Способы перевода в двоичный код: http://videouroki.net/view_post.php?id=165

Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1).

Конкретизируем описанный выше способ в случае перевода чисел из десятичной системы в двоичную. Целая и дробная части переводятся порознь. Для перевода целой части (или просто целого) числа необходимо разделить ее на основание системы счисления и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. Значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число.

Например:

 

Остаток

25 : 2 = 12 (1),

12 : 2 = 6 (0),

6 : 2 = 3 (0),

3 : 2 = 1 (1),

1 : 2 = 0 (1).

 

Таким образом : 25(₁₀)=11001(₂).

 

Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной {периодической) двоичной. Например:

 

0,73 • 2 = 1,46 (целая часть 1),

0,46 • 2 = 0,92 (целая часть 0 ),

0,92 • 2 = 1,84 (целая часть 1),

0,84 • 2 = 1,68 (целая часть 1) и т.д.

 

В итоге

 

0,73(₁₀) =0,1011...(₂).

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно; производить различные арифметические операции. Так, для сложения и умножения двоичных чисел необходимо использовать табл. 1.5.

Таблица 2.2. Таблицы сложения и умножения в двоичной системе

 

+				*

 

 

Заметим, что при двоичном сложении 1 + 1 возникает перенос единицы в старший разряд - точь-в-точь как в десятичной арифметике:

 

Пример: Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:
а) 464₍₁₀₎; б) 380,1875₍₁₀₎; в) 115,94₍₁₀₎ (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

Решение.

464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94

232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88

116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76

58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52

а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04

14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08

7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16

3 | 1 2 | 0

1 | 1 1 | 1

а) 464₍₁₀₎ = 111010000₍₂₎; б) 380,1875₍₁₀₎ = 101111100,0011₍₂₎; в) 115,94₍₁₀₎ » 1110011,11110₍₂₎ (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен).

ВОСЬМЕРИЧНАЯ И ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

С точки зрения изучения принципов представления и обработки информации в компьютере, обсуждаемые в этом пункте системы представляют большой интерес.

Хотя компьютер «знает» только двоичную систему счисления, часто с целью уменьшения количества записываемых на бумаге или вводимых с клавиатуры компьютера знаков бывает удобнее пользоваться восьмеричными или шестнадцатиричными числами, тем более что, как будет показано далее, процедура взаимного перевода чисел из каждой из этих систем в двоичную очень проста - гораздо проще переводов между любой из этих трех систем и десятичной.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную производится (по аналогии с двоичной системой счисления) с помощью делений и умножений на 8. Например, переведем число 58,32(₁₀):

 

58 : 8 = 7 (2 в остатке),

7 : 8 = 0 (7 в остатке).

0,32 • 8 = 2,56,

0,56 • 8 = 4,48,

0,48-8=3,84,...

Таким образом, 58,32(₁₀) =72,243... (₈) (из конечной дроби в одной системе может получиться бесконечная дробь в другой).

 

Перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную производится аналогично.

С практической точки зрения представляет интерес процедура взаимного преобразования двоичных, восьмеричных и шестнадцатиричных чисел. Для этого воспользуемся табл. 1.6 чисел от 0 до 15 (в десятичной системе счисления), представленных в других системах счисления.

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное необходимо разбить его справа налево на группы по 3 цифры , а затем каждой группе поставить в соответствие ее восьмеричный эквивалент. Например:

11011001= 11011001, т.е. 11011001(₂) =331(₈).

Заметим, что группу из трех двоичных цифр часто называют «двоичнойтриадой».

Перевод целого двоичного числа в шестнадцатиричное производится путем разбиения данного числа на группы по 4 цифры - «двоичныететрады»:

1100011011001 = 1 1000 1101 1001, т.е. 1100011011001(₂)= 18D9(₁₆).

Для перевода дробных частей двоичных чисел в восьмеричную или шестнадцатиричную системы аналогичное разбиение на триады или тетрады производится от точки вправо (с дополнением недостающих последних цифр нулями):

0,1100011101(₂) =0,110 001 110 100 = 0,6164(₈),

0,1100011101(₂) = 0,1100 0111 0100 = 0,C74(₁₆).

Перевод восьмеричных (шестнадцатиричных) чисел в двоичные производится обратным путем - сопоставлением каждому знаку числа соответствующей тройки (четверки) двоичных цифр.

Таблица 2.3 Соответствие чисел в различных системах счисления

 

Десятичная	Шестнадцатиричная	Восьмеричная	Двоичная
	А
	В		L011
	С
	D
	E
	F

 

Преобразования чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатиричную системы и наоборот столь просты (по сравнению с операциями между этими тремя системами и привычной нам десятичной) потому, что числа 8 и 16 являются целыми степенями числа 2. Этой простотой и объясняется популярность восьмеричной и шестнадцатиричной систем в вычислительной технике и программировании. Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 2³). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах.

P

 

P

 

P

A

B

C

D

E

F

 

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения.

Пример:

1. Сложить числа:
а) 10000000100₍₂₎ + 111000010₍₂₎ = 10111000110₍₂₎.
б) 223,2₍₈₎ + 427,54₍₈₎ = 652,74₍₈₎.
в) 3B3,6₍₁₆₎ + 38B,4₍₁₆₎ = 73E,A₍₁₆₎.

10000000100 223,2 3B3,6

+ 111000010 + 427,54 +38B,4

------------ ------- -----

10111000110 652,74 73E,A

2. Выполнить вычитание:
а) 1100000011,011₍₂₎ - 101010111,1₍₂₎ = 110101011,111₍₂₎.
б) 1510,2₍₈₎ - 1230,54₍₈₎ = 257,44₍₈₎.
в) 27D,D8₍₁₆₎ - 191,2₍₁₆₎ = EC,B8₍₁₆₎.

1100000011,011 1510,2 27D,D8

- 101010111,1 -1230,54 -191,2

-------------- ------- ------

110101011,111 257,44 EC,B8

3. Выполнить умножение:
а) 100111₍₂₎ ´ 1000111₍₂₎ = 101011010001₍₂₎.
б) 1170,64₍₈₎ ´ 46,3₍₈₎ = 57334,134₍₈₎.
в) 61,A₍₁₆₎ ´ 40,D₍₁₆₎ = 18B7,52₍₁₆₎.

100111 1170,64 61,A

*1000111 * 46,3 *40,D

------------- -------------- ----------

100111 355 234 4F 52

+ 100111 + 7324 70 + 1868

100111 47432 0 ----------

100111 ------------- 18B7,52

------------- 57334,134

 

Арифметические действия с числами в шестнадцатиричной системе счисления выполняются по аналогии с двоичной и десятичной системами. Для этого необходимо воспользоваться соответствующими таблицами.

Рассмотрим еще один возможный способ перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую - метод вычитания степеней. В этом случае из числа последовательно вычитается максимально допустимая степень требуемого основания, умноженная на максимально возможный коэффициент, меньший основания; этот коэффициент и является значащей цифрой числа в новой системе. Например, число 114(₁₀):

114 - 2⁶ = 114 – 64 = 50,

50 - 2⁵ = 50 – 32 = 18,

18 - 2⁴ = 2,

2 - 2¹ = 0.

Таким образом, 114(₁₀) = 1110010(₂).

 

114 – 1 ∙ 8² = 114 – 64 = 50,

50 – 6 ∙ 8¹ = 50 – 48 = 2,

2 – 2 ∙ 8° = 2 – 2 = 0.

Итак, 114(₁₀)= 162(₈).