МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Тюменской области

 

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ

МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА

Кафедра математики, информатики и естественных наук

 

 

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе _______________ Кольцова Т. А. «___»_____________________2007 г.

 

С. Д. Захаров, К. М. Утешев

 

ТЕОРИЯ ИГР

Учебно-методический комплекс

для студентов специальностей:

080801 – Прикладная информатика в экономике,

080102 – Мировая экономика, 080103 – Национальная экономика,

080107 – Налоги и налогообложение,

080507 – Менеджмент организации, 080111 – Маркетинг,

очной и заочной форм обучения

 

 

Тюмень

 

ББК 22.18

Т 33

ТЕОРИЯ ИГР[Текст]: учебно-методический комплекс. Тюмень: ТГИМЭУП, 2007. 64 с.

 

 

Учебно-методический комплекс«Теория игр» составлен в соответствии с Государственным образовательным стандартом и учебными планами специальностей: Прикладная информатика в экономике, Мировая экономика, Национальная экономика, Налоги и налогообложение, Менеджмент организации Маркетинг.

УМК включает: тематические планы, содержание курса, задания для практических занятий, задания для выполнения контрольной работы, перечень вопросов к зачету, задания для самостоятельной работы студентов, тестовые задания, список литературы.

Предназначен для студентов очной и заочной форм обучения.

 

 

Комплекс одобрен на заседании кафедры математики, информатики и естественных наук (протокол № 6 от 10.03.07 г.), печатается по решению Учебно-методического совета (протокол заседания УМС № 2 от 10.10.07 г.).

 

Рецензенты:

С. Д. Шалагинов, к.ф-м.н, доцент математического анализа ТГУ;

Р. М. Султанаев, к.ф-м.н, доцент кафедры математики, информатики и естественных наук ТГИМЭУП.

 

 

Авторы-составители С. Д. Захаров, К. М. Утешев

 

© ТГИМЭУП, 2007

© С.Д. Захаров, К.М. Утешев, 2007

Принята решением Ученого совета

(протокол № 3 от 17.10.07 г.)

 

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

  ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ Цель и задачи дисциплины

Очная форма обучения

Общие часы – 98 ч. Аудиторные занятия – 51 ч.

Лекции – 34 ч. Практические занятия – 17 ч.

Самостоятельная работа – 47 ч.

Формы текущего и итогового контроля – тестирование, выполнение контрольных работ, зачет.

Заочная форма обучения

Общие часы – 98 ч. Аудиторные занятия – 10 ч.

Лекции – 6 ч. Практические занятия – 4 ч.

Самостоятельная работа – 88 ч.

Формы текущего и итогового контроля – выполнение контрольных работ, зачет.

специальность «Мировая экономика»

Очная форма обучения

Общие часы – 140 ч. Аудиторные занятия – 72 ч.

Лекции – 36 ч. Практические занятия – 36 ч.

Самостоятельная работа – 68 ч.

Формы текущего и итогового контроля – тестирование, выполнение контрольных работ, зачет.

Заочная форма обучения

Общие часы – 140 ч. Аудиторные занятия – 14 ч.

Лекции – 6 ч. Практические занятия – 8 ч.

Самостоятельная работа – 126 ч.

Формы текущего и итогового контроля – выполнение контрольных работ, зачет.

специальность «Национальная экономика»

Очная форма обучения

Общие часы – 75 ч. Аудиторные занятия – 39 ч.

Лекции – 13 ч. Практические занятия – 26 ч.

Самостоятельная работа – 36 ч.

Формы текущего и итогового контроля – тестирование, выполнение контрольных работ, зачет.

Заочная форма обучения

Общие часы – 75 ч. Аудиторные занятия – 8 ч.

Лекции – 4 ч. Практические занятия – 4 ч.

Самостоятельная работа – 67 ч.

Формы текущего и итогового контроля – выполнение контрольных работ, зачет.

специальность «Налоги и налогообложение»

Очная форма обучения

Общие часы – 150 ч. Аудиторные занятия – 72 ч.

Лекции – 36 ч. Практические занятия – 36 ч.

Самостоятельная работа – 78 ч.

Формы текущего и итогового контроля – тестирование, выполнение контрольных работ, зачет.

Заочная форма обучения

Общие часы – 150 ч. Аудиторные занятия – 15 ч.

Лекции – 8 ч. Практические занятия – 7 ч.

Самостоятельная работа – 135 ч.

Формы текущего и итогового контроля – выполнение контрольных работ, зачет.

специальность «Менеджмент организации»

Очная форма обучения

Общие часы – 100 ч. Аудиторные занятия – 54 ч.

Лекции – 18 ч. Практические занятия – 36 ч.

Самостоятельная работа – 46 ч.

Формы текущего и итогового контроля – тестирование, выполнение контрольных работ, зачет.

Заочная форма обучения

Общие часы – 100 ч. Аудиторные занятия – 10 ч.

Лекции – 6 ч. Практические занятия – 4 ч.

Самостоятельная работа – 90 ч.

Формы текущего и итогового контроля – выполнение контрольных работ, зачет.

специальность «Маркетинг»

Очная форма обучения

Общие часы – 100 ч. Аудиторные занятия – 51 ч.

Лекции – 17 ч. Практические занятия – 34 ч.

Самостоятельная работа – 49 ч.

Формы текущего и итогового контроля – тестирование, выполнение контрольных работ, зачет.

Заочная форма обучения

Общие часы – 100 ч. Аудиторные занятия – 10 ч.

Лекции – 6 ч. Практические занятия – 4 ч.

Самостоятельная работа – 90 ч.

Формы текущего и итогового контроля – выполнение контрольных работ, зачет.

 

ТЕМАТИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ

специальность «Прикладная информатика в экономике»

Очная форма обучения

Заочная форма обучения

специальность «Мировая экономика»

Очная форма обучения

Заочная форма обучения

специальность «Национальная экономика»

Очная форма обучения

Заочная форма обучения

специальность «Налоги и налогообложение»

Очная форма обучения

Заочная форма обучения

специальность «Менеджмент организации»

Очная форма обучения

Заочная форма обучения

  специальность «Маркетинг»

Очная форма обучения

Раздел 1. Введение в теорию игр

Тема 1. Общее введение в теорию игр

Столкновение интересов. Исторический обзор. Основные понятия теории игр. Классификация игр. Формальные представления игр. Позиционные игры. Игры с бесконечным множеством чистых стратегий. Игры, не имеющие цены. Игры, связанные с выбором времени или распределением средств. Стохастические игры. Рекурсивные игры. Игры на выживание. Игры на истощение. Теория игр и социология. Дерево игры. Информационные множества. Исходы. Разумность и знание. Чистые и смешанные стратегии.

 

Тема 2. Теория полезности

Классы выборов решения. Индивидуальный выбор решения при определенности. Примеры: линейное программирование. Индивидуальный выбор решения при риске. Портфель инвестиций. Аксиоматическая трактовка полезности. Некоторые распространенные заблуждения. Сравнение индиви­дуаль­ных полезностей. Экспериментальное определение полезности.

 

 

Раздел 2. Игры двух лиц

Тема 3. Игры 2 лиц с нулевой суммой

Матричные игры. Игры со строгим соперничеством и с нестрогим соперничеством. Игры с уравновешенными парами. Игры без уравновешен­ных пар. Принципы решения матричных антагонистических игр. Принцип минимакса. Оптимальное поведение игроков. Использование слабостей соперника. Свойства оптимальных стратегий и цена игры. Методы решения. Игры 2х2. Доминирование. Игры 2хn, mх2. Графическое решение. Решение игр m (n) симплекс-методом. Итеративный метод Брауна. Применение теории игр для анализа проблем микроэкономики.

 

Тема 4. Некооперативные игры 2 лиц с ненулевой суммой

Основные свойства игр с ненулевой суммой. Семейный спор. Дилемма заключенного. Экономические циклы: профсоюзы и работодатели. Решения некооперативных игр. Психологические факторы.

 

Тема 5. Кооперативные игры 2 лиц

Решение фон Неймана-Моргенштерна. Арбитражные схемы. Торг по Нэшу. Цена игры Шепли. Устойчивость арбитражных схем. Бридж. Спортивный бридж, робберный бридж. Основные понятия и правила. Очки, заявки, контракты, призовые игры. Соглашения об обмене информацией (системы торговли, конвенции). Игры в обороне (вист). Гейм, шлем, контра, реконтра. Учет очков. Приоритет мастей. Сдача, торговля и розыгрыш. Дилер и разыгрывающий.

 

Тема 6. Теория игр n лиц в нормальной форме

Смешанные стратегии и нормальная форма. Игры с постоянной суммой и с нулевой суммой. Стратегия поведения и идеальная память. Условия, ограничивающие сообщение. Некооперативные игры. Точка равновесия. Кооперативные игры без побочных платежей. Ядро.

 

 

Раздел 3. Выбор решения

Тема 7. Решения игр

Решение фон Неймана-Моргенштерна. Решение задачи о рынке с одним продавцом и двумя покупателями. Решение на областях, отличных от предпосылок. Разумные исходы и цена. Цена как арбитражная схема.

 

Тема 8. Приложения теории игр n лиц

Априорное распределение сил в схемах голосования. Распределение сил в идеализированном законодательном органе. Бывает ли реальная игра абстрактной игрой.

 

Тема 9. Индивидуальный выбор решения при неопределенности

Критерии выбора решения. Аксиомы, не основанные на полном незнании. Аксиомы, основанные на полном незнании. Случай частичного незнания. Игры как выбор решения при неопределенности. Выбор статистического решения при фиксированном эксперименте. Выбор статистического решения при нефиксированном эксперименте. Полные классы правильных решений.

 

Тема 10. Групповой выбор решения

Общий выбор и индивидуальные ценности. Условия, накладываемые на групповой выбор и теорема Эрроу о невозможности. Разбор парадокса Эрроу. Процедура выбора группового решения, основанная на степенях индивидуальных предпочтений. Правило большинства и его стратегическое использование. Игры с целью справедливого дележа. Политика в области дивидендов и игра на экономическое разорение.

 

Тема 11. Случайные ходы и лотереи

Случайные ходы. Моделирование. Причины. Лотереи. Ожидаемая полезность лотерей.

 

Тема 12. Равновесия Нэша

Равновесия Нэша. Равновесия Нэша в смешанных стратегиях. Рафинирование равновесий для развернутой формы.

 

Тема 13. Секвенциальные равновесия

Секвенциальные равновесия. Коррелированные равновесия. Устойчивость.

 

Тема 14. Повторяющиеся игры

Изменение свойств решений при повторении игр. Бесконечные игры. Предельные ситуации.

 

Тема 15. Задача торга

Арбитражные схемы. Торг по Нэшу. Устойчивость арбитражных схем.

 

Тема 16. Механизмы группового выбора

Понятие механизма. Отличия механизмов от игр. Принципы, которым должны удовлетворять механизмы. Теорема о невозможности построения справедливого механизма. Примеры действующих механизмов.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Раздел 1. Введение в теорию игр

Тема 1. Общее введение в теорию игр

Контрольные вопросы

1. Столкновение интересов.

2. Исторический обзор.

3. Основные понятия теории игр.

4. Классификация игр.

5. Формальные представления игр.

6. Позиционные игры.

7. Игры с бесконечным множеством чистых стратегий.

8. Игры, не имеющие цены.

9. Игры, связанные с выбором времени или распределением средств.

10. Стохастические игры.

11. Рекурсивные игры.

12. Игры на выживание.

13. Игры на истощение.

14. Теория игр и социология.

15. Дерево игры.

16. Информационные множества.

17. Исходы. разумность и знание.

18. Чистые и смешанные стратегии.

18.Литература основная:[1–4];дополнительная:[5-18].

18.

Тема 2. Теория полезности

Контрольные вопросы

 

1. Классы выборов решения.

2. Индивидуальный выбор решения при определенности.

3. Примеры: линейное программирование.

4. Индивидуальный выбор решения при риске.

5. Портфель инвестиций.

6. Аксиоматическая трактовка полезности.

7. Некоторые распространенные заблуждения.

8. Сравнение индивидуальных полезностей.

9. Экспериментальное определение полезности.

9.Литература основная:[1–4];дополнительная: [6, 12, 14, 16].

9.

 

 

Раздел 2. Игры двух лиц

Тема 3. Игры 2 лиц с нулевой суммой

Контрольные вопросы

1. Матричные игры.

2. Игры со строгим соперничеством и с нестрогим соперничеством.

3. Игры с уравновешенными парами.

4. Игры без уравновешенных пар.

5. Принципы решения матричных антагонистических игр.

6. Принцип минимакса.

7. Оптимальное поведение игроков.

8. Свойства оптимальных стратегий и цена игры.

9. Игры 2х2.

10. Доминирование.

11. Игры 2хn, mх2.

12. Графическое решение.

13. Решение игр mхn симплекс-методом.

14. Итеративный метод Брауна.

15. Применение теории игр для анализа проблем микроэкономики.

15.Литература основная:[1–4];дополнительная:[5-10, 17].

15.

Типовые примеры

Решение игр 2х2.

не имеющей седловой точки. Антагонистическая игра, в которой каждый игрок имеет конечное число стратегий,… Оптимальный выбор игроками своих стратегий в матричной игре осуществляется на основе принципа минимакса: стремление…

Решение игр 2хn, mх2.

. Будем предполагать, что седловой точки матрица A не имеет. Произвольную… По теореме

Задачи для решения

Решить игру с матрицей (тип 2хn). В ответе указать цену игры и вероятности применения стратегий, т.е. v, p, q.

  1. -8 2. -1 -2 -5 …

Решить игру с матрицей (тип mх2). В ответе указать цену игры и вероятности применения стратегий, т.е. v, p, q.

                  …           …

Тема 4. Некооперативные игры 2 лиц с ненулевой суммой

Контрольные вопросы

1. Основные свойства игр с ненулевой суммой.

2. Точки равновесия.

3. Семейный спор.

4. Дилемма заключенного.

5. Экономические циклы: профсоюзы и работодатели.

6. Решения некооперативных игр. Психологические факторы.

Литература основная:[1–4];дополнительная:[5, 6, 9, 10, 16, 17].

Типовые примеры

Пример. Рассмотрим игру с матрицами

.

В этой игре пары стратегий x=(1,0), y=(1,0) и x=(0,1), y=(0,1) являются равновесными, так как игроку 1 (игроку 2) невыгодно уклоняться от стратегии 1, если игрок 2 (игрок 1) придерживается стратегии 1. Аналогично проводятся рассуждения во втором случае. Выигрыши в точках равновесия различны.

Теорема.Для любой биматричной игры всегда существует, по крайней мере, одна пара равновесных смешанных стратегий. В общем случае решение не единственно и значения выигрыша – различны.

 

Рассмотрим задачу типа Семейный спор. Она относится к типу биматричных игр. В некотором небольшом городе живут муж и жена. Каждые выходные они обсуждают вопрос, куда пойти? Муж предлагает пойти на футбол (бокс и т.п.), жена – в кино (театр, цирк и т.д.). Кроме того, они предпочитают находиться вместе. В соответствии с этими предпосылками составим матрицу полезностей игроков в зависимости от различных решений. Допустим, что каждый игрок оценивает для себя полезность посещения привлекательного для него мероприятия через 3, бесполезного – через 0, а тот факт, что они пошли вместе – через 2. Тогда в соответствии с этими условиями получим матрицу выигрышей

 

Муж/Жена	Балет	Футбол
Балет	(2,5)	(0,0)
Футбол	(3,3)	(5,2)

 

Здесь в каждой клетке – первая цифра – выигрыш (полезность) мужа, вторая – жены. Например, если они вместе пошли на балет, по 2 очка они получают за то, что пошли вместе, жена добавляет себе еще 3 очка за балет. Иногда эта таблица разбивается на две таблицы выигрышей отдельного игрока:

 

Выигрыши мужа (игрока 1)		Выигрыши жены (игрока 2)
Муж/Жена	Балет	Футбол		Муж/Жена	Балет	Футбол
Балет				Балет
Футбол				Футбол

 

В этой задаче точка (3,3) является точкой равновесия. Ее смысл следующий – если противник придерживается этой же стратегии, то мне невыгодно менять свою. В самом деле, если муж поменяет свое решение с футбола на балет, то игроки попадут в точку (2,5), что мужу невыгодно, он получит 2 вместо 3. Аналогично может рассуждать и игрок 2. Других точек равновесия в этой игре нет, так как из точки (0,0) уходят оба, из точки (2,5) муж уходит в (3,3), из точки (5,2) жена уходит в (3,3).

 

 

Задачи для решения

  1. A= -2 B=   11. A= …

Тема 5. Кооперативные игры 2 лиц

Контрольные вопросы

1. Решение фон Неймана-Моргенштерна.

2. Арбитражные схемы.

3. Торг по Нэшу.

4. Цена игры Шепли.

5. Устойчивость арбитражных схем.

6. Бридж.

7. Спортивный бридж, робберный бридж.

8. Основные понятия и правила.

9. Очки, заявки, контракты, призовые игры.

10. Соглашения об обмене информацией (системы торговли, конвенции).

11. Игры в обороне (вист).

12. Гейм, шлем, контра, реконтра.

13. Учет очков.

14. Приоритет мастей.

15. Сдача, торговля и розыгрыш.

16. Дилер и разыгрывающий.

16.Литература основная:[1–4];дополнительная:[5, 6, 19].

16.

Методические указания по теме Бридж

Поле битвы - зеленое сукно. В сражении участвуют четыре человека (как вы уже смогли заметить по количеству стульев), причем они объединены в две…   Каждый поединок начинается с раздачи оружия: раздающий (а раздает каждый раз новый игрок, очередность меняется по…

Стоимость одной заказанной взятки

 

Масть контракта	Под пасом	Под контрой	Под реконтрой
Без козыря - первая взятка
Без козыря – остальные взятки
Мажорная
Минорная

 

Заметим, что премии за выигрыш контракта под контрой или реконтрой от масти контракта не зависят. Давайте начнем систематизировать все многочисленные цифры, премии и награды. Стоимости заказанных учитываемых взяток при сыгранном контракте приведены в таблице выше. Премия за выигрыш игры под контрой и реконтрой.

 

Дополнительная премия за выигрыш игры

Под контрой	Под реконтрой

 

Давайте теперь разберем новое для нас понятие зона и попробуем понять, как оно влияет на подсчет очков. Всего с зоной связаны четыре возможные ситуации: никого в зоне (в этом случае говорят, что обе пары до зоны), в зоне одна пара игроков, в зоне другая пара и все в зоне. Если выигравшая контракт пара находится до зоны, то полученные очки не меняются и остаются прежними. При попадании в зону увеличивается премия за качество и растет стоимость лишней взятки под контрой или под реконтрой. Зональность влияет и на учет штрафных очков при проигрыше. Итак, зона - это область риска. В отличие от общепринятого значения этого слова в бридже у вас нет выбора - рисковать или разумно воздержаться.

Стоимость одной лишней взятки

Под пасом	С контрой	С реконтрой
	До зоны	В зоне	До зоны	В зоне
Как за 1 взятку

В таблице приведены стоимости лишних взяток в зависимости от зональности играющей пары. В зоне при контре мажорные, минорные и бескозырные контракты за одну лишнюю взятку дают одинаковые очки! То же самое происходит и при реконтре. Если контракт играется без контры или реконтры, то стоимость лишней взятки не зависит от зональности. При попадании в зону растет премия за качество игры. Исключением является только частичная запись. Влияние зональности на подсчет очков за качество игры отражено в следующей таблице.

Премия за качество игры

 

Контракт	Частичная запись	Гейм	Малый шлем	Большой шлем
До зоны
В зоне

 

Итак, система подсчета очков за выполненный контракт изложена, теперь осталось указать, как наказывать за проигрыш игры! Для этого проигравшей паре присуждают штрафные очки. Точнее - эти очки записываются в актив второй пары игроков, как за выигранные игры. Таким образом, сорвав контракт, защищающаяся пара получает очки за каждую недостающую взятку. Стоимости каждой такой взятки приведены в таблице.

 

Штрафные очки за одну не взятую взятку

Теперь все известно про начисляемые за выигрыш и проигрыш очки. Однако можно спросить: «Пусть одна пара сыграла что-то очень редкое и большое,…  

Московская компенсация

  Фигурные очки До зоны В зоне Фигурные очки До зоны В зоне …   Если у играющей пары менее двадцати фигурных очков, то компенсация не начисляется. В противном случае, сыграв игру,…

Система торговли Парижанка

Открытия: 1 уровень 1Т 12-21 hcp, от 3-ки Т (исключая 15-17 и 20-21 равномерного распределения). В отсутствие… Ответы: на 1Т (12-21 hcp, от 3-ки Т)   …   пас 0-4 hcp 1Б, Ч, П от 4Б, Ч, П от 5 hcp (форсирует) 1…

Тема 6. Теория игр n лиц в нормальной форме

Контрольные вопросы

 

1. Смешанные стратегии и нормальная форма.

2. Игры с постоянной суммой и с нулевой суммой.

3. Стратегия поведения и идеальная память.

4. Условия, ограничивающие сообщение.

5. Некооперативные игры.

6. Точка равновесия.

7. Кооперативные игры без побочных платежей.

8. Ядро.

Литература основная:[1–4];дополнительная:[5, 6, 9, 10, 15-17].

 

Типовые примеры

 

1.

Кооперирование предприятий.

Имеется три предприятия (I, II, III); которые выпускают продукцию #1, продукцию #2 и продукцию #3.Следующая таблица представляет общие выпуски продукции по каждому предприятию. Продукция продается комплектами (1ед. #1, 1ед. #2 и 1ед. #3). Спрос неограничен. Комплект стоит 1 тыс. руб.

Требуется решить вопрос о целесообразности объединения предприятий, найти максимальный возможный доход объединения, справедливый дележ – вектор Шепли.

 

	#1	#2	#3
I
II
III

 

Решение. Подсчитаем выигрыши коалиций, т.е. доход, который они получат при объединении. Для 3 игроков имеем 2³=8 коалиций.

Так как каждое из предприятий не выпускает одного из типов продукции, то без объединения никто ничего не зарабатывает. v(Æ)=v(I)=v(II)=v(III)=0.

При объединении I и II предприятий, их общий выпуск равен

 

	#1	#2	#3
I
II
итого

Они могут сформировать 900 комплектов и выручить за них 900 тыс. руб.

При объединении I и III предприятий, их общий выпуск равен

 

	#1	#2	#3
I
III
итого

 

Они могут сформировать 800 комплектов и выручить за них 800 тыс. руб.

При объединении II и III предприятий, их общий выпуск равен

 

	#1	#2	#3
II
III
итого

 

Они могут сформировать 300 комплектов и выручить за них 300 тыс. руб.

При объединении всех трех предприятий, их суммарный выпуск равен

 

	#1	#2	#3
I
II
III
итого

 

Они могут сформировать 1200 комплектов и выручить за них 1200 тыс. руб.

Занесем полученную информацию в таблицу выигрышей коалиций.

 

S	v(S)		S	v(S)
Æ			{I, II}
{I}			{I, III}
{II}			{II, III}
{III}			{I, II, III}

 

Теперь составим таблицу всевозможных порядков образования максимальной коалиции, раздавая каждому участнику ту дополнительную прибыль, которую он приносит в эту коалицию. Всего существует 3!=6 порядков формирования коалиций.

 

Порядок входа в коалицию		Сколько получает коалиция		Сколько получает каждый участник
первый	второй	третий		один	двое	трое		I	II	III
I	II	III
I	III	II
II	I	III
II	III	I
III	I	II
III	II	I
Итого

 

Например, на 5 строке указан порядок входа III, I, II.

Сначала приходит участник III. Так как v(III)=0, то он получает 0.

Следующим приходит участник I. Так как v(I,III)=800, то он получает 800-0=800.

Последним приходит участник II. Так как v(I,II,III)=1200, то ему достается 1200-800=400. Аналогично заполнены все остальные строки.

В строке итого подведены все доходы отдельных участников, полученные при 6 различных порядках. Собственно, эти 6 порядков выполняются для обеспечения полной симметрии по входам.

В заключение поделим полученные выигрыши на 6 и получим вектор справедливого платежа, который получают участники при вступлении в коалицию. .

Можно отметить, основные свойства вектора Шепли (справедливого дележа): от вступления в коалицию каждому участнику не становится хуже, кроме того, максимальный доход коалиции действительно получается и распределяется.

.

Почему первый участник должен получить больше других? Во-первых, выпуски на первом предприятии больше, во-вторых, в формировании лимитирующего количества 1200 главным образом участвует продукция #1, которая в основном выпускается на I предприятии, т.е. оно получает дополнительный доход за редкость.

 

 

Задачи для решения

    #1 #2 #3   …             …

Раздел 3. Выбор решения

Тема 7. Решения игр

Контрольные вопросы

 

1. Решение фон Неймана-Моргенштерна.

2. Решение задачи о рынке с одним продавцом и двумя покупателями.

3. Решение на областях, отличных от предпосылок.

4. Разумные исходы и цена.

5. Цена как арбитражная схема.

5.Литература основная:[1, 4];дополнительная:[5, 6, 9-11, 16, 17].

6.

6.

7.

8. Тема 8. Приложения теории игр n лиц

Контрольные вопросы

8.

1. Априорное распределение сил в схемах голосования.

2. Распределение сил в идеализированном законодательном органе.

3. Бывает ли реальная игра абстрактной игрой.

3.Литература основная:[2–4];дополнительная:[5, 6, 9-11].

3.

3.Схемы голосования – довольно известный пример приложения теории игр к практике. Любопытным фактом является тот, что для получения результата не обязательно увеличивать число сторонников партии, может быть достаточно изменить схему голосования.

3.

 

Типовые примеры

 

Пример. Располагая информацией о количестве голосов, которыми располагают партии, и о размере выигрывающей коалиции, найти веса партий при голосовании.

 

				выигрыш
40%	27%	20%	13%	66,6%

 

Решение. Используем схему решения игры, аналогичную расчету вектора Шепли. Представим данную игру в виде таблицы. Подсчитав выигрыши коалиций, причем для коалиции S имеем v(S)=1, если |S|>66,6%. В противном случае v(S)=0. Для 4 участников имеем 2⁴=16 коалиций.

 

S	v(S)		S	v(S)		S	v(S)		S	v(S)
Æ			{4}			{2, 3}			{1, 2, 4}
{1}			{1, 2}			{2, 4}			{1, 3, 4}
{2}			{1, 3}			{3, 4}			{2, 3, 4}
{3}			{1, 4}			{1, 2, 3}			{1, 2, 3, 4}

 

Расстановка 1 и 0 осуществляется так. Например, для 1 и 2 партий сумма их голосов составляет 40%+27%=67%. Это больше порогового значения 66,6%, поэтому эта коалиция является выигрывающей и в таблице имеет v({1,2)}=1. А, скажем, коалиция S={2,3,4} имеет в сумме 27%+20%+13%=60% голосов, что меньше 66,6%, поэтому v({2,3,4})=0. остальные цифры рассчитаны аналогично.

Теперь составим таблицу всевозможных порядков образования максимальной коалиции, раздавая 1 тому участнику, с чьим приходом эта коалиция становится выигрывающей. Всего существует 4!=24 порядка формирования коалиций.

 

 

вход

Накопленные голоса (%)

выигрыш

Перв.

Втор.

Трет.

Четв.

первый

двое

трое

все

итого

 

Напомним, что 1 получает тот игрок, с приходом которого суммарный вес коалиции превышает 66,6%. Например, на первой строке – это игрок №2, который вошел третьим, и с его появлением вес коалиции стал равен 80%, до него вес был равен 53%, что меньше 66,6%. В заключение поделим полученные выигрыши на 24 и получим вектор весов партий . Можно отметить, что, хотя первая партия не имеет большинства, но по весам она абсолютно доминирует над остальными партиями.

 

Задачи для решения

  № варианта Размер выигрывающей коалиции 39,0% …  

Тема 9. Индивидуальный выбор решения при неопределенности

Контрольные вопросы

 

1. Критерии выбора решения.

2. Аксиомы, не основанные на полном незнании. Аксиомы, основанные на полном незнании.

3. Случай частичного незнания.

4. Игры как выбор решения при неопределенности.

5. Выбор статистического решения при фиксированном эксперименте.

6. Выбор статистического решения при нефиксированном эксперименте.

7. Полные классы правильных решений.

7.Литература основная:[1–4];дополнительная:[5, 6, 9-11, 13, 14, 16, 17].

 

Тема 10. Групповой выбор решения

Контрольные вопросы

 

1. Общий выбор и индивидуальные ценности.

2. Условия, накладываемые на групповой выбор и теорема Эрроу о невозможности.

3. Разбор парадокса Эрроу.

4. Процедура выбора группового решения, основанная на степенях индивидуальных предпочтений.

5. Правило большинства и его стратегическое использование.

6. Игры с целью справедливого дележа.

7. Политика в области дивидендов и игра на экономическое разорение.

7.Литература основная: [4];дополнительная:[5, 6, 11, 16].

 

 

Тема 11.Случайные ходы и лотереи

Контрольные вопросы

 

1. Случайные ходы.

2. Моделирование.

3. Лотереи.

4. Ожидаемая полезность лотерей.

Литература основная:[1-4];дополнительная:[5, 6, 11, 16, 17].

 

Тема 12. Равновесия Нэша

Контрольные вопросы

 

1. Равновесия Нэша.

2. Равновесия Нэша в смешанных стратегиях.

3. Рафинирование равновесий для развернутой формы.

3.Литература основная:[4];дополнительная:[5, 6, 11, 15-17].

3.

 

Типовые примеры

Продолжим рассмотрение игры Семейный спор. В случае если игроки могут договариваться о совместных действиях, возникают новые ситуации в игре. Напомним матрицу игры.

 

Муж/Жена	Балет	Футбол
Балет	(2,5)	(0,0)
Футбол	(3,3)	(5,2)

Изобразим эту информацию на графике, откладывая выигрыши мужа по оси Ox, выигрыши жены – по оси Oy.

 

 

Точки O, A, B, C соответствуют чистым стратегиям. Отрезки, их соединяющие – смешанным стратегиям. Например, отрезок OA возникает при чередования с различными вероятностями стратегий, приводящих к исходам (0,0) и (5,2), т.е. если жена все время ходит на футбол, а муж – то на футбол, то на балет. Уже обсуждалось ранее, что для чистых стратегий точка B(3,3) – точкам равновесия. Также она возникает и из соображений доминирования. То есть эту точку каждый может себе гарантировать, не вступая в переговоры с партнером. Линии BE и BD показывают, чего может достичь игрок, не вступая в переговоры. Теперь обратим внимание на линию AC, расположенную справа-сверху, или, как говорят, северо-восточную границу области. Точки этой линии составляют так называемое Парето-оптимальное множество. Во-первых, они доминируют все остальные точки области, во-вторых, между собой они несравнимы. Напомним, что точка X(x₁,x₂) доминирует (лучше) точку (точки) Y(y₁,y₂), если .

Линии DE и DB вырезают на Парето-оптимальном множестве так называемое переговорное множество DE, т.е. те исходы, о которых партнерам реально стоит договариваться. Среди них выделяется точка Нэша N(n₁,n₂). Она является решением оптимизационной задачи , где (m₁,m₂) – уровни дохода, которые игроки могут обеспечить себе, не вступая в коалицию. В данном примере m₁= 3, m₂ = 3, имеем задачу:

Найти максимум выражения, при условии (уравнение линии AC). Можно перейти к одной переменной , подставить в функцию и получить , решить уравнение , откуда .

Итак, совместными действиями игроки могут получить результат (3,5; 3,5), что лучше их гарантированного результата без кооперации.

Для достижения этого результата следует решить уравнение

или

Итак, если муж и жена будут вместе ходить на футбол и балет с вероятностью 0,5, у каждого полезность будет выше, чем при индивидуальном выборе. Реализация этой вероятности 0,5 может быть самая разная. Например, договориться о четных и нечетных неделях, либо бросать монету перед выходом.

 

 

Задачи для решения

Найти гарантированные выигрыши игроков без кооперирования, Парето-оптимальное множество, переговорное множество, точку Нэша для задач из темы 4.

 

Тема 13. Секвенциальные равновесия

Контрольные вопросы

 

1. Секвенциальные равновесия.

2. Коррелированные равновесия.

3. Устойчивость.

3.Литература основная:[4];дополнительная:[5, 6].

3.

Тема 14. Повторяющиеся игры

Контрольные вопросы

 

1. Изменение свойств решений при повторении игр.

2. Бесконечные игры.

3. Предельные ситуации.

3.Литература основная:[4];дополнительная:[5, 6, 11, 14, 16].

 

Тема 15. Задача торга

Контрольные вопросы

 

1. Арбитражные схемы.

2. Торг по Нэшу.

3. Устойчивость арбитражных схем.

3.Литература основная:[4];дополнительная:[5, 6, 11, 15, 16].

3.

Тема 16. Механизмы группового выбора

Контрольные вопросы

1. Понятие механизма.

2. Отличия механизмов от игр.

3. Принципы, которым должны удовлетворять механизмы.

4. Теорема о невозможности построения справедливого механизма.

5. Примеры действующих механизмов.

Литература основная:[4];дополнительная:[5, 6, 11, 14, 16].

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ для студентов заочной формы обучения

Контрольная работа предназначена для студентов заочной формы обучения и позволяет увеличить объем знаний путем самостоятельного изучения дополнительного материала и проверки уже полученных знаний. В ходе подготовки к контрольной работе рекомендуется использовать данный УМК по дисциплине. Контрольная работа выполняется студентом в межсессионный период и защищается у руководителя. Студенты, не выполнившие контрольную работу, не допускаются к сдаче зачета. Работа должна быть оформлена на листах формата А4, 14 шрифтом. Объем работы – не менее 10 печатных листов. Титульный лист контрольной работы должен быть оформлен в соответствии с установленными требованиями для подготовки контрольных работ.

 

 

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

 

Контрольная работа выполняется по одному из вариантов, номер которого устанавливается в соответствии с последними двумя цифрами номера зачетной книжки путем вычисления остатка от деления на 20 или посредством следующей таблицы.

 

№ варианта	2 последние цифры зачетки	№ варианта	2 последние цифры зачетки
	1, 21, 41, 61, 81		11, 31, 51, 71, 91
	2, 22, 42, 62, 82		12, 32, 52,72, 92
	3, 23, 43, 63, 83		13, 33, 53, 73, 93
	4, 24, 44, 64, 84		14, 34, 54, 74, 94
	5, 25, 45, 65, 85		15, 35, 55, 75, 95
	6, 26, 46, 66, 86		16, 36, 56, 76, 96
	7, 27, 47, 67, 87		17, 37, 57, 77, 97
	8, 28, 48, 68, 88		18, 38, 58, 78, 98
	9, 29, 49, 69, 89		19, 39, 59, 79, 99
	10, 30, 50,70, 90		20, 40, 60, 80, 100

 

В соответствии с номером варианта студенты выбирают и решают задачи, приведенные в темах 3 (две задачи), 4, 6, 8, 12.

 

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Литература

Основная

1. Справочник по математике для экономистов. М, ВШ, 1997.

2. Волков Ю.И., Волков А.Ю. Теория игр. Тюмень, ТГИМЭУП, 2002.

3. Захаров С.Д. Курс теории игр (англ. яз.). Тюмень, ТГИМЭУП, 2002.

4. Данилов В.И. Лекции по теории игр./ КЛ/2002/001. М., РЭШ, 2002.

Дополнительная

6. Льюс Р.Д., Райфа Х. Игры и решения. М.,1961. 7. Вильямс Дж. Д. Совершенный стратег. М, 1960. 8. Матричные игры. М., ГИФМЛ, 1961.

Перечень специализированных аудиторий

Для проведения учебных занятий

Аудиторные занятия по дисциплине «Теория игр» не требуют специализированных аудиторий для проведения занятий. Лекционные занятия проводятся с использованием мультимедиа - проектора. Практические занятия проводятся в обычных классах.

 

 

ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО, РУБЕЖНОГО

И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

Тематика докладов

Раздел 1. Введение в теорию игр

 

 

Тема 1. Общее введение в теорию игр

Классификация игр. Формальные представления игр.

Позиционные игры.

Игры на выживание.

Теория игр и социология.

Информационные множества. Исходы, разумность и знание.

Тема 2. Теория полезности

Индивидуальный выбор решения при определенности.

Индивидуальный выбор решения при риске.

Портфель инвестиций.

Аксиоматическая трактовка полезности.

Сравнение индивидуальных полезностей. Экспериментальное определение полезности.

 

 

Раздел 2. Игры двух лиц

 

Тема 3. Игры 2 лиц с нулевой суммой

Матричные игры. Принципы решения матричных антагонистических игр.

Принцип минимакса. Доминирование.

Игры 2xn, mx2. Графическое решение.

Решение игр m(n симплекс-методом).

Итеративный метод Брауна.

Применение теории игр для анализа проблем микроэкономики.

Тема 4. Некооперативные игры 2 лиц с ненулевой суммой

Семейный спор.

Дилемма заключенного.

Экономические циклы: профсоюзы и работодатели.

Психологические аспекты решения игр.

Тема 5. Кооперативные игры 2 лиц

Арбитражные схемы.

Кооперирование предприятий.

Бридж. Спортивный бридж, робберный бридж. Основные понятия и правила.

Очки, заявки, контракты, призовые игры.

Системы торговли, конвенции.

Игры в обороне (вист).

Гейм, шлем, контра, реконтра. Учет очков.

Форсирующий пас.

Сквиз.

 

Тема 6. Теория игр n лиц в нормальной форме

Смешанные стратегии и нормальная форма.

Стратегия поведения и идеальная память.

Точка равновесия.

Кооперативные игры без побочных платежей.

Ядро.

 

 

Раздел 3. Выбор решения

 

Тема 7. Решения игр

Решение задачи о рынке с одним продавцом и двумя покупателями.

Дуополия Курно.

Решение на областях, отличных от предпосылок.

Разумные исходы и цена. Цена как арбитражная схема.

Тема 8. Приложения теории игр n лиц

Схемы голосования.

Аукцион.

Тема 9. Индивидуальный выбор решения при неопределенности

Игры с природой.

Страхование.

Игры фермера с природой.

Полные классы правильных решений.

Тема 10. Групповой выбор решения

Общий выбор и индивидуальные ценности.

Теорема Эрроу.

Процедура выбора группового решения, основанная на степенях индивидуальных предпочтений.

Правило большинства и его стратегическое использование.

Политика в области дивидендов и игра на экономическое разорение.

 

Тема 11. Случайные ходы и лотереи

Случайные ходы. Моделирование.

Лотереи. Ожидаемая полезность лотерей.

Тема 12. Равновесия Нэша

Равновесия Нэша.

Равновесия Нэша в смешанных стратегиях.

Рафинирование равновесий для развернутой формы.

Тема 13. Секвенциальные равновесия

Секвенциальные равновесия.

Коррелированные равновесия.

Устойчивость.

Тема 14. Повторяющиеся игры

Изменение свойств решений при повторении игр.

Бесконечные игры.

Тема 15. Задача торга

Арбитражные схемы.

Торг по Нэшу.

Устойчивость арбитражных схем.

Тема 16. Механизмы группового выбора

Понятие механизма. Отличия механизмов от игр.

Принципы, которым должны удовлетворять механизмы. Теорема о невозможности построения справедливого механизма.

Примеры действующих механизмов.

 

 

ТЕСТЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

 

Тест по теме 5

A. Пас B. 1¨ C. 1ª D. 1БК E. Контра F. Реконтра 2. Сколько взяток Вы обязуетесь взять, делая следующие назначения? A. 2ª _____ B. 3БК _____ C. 4© _____ D. 6§ _____

Итоговый тест

 

Чем занимается теория игр

1. Обучение выигрывающим стратегиям в шахматы, шашки и т.д.

2. Вопросами поведения людей в условиях неопределенности

3. Изучение поведения людей в конфликтных ситуациях

2. Найти нижнюю цену игры

1. -3,5 2.-2 3. -5

3. Найти верхнюю цену игры

1. 2 2. 5 3. 3,5

4. Решить игру

1. v=7 2. v=9 3. v=4

Построить матрицу игры. Первый игрок имеет 8 бубей и туза пик. Второй - 4 червей и 5 треф. Игроки выкладывают на стол по одной карте. Если они одного цвета, первый выигрывает сумму номиналов, если разного цвета - второй выигрывает сумму.

1. 2. 3.

6. Решить игру

1. <p=(4/10,6/10), q=(4/10,6/10), v=6/10>

2. <p=(6/10,4/10), q=(6/10,4/10), v=74/10>

3. <p=(6/10,6/10), q=(4/10,4/10), v=74/30>

Что такое кооперативная игра

1. Игра, в которой игроки помогают друг другу

2. Игра, в которой разрешаются переговоры между игроками

3. Игра, в которой допускается образование коалиций

Что такое позиционная игра

1. Игра, в которой ходы делаются одновременно

2. Игра, в которой игроки делают свои ходы по очереди

3. Игра, в которой разыгрываются позиции

Какие игры называются биматричными

1. Игроки имеют конечное число стратегий, запрещено образование коалиций

2. Неантогонистические игры двух лиц

3. Игроки по очереди выбирают платежные матрицы

Антагонистическая игра - это игра

1. Игра, в которой один игрок выигрывает, а другой проигрывает

2. Игра, в которую играют враги

3. В которой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого

Точка равновесия

1. Исход, при котором все получают поровну

2. Ситуация, при которой никто не вступает в переговоры

3. Ситуация игры, которую невыгодно покидать ни одному из участников

Дележом называется распределение выигрыша между членами коалиции

2. По справедливости 3. Поровну 13. Найти справедливый дележ в игре с характеристической функцией: v(1)=2, v(2)=5, v(3)=1, v(1,2)=10, v(1,3)=5, v(2,3)=7, v(1,2,3)=14

Критерий Байеса выбора стратегии

1. Гарантирует выигрыш, независимо от состояний природы

2. Учитывает склонность к риску лпр

3. Гарантирует наибольший средний выигрыш

Критерий Вальда

1. Гарантирует наибольший средний выигрыш

2. Учитывает склонность к риску лпр

3. Гарантирует выигрыш, независимо от состояний природы

Критерий Гурвица

1. Гарантирует выигрыш, независимо от состояний природы

2. Учитывает склонность к риску лпр

3. Гарантирует наибольший средний выигрыш

22. Какая точка выбирается в качестве оптимальной при решении игры 5х2 графо-аналитическим методом:

1. Точка, где пересекаются линии выигрыша второго игрока

2. Нижняя точка верхней огибающей

3. Верхняя точка нижней огибающей

При решении игры 2x4 симплекс-методом получена окончательная таблица. В начале было прибавлено число 4. Найти решение игры.

 

	с	Y1	Y2	Y3	Y4	S1	S2
Y1	3/18		4/18		7/18	5/18	6/18
Y3	8/18		19/18		17/18	10/18	13/18
	11/18		-3/18		-1/18	-6/18	-5/18

 

1. <p=(6/11,5/11), q=(3/11,0,8/11,0), v=-26/11>

2. <p=(6/18,5/18), q=(3/18,0,8/18,0), v=11/18>

3. <p=(6/11,5/11), q=(3/11,0,8/11,0), v=18/11>

Метод Брауна позволяет

1. Предполагать, что игроки ведут себя одинаково

2. Представить собой альтернативное решение игры

3. Участникам оценить свои возможности в игре, не решая игры

Найти веса участников при голосовании, если они имеют соответственно 5, 5 и 6 голоса.

  Вопросы к зачету 1. Классификация игр. Формальные представления игр.

ГЛОССАРИЙ

  АЛЕРТ - уведомление о том, что оппонентам может потребоваться объяснение.… БАЛАНС - оценка возможного уровня игры, основанная на очках и раскладных ценностях обеих рук.

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИй РАЗДЕЛ ………………........
ТЕМАТИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ …………………...…………………………..
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ………………………………………….
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ………………………….
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ для студентов заочной формы обучения ….
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ……………………….…..
ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ………………………………………………
ТЕСТЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ…………………………………………..
Примерный график СРС очной формы обучения……………………….
ГЛОССАРИЙ………………………………………………………………….

Сергей Дмитриевич Захаров

Константин Мирабович Утешев

ТЕОРИЯ ИГР

Учебно-методический комплекс

для студентов специальностей:

080801 – Прикладная информатика в экономике,

080102 – Мировая экономика, 080103 – Национальная экономика,

080107 – Налоги и налогообложение,

080507 – Менеджмент организации, – 080111 Маркетинг,

очной и заочной форм обучения

 

 

Ответственный за выпуск Г. А. Наурусова

 

Редактор Г. В. Долгих

Компьютерная верстка О. В. Неволина, Г. В. Долгих

 

Формат 60х84/16. Гарнитура Times.

Тираж 200. Объем 3,72 усл. печ. л.

 

 

Отпечатано в лаборатории множительной техники ТГИМЭУП