Реферат Курсовая Конспект
Теоретична частина - раздел Философия, Теорія ймовірностей та математична статистика. ПРАКТИКУМ Теорема Додавання Ймовірностей Несумісних Подій. Ймовірн...
|
Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якого, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільної появи:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Умовною ймовірністю РА(В) називають ймовірність події В, обчислену в припущенні, що подія А вже настала.
Теорема множення ймовірностей.Ймовірність сумісної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену в припущенні, що перша подія вже настала:
Р (АВ)= Р(А)*РА (В)
Для незалежних подій теорема має вигляд:
Р(АВ) = Р(А)Р(В)
Сума ймовірностей подій А1, А2, ... Аn, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці:
Р(А1)+Р(А2)+…+Р(А n)=1
Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:
Р(А)+Р()=1
Ймовірність появи хоча би однієї події.Імовірність появи хоча б однієї з подій А1, А2, ... Аn незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком, ймовірностей протилежних подій А1,А2,…Аn
Р(А)=1–q1q2… qn
Приватний випадок. Якщо А1, А2, ... Аn мають однакову ймовірність, рівну р, то ймовірність появи хоча б однієї з цих поді
Р (А) = 1 – qn.
Формула повної ймовірності.Ймовірність події А, яка може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій B1, B2, ..., Вn, що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутку ймовірностей кожного з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:
Р (А) = Р (В1) PBl (А) + Р (В2) PB2 (A) + ... ... + Р(Вn)РВn(А)
Формула Бейєса:
Приклад 1. На стелажі бібліотеки в випадковому порядку розставлено 15 підручників, причому п'ять з них у палітурці. Бібліотекар бере навмання три підручника. Знайти ймовірність того, що хоча б один з взятих підручників опиниться в палітурці (подія А).
Розв’язок. Перший спосіб. Вимога – хоча б один з трьох узятих підручників у палітурці – буде здійснено, якщо відбудеться будь-яке з наступних трьох несумісних подій: В – один підручник в палітурці, С – два підручника в палітурці, D – три підручника в палітурці.
Подія А, яка нас цікавить можна представити у вигляді суми подій:
А = B + C + D
За теоремою додавання:
Р (А)=Р (В)+Р(С)+Р(D)
Знайдемо ймовірності подій В, С и D:
Загальну кількість підручників, що можна взяти з 15 можна C153 способами. Подія В це, коли один підручник в палітурці з 5 за умовою, можна взяти С51 способами, залишається з трьох взятих два підручника, не відомо яких з 10 без палітурці можна взяти С102 способами, тоді ймовірність події В дорівнює відношенню добутку:
Р (В)=С51*С102/C153 = 45/91,
Подія С – два підручника в палітурці, тоді взяти два підручника в палітурці з 5 можна С52 способами, тоді один підручник, що залишився може бути без палітурці з 10, то його можна взяти С101 способами. Тоді шукана ймовірність дорівнює:
Р (С) = С52*С101/C153 = 20/91,
Відповідно ймовірність події D дорівнюється:
P(D) = C53/C153 = 2/91,
Підставимо дані у формулу теореми додавання та отримаємо шукану ймовірність:
Р (А) = 45/91+20/91+2/9 1 ==67/91.
Другий спосіб. Події А (хоча б один з взятих трьох підручників має обкладинку) і (жоден з узятих підручників не має палітурки) – протилежні, тому Р (А) + Р () = 1 (сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює одиниці).
Звідси Р (А) = 1 - Р ().
Ймовірність появи події А (жоден з узятих підручників не має палітурки)
Р(А)=С103/С153=24/91
.
Шукана ймовірність
Р(А)=1-24/91=67/91.
Приклад 2. Ймовірності появи кожного з двох незалежних подій A1 і А2 відповідно рівні р1, і р2. Знайти ймовірність появи тільки одного з цих подій.
Розв’язок.Введемо позначення подій:
B1 – з'явилося тільки подія A1;
В2 – з'явилося тільки подія 2.
Поява події B1 рівносильне появі події A1 2. (з'явилося перша подія і не з'явилося друга), тобто:
В1= А1 2.
Поява події В2 рівносильне появі події А1 2 (з'явилося друга подія і не з'явилося перша), тобто
В2=А1 2.
Таким чином. щоб знайти ймовірність появи тільки однієї з подій А1 і 2 досить знайти ймовірність появи одного, байдуже якого, з подій В1 і В2. Події B1 і В2 несумісні, тому слід застосувати теорему додавання:
Р(В1+В2)=Р(В1)+Р(В2)
Залишається знайти ймовірність кожної з подій B1 і B2. Події A1 и 2 незалежні, отже, незалежні й події A1 и 2, тому застосовують теорему множення:
Р (В1) = Р(А12)=Р(А1)*Р(2)=p1*q2,
Р (B2)=Р(А12)=Р(A1)Р(2)=p2*q1
Підставив ці ймовірності у відношення знайдемо шукану ймовірність появи тільки однієї з подій А1 и 2:
P(В1+В2) = p1*q2+ p2*q1.
Приклад 3. Ймовірність одного влучення в ціль при одному пострілі з двох знарядь дорівнює 0,38. Знайти ймовірність ураження цілі при одному пострілі першим із знарядь, якщо відомо, що для другої гармати ця ймовірність дорівнює 0,8.
Розв’язок.Нехай В1 подія пострілу в ціль першого знаряддя, тоді ймовірність його попадання в ціль Р(В1), В2 подія попадання в ціль другого знаряддя, тоді його ймовірність попадання в ціль Р(В2). В даній задачі відомо, що ймовірність одного влучення в ціль при одному пострілі з двох знарядь, тобто Р(В1+В2)=0,38.
Ймовірність попадання в ціль другим знаряддям – р2=0,8; q2=0,2 (друге знаряддя не попало в ціль)
Тоді ймовірність попадання в ціль першим знаряддям і не влученням другого дорівнюється:
Р(В1)=р1q2
Ймовірність влучення другим знаряддям в ціль і не влучення першим дорівнюється:
Р(В2)=p2q1
Підставимо в відношення:
Р(В1+В2)=р1q2+p2q1
Та складемо рівняння,з якого й знайдемо ймовірність влучення в ціль першим знаряддям.
0,38=0,2р1+0,8(1-р1)
0,38-0,8=0,2р1-0,8р1
0,6р1=0,42
р1=0,7
Приклад 4. У читальному залі є шість підручників з теорії ймовірностей, з яких три в палітурці. Бібліотекар навмання взяв два підручника. Знайти ймовірність того, що обидва підручники опиняться в палітурці.
Розв’язок.Введемо позначення подій: А – перший взятий підручник має палітурку, В – другий підручник має палітурку. Ймовірність того, що перший підручник має палітурку:
Р (А) = 3/6 = 1/2.
Ймовірність того що другий підручник має палітурку, за умови, що перший взятий підручник був у палітурці, тобто умовна ймовірність події В, така:
РА (В) = 2/5.
Шукана ймовірність того, що обидва підручники мають палітурку, за теоремою множення ймовірностей подій дорівнює:
Р (АВ)=Р (А) РА(В) = ½*2/5 = 0,2.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Первомайський політехнічний коледж... Первомайського політехнічного інституту... Національного університету кораблебудування ім адмірала Макарова...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теоретична частина
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов