рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теоретична частина

Теоретична частина - раздел Философия, Теорія ймовірностей та математична статистика. ПРАКТИКУМ Ймовірністю Події А Називають Відношення Числа Сприят...

Ймовірністю події А називають відношення числа сприятливих цій події результатів до загального числа всіх рівно можливих несумісних елементарних результатів, що утворюють повну групу. Отже, ймовірність події А визначається формулою:

Р(А)=

де m – число елементарних результатів, що сприяють А; п – число вcіx можливих елементарних результатів випробування.

Властивість 1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Дійсно, якщо подія достовірна, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. У цьому випадку т = п,

Р{А) = т/п = п/п= 1.

Властивість 2. Ймовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Дійсно, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів випробування не сприяє події. У цьому випадку m = 0, отже

Р(А) = m/n = 0/n = 0.

Властивість 3. Ймовірність випадкової події є позитивне число, яке знаходиться між нулем і одиницею.

Дійсно, випадковій події сприяє лише частина із загальної кількості елементарних результатів випробування. У цьому випадку 0<m<n, значить, 0<m/n<1, отже,

0<Р(A)< 1

Ймовірність будь-якої події задовольняє подвійної нерівності

0 £ Р(A) £ 1

Класичне означення ймовірності придатне лише для експериментів з обмеженим числом рівномірних елементарних подій, тобто коли множина Ώ (простір елементарних подій) обмежена.

Якщо множина Ώ є неперервною і квадровною, то для обчислення ймовірності А (А Ì Ώ) використовується геометрична ймовірність

Якщо множина Ώ вимірюється в лінійних одиницях, то Р (А) дорівнюватиме відношенню довжини, якщо Ώ вимірюється у квадратних одиницях, то Р (А) дорівнюватиме відношенню площ, і т. ін.

Нехай відрізок l становить частину відрізка L. На відрізок L навмання поставлена точка. Це означає виконання наступних припущень: поставлена ​​точка може опинитися в будь-якій точці відрізка L, вірогідність попадання точки на відрізок l пропорційна довжині цього відрізка і не залежить від його розташування відносно відрізка L. У цих припущеннях ймовірність попадання точки на відрізок l визначається рівністю

 

Р = Довжина l/Довжина L

 

Приклад 1. Кинуті два гральні кубики. Знайти ймовірність того, що сума очок на випавших гранях – парна, причому на межі хоча б одного з кубиків з'явиться шістка.

Розв’язок. На грані, що випала, першого грального кубика, може з'явитися одне очко, два очка, ... , шість очок. Аналогічні шість елементарних результатів можливі при киданні другого кубика. Кожний з результатів кидання першого кубика може поєднуватися з кожним з результатів кидання другого. Таким чином, загальне число можливих елементарних результатів випробування дорівнює 6 * 6 = 36.

Ці результати утворюють повну групу і в силу симетрії кубиків рівноможливі.

Сприятливою цікавою для нас подією (хоча б на одній грані з'явиться шістка, сума випавших очок – парна) є наступні п'ять результатів (першим записано число очок, що випали на першому кубику, другим – число очок, що випали на другому кубику; далі знайдена сума очок):

1) 6, 2; 6+2 = 8,

2) 6, 4; 6 + 4= 10

3) 6, 6; 6+6=12,

4) 2, 6; 2 + 6=8

5) 4, 6; 4+6=10.

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа результатів, що сприяють події, до числа всіх можливих елементарних результатів:

Р = 5/36

Приклад 2. Задано множину цілих чисел Ω = {1, 2, …, 30}. Навмання з цієї множини беруть одне число. Яка ймовірність того, що воно виявиться кратним 5 або 7?

Розв’язання. Простір Ω містить n = 30 елементарних подій.

Позначимо через А подію, що полягає в появі числа, кратного 5, а через В у появі числа, кратного 7. Тоді дістанемо:

;

;

Ø

Маємо:

.

 

Приклад 3. У ящику міститься 13 однакових деталей, серед яких 5 є бракованими, а решта – стандартними. Навмання з ящика беруть чотири деталі. Яка ймовірність того, що всі чотири деталі виявляться стандартними або бракованими?

Розв’язок. Множина Ω містить

способами можна дістати 4 деталі з 13.

Позначимо через А появу чотирьох стандартних деталей. Кількість елементарних подій, що сприяють появі А, тобто з 13 деталей, якщо 5 бракованих, то стандартних залишається всього 8, а з восьми стандартних деталей дістати 4 стандартних деталей можна:

способами.

Позначимо через В появу чотирьох бракованих деталей. Кількість елементарних подій, що сприяють появі В, тобто з п’яти бракованих деталей чотири можна дістати

способами.

Події є несумісними, тоді отримаємо:

.

Приклад 4. На складі є 15 кінескопів, причому 10 з них виготовлені Львівським заводом. Знайти ймовірність того, що серед п'яти взятих навмання кінескопів виявляться три кінескопа Львівського заводу.

Розв’язок. Загальна кількість можливих результатів, тобто, що серед 15 кінескопів взяли навмання 5 дорівнюється С515. Числом результатів сприятливих нашої події (з 5 навмання взятих кінескопів будуть 3 Львівських), тобто 3 кінескопа з 10 львівських можна взяти С310 способами, при цьому інші 2 кінескопа з п’яти не львівські можна взяти С25 способами. Отже сприятливих результатів С310 * С25. шукана ймовірність

Р = (С310 * С25) / С515

Приклад 5. На відрізку ОА довжини L числової осі Ох навмання поставлені дві точки: В(х) і С(у). Знайти ймовірність того, що з трьох одержаних відрізків можна побудувати трикутник.

Розв’язок. Для того щоб з трьох відрізків можна було побудувати трикутник, кожний з відрізків повинен бути менше суми двох інших.

Сума всіх трьох відрізків дорівнює L, тому кожен з відрізків повинен бути менше L/2. Введемо в розгляд прямокутну систему координат хОу. Координати будь-яких двох Введемо в розгляд прямокутну систему координат xOy. Координати будь-яких двох точок В і С повинні задовольняти подвійним нерівностям:

0 <= x <= L; 0 <= y <= L. Цим нерівностям задовольняють координати будь-якої точки M (x; у), що належить квадрату OLDL (рис. а). Таким чином, цей квадрат можна розглядати як фігуру G, координати точок якої представляють всі можливі значення координат точок В і С.

1. Нехай точка С розташована правіше точки В (рис. б). Як зазначено вище, довжини відрізків ОВ, ВС, СА повинні бути менше L/2, тобто повинні мати місце нерівності

х <L/2, у-х <L/2, L-у <L/2, або, що те ж,

x <L/2, у <x + L/2, у> L/2. (1)

2. Нехай точка С розташована лівіше точки В (рис. в). У цьому випадку повинні мати місце нерівності

у <L/2, х-у <L/2, L- х <L/2, або, що те ж,

у <L/2, у> x-L/2, x> L/2. (2)

Як видно з рисунку а, нерівності (1) виконуються для координат точок трикутника EFH, а нерівності (2) – для точок трикутника КHМ. Таким чином, заштриховані трикутники можна розглядати як фігуру g, координати точок якої сприяють нашої події (з трьох відрізків можна побудувати трикутник).

Тоді шукана ймовірність дорівнюється

Р=Пл. g / Пл. G = (Пл. ∆ EFH+ Пл. ∆ KHM) / Пл. OLDL= 1/4.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теорія ймовірностей та математична статистика. ПРАКТИКУМ

Первомайський політехнічний коледж... Первомайського політехнічного інституту... Національного університету кораблебудування ім адмірала Макарова...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теоретична частина

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Теоретична частина
  Математи́чна інду́кція – застосування принципу індукції для доведення теорем в математиці. Зазвичай полягає в доведенні вірності твердження стосовно о

Розв’язок.
Всього – 35 учнів Відвідують математичний гурток – 20 учнів Відвідують фізичний гурток – 11 учнів Не відвідують жодного гуртка – 10 учнів Позначимо через А (учні

Задачі для самостійного рішення
Приклад 1. За допомогою математичної індукції довести твердження: &nbs

Задачі для самостійного рішення
Приклад 1. Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірність таких подій: сума випавших очок дорівнює восьми, а різниця - чотирьом.   Прикла

Домашнє завдання
Приклад 1. Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірності таких подій: А) сума випавших очок дорівнює 5, а добуток 4. Б) сума випавших очок дорівнює 8, а різни

Теоретична частина
Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якого, дорівнює сумі ймовірностей цих подій: Р(А+В)=Р(А)+Р(В

Задачі для самостійного рішення
Приклад 1. У ящику 10 деталей, з яких чотири пофарбовані. Складальник навмання взяв три деталі. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з узятих деталей забарвлена. &n

Домашнє завдання
  Приклад 1. З партії виробів товарознавець відбирає вироби вищого сорту. Ймовірність того, що навмання взятий виріб виявиться вищого гатунку, дорівнює 0,8. Знайт

Теоретична частина
  Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі сталими ймовірностями p і q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі. У кожному експерименті випадкова п

Задачі для самостійного рішення
Приклад 1. Два рівносильних противника грають у шахи. Що імовірніше: а) виграти одну партію з двох або дві партії з чотирьох; б) виграти не менше двох партій з чотирьох або не

Теоретична частина
Локальная теорема Лапласа. Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалеж­них експериментів є величиною сталою і дорівнює

Інтегральна теорема Лапласа
Знову припустимо, що здійснюється n випробувань, у кожному з яких імовірність появи події А постійна і дорівнює р (0<р<1). Як обчислити ймовірність Pn (k1, к2

Задачі для самостійного рішення
Приклад 1. Знайти ймовірність того, що подія А настане рівно 70 разів у 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,25. &nbs

Теоретична частина
Найімовірнішим числом появи випадкової події А в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі називається таке чис­ло к0, для якого ймовірність Р

Закони розподілу.
Випадкова величина Х може набути значень x0=0, x1=1, x2=2, ...xn=n Ймовірності можливих значень xk випадкової величини Х обч

Задачі для самостійного рішення
Приклад 1. Знайти наймовірніше число правильно набитих перфораторщіцей перфокарт серед 19 перфокарт, якщо ймовірність того, що перфокарта набита невірно, дорівнює 0,1.

Домашнє завдання
Приклад 1. Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти число випробувань n, при якому найімовірніше число появ події дорівнює 20. &

Теоретична частина
Математичне сподівання.   Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума добутку всіх її значень на відповідні їм ймовірності:

Дисперсія випадкової величини.
Дисперсією випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення від її математичного сподівання. D(X) = M[X—N(X)]2. Дисперсію зручніше обчислюва

Задачі для самостійного рішення
  Приклад 1. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу: а) X –4 6 10 . б) X 0,21 0,54 0,61 р 0,2

Домашнє завдання
  Приклад 1. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу: а) X 2 4 5 6 б) X 10 15 20 Р 0,3 0,1 0,2 0,4 Р 0,1 0,7 0,2 Знайти

Теоретична частина
Нехай для вивчення кількісного (дискретного або безперервного) ознаки X з генеральної сукупності витягнута вибірка х1, х2,. . . , хk обсягу n. Значення xi

Задачі для самостійного рішення
Приклад 1. Вибірка задана у вигляді розподілу частот: хі 4 7 8 12 ni 5 2 3 10 Знайти розподіл відносних частот.  

Основні формули
    Розміщення без повторень

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги