Реферат Курсовая Конспект
Теоретична частина - раздел Философия, Теорія ймовірностей та математична статистика. ПРАКТИКУМ Ймовірністю Події А Називають Відношення Числа Сприят...
|
Ймовірністю події А називають відношення числа сприятливих цій події результатів до загального числа всіх рівно можливих несумісних елементарних результатів, що утворюють повну групу. Отже, ймовірність події А визначається формулою:
Р(А)=
де m – число елементарних результатів, що сприяють А; п – число вcіx можливих елементарних результатів випробування.
Властивість 1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.
Дійсно, якщо подія достовірна, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. У цьому випадку т = п,
Р{А) = т/п = п/п= 1.
Властивість 2. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.
Дійсно, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів випробування не сприяє події. У цьому випадку m = 0, отже
Р(А) = m/n = 0/n = 0.
Властивість 3. Ймовірність випадкової події є позитивне число, яке знаходиться між нулем і одиницею.
Дійсно, випадковій події сприяє лише частина із загальної кількості елементарних результатів випробування. У цьому випадку 0<m<n, значить, 0<m/n<1, отже,
0<Р(A)< 1
Ймовірність будь-якої події задовольняє подвійної нерівності
0 £ Р(A) £ 1
Класичне означення ймовірності придатне лише для експериментів з обмеженим числом рівномірних елементарних подій, тобто коли множина Ώ (простір елементарних подій) обмежена.
Якщо множина Ώ є неперервною і квадровною, то для обчислення ймовірності А (А Ì Ώ) використовується геометрична ймовірність
Якщо множина Ώ вимірюється в лінійних одиницях, то Р (А) дорівнюватиме відношенню довжини, якщо Ώ вимірюється у квадратних одиницях, то Р (А) дорівнюватиме відношенню площ, і т. ін.
Нехай відрізок l становить частину відрізка L. На відрізок L навмання поставлена точка. Це означає виконання наступних припущень: поставлена точка може опинитися в будь-якій точці відрізка L, вірогідність попадання точки на відрізок l пропорційна довжині цього відрізка і не залежить від його розташування відносно відрізка L. У цих припущеннях ймовірність попадання точки на відрізок l визначається рівністю
Р = Довжина l/Довжина L
Приклад 1. Кинуті два гральні кубики. Знайти ймовірність того, що сума очок на випавших гранях – парна, причому на межі хоча б одного з кубиків з'явиться шістка.
Розв’язок. На грані, що випала, першого грального кубика, може з'явитися одне очко, два очка, ... , шість очок. Аналогічні шість елементарних результатів можливі при киданні другого кубика. Кожний з результатів кидання першого кубика може поєднуватися з кожним з результатів кидання другого. Таким чином, загальне число можливих елементарних результатів випробування дорівнює 6 * 6 = 36.
Ці результати утворюють повну групу і в силу симетрії кубиків рівноможливі.
Сприятливою цікавою для нас подією (хоча б на одній грані з'явиться шістка, сума випавших очок – парна) є наступні п'ять результатів (першим записано число очок, що випали на першому кубику, другим – число очок, що випали на другому кубику; далі знайдена сума очок):
1) 6, 2; 6+2 = 8,
2) 6, 4; 6 + 4= 10
3) 6, 6; 6+6=12,
4) 2, 6; 2 + 6=8
5) 4, 6; 4+6=10.
Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа результатів, що сприяють події, до числа всіх можливих елементарних результатів:
Р = 5/36
Приклад 2. Задано множину цілих чисел Ω = {1, 2, …, 30}. Навмання з цієї множини беруть одне число. Яка ймовірність того, що воно виявиться кратним 5 або 7?
Розв’язання. Простір Ω містить n = 30 елементарних подій.
Позначимо через А подію, що полягає в появі числа, кратного 5, а через В у появі числа, кратного 7. Тоді дістанемо:
;
;
Ø
Маємо:
.
Приклад 3. У ящику міститься 13 однакових деталей, серед яких 5 є бракованими, а решта – стандартними. Навмання з ящика беруть чотири деталі. Яка ймовірність того, що всі чотири деталі виявляться стандартними або бракованими?
Розв’язок. Множина Ω містить
способами можна дістати 4 деталі з 13.
Позначимо через А появу чотирьох стандартних деталей. Кількість елементарних подій, що сприяють появі А, тобто з 13 деталей, якщо 5 бракованих, то стандартних залишається всього 8, а з восьми стандартних деталей дістати 4 стандартних деталей можна:
способами.
Позначимо через В появу чотирьох бракованих деталей. Кількість елементарних подій, що сприяють появі В, тобто з п’яти бракованих деталей чотири можна дістати
способами.
Події є несумісними, тоді отримаємо:
.
Приклад 4. На складі є 15 кінескопів, причому 10 з них виготовлені Львівським заводом. Знайти ймовірність того, що серед п'яти взятих навмання кінескопів виявляться три кінескопа Львівського заводу.
Розв’язок. Загальна кількість можливих результатів, тобто, що серед 15 кінескопів взяли навмання 5 дорівнюється С515. Числом результатів сприятливих нашої події (з 5 навмання взятих кінескопів будуть 3 Львівських), тобто 3 кінескопа з 10 львівських можна взяти С310 способами, при цьому інші 2 кінескопа з п’яти не львівські можна взяти С25 способами. Отже сприятливих результатів С310 * С25. шукана ймовірність
Р = (С310 * С25) / С515
Приклад 5. На відрізку ОА довжини L числової осі Ох навмання поставлені дві точки: В(х) і С(у). Знайти ймовірність того, що з трьох одержаних відрізків можна побудувати трикутник.
Розв’язок. Для того щоб з трьох відрізків можна було побудувати трикутник, кожний з відрізків повинен бути менше суми двох інших.
Сума всіх трьох відрізків дорівнює L, тому кожен з відрізків повинен бути менше L/2. Введемо в розгляд прямокутну систему координат хОу. Координати будь-яких двох Введемо в розгляд прямокутну систему координат xOy. Координати будь-яких двох точок В і С повинні задовольняти подвійним нерівностям:
0 <= x <= L; 0 <= y <= L. Цим нерівностям задовольняють координати будь-якої точки M (x; у), що належить квадрату OLDL (рис. а). Таким чином, цей квадрат можна розглядати як фігуру G, координати точок якої представляють всі можливі значення координат точок В і С.
1. Нехай точка С розташована правіше точки В (рис. б). Як зазначено вище, довжини відрізків ОВ, ВС, СА повинні бути менше L/2, тобто повинні мати місце нерівності
х <L/2, у-х <L/2, L-у <L/2, або, що те ж,
x <L/2, у <x + L/2, у> L/2. (1)
2. Нехай точка С розташована лівіше точки В (рис. в). У цьому випадку повинні мати місце нерівності
у <L/2, х-у <L/2, L- х <L/2, або, що те ж,
у <L/2, у> x-L/2, x> L/2. (2)
Як видно з рисунку а, нерівності (1) виконуються для координат точок трикутника EFH, а нерівності (2) – для точок трикутника КHМ. Таким чином, заштриховані трикутники можна розглядати як фігуру g, координати точок якої сприяють нашої події (з трьох відрізків можна побудувати трикутник).
Тоді шукана ймовірність дорівнюється
Р=Пл. g / Пл. G = (Пл. ∆ EFH+ Пл. ∆ KHM) / Пл. OLDL= 1/4.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Первомайський політехнічний коледж... Первомайського політехнічного інституту... Національного університету кораблебудування ім адмірала Макарова...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теоретична частина
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов