатеричная — {0, 1, 2,..., 9, А, В, С, D, Е, F}. Здесь шестнадцатеричная цифра А обозначает число 10, В – число 11,..., F — число 15;

· восьмеричная (от слова восьмерик) — {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Она широко используется во многих специализированных ЭВМ. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 2⁴ и 8 = 2³. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.

Пример 2.2. Число А₁₀ = 100.625 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления имеет следующее представление:

Представление чисел в различных системах счисления допускает однозначное преобразование их из одной системы в другую. В ЭВМ перевод из одной системы в другую осуществляется автоматически, по специальным программам. Правила перевода целых и дробных чисел отличаются.