Гамма - распределение.

 

Определение 1. Случайная величина Т имеет гамма – распределение , если ее функция распределения

, (1)

где – неполная гамма – функция (см. §6), – параметры распределения; .

Замечание.

. Таким образом, – (2)

функция плотности вероятностей,

– (3)

функция надежности,

– (4)

функция интенсивности отказов.

Из формулы (2) видно, что для и , следовательно, распределение совпадает с .

 

 

 

Рис.1 Графики для распределения Г(5;1/300).

 

 

 

Рис.2 Графики для распределения Г(1/2;1/3000).

 

Найдем еще

.

Таким образом . (5)

(по формуле (3) § 6)

.

Таким образом

. (6)

Большой интерес представляет случай, когда в распределении параметр – натуральное число , .

Определение 2. Пусть , тогда распределение называется распределением Эрланга порядка k.

Замечание.Так как , то из формулы (3) следует:

=–

 

.

И далее, если проводить интегрирование по частям еще (k-2) раз, то получим

. (7)

Случайная величина Т, распределенная по закону Эрланга возникает при рассмотрении модели накапливающихся повреждений: если через случайные интервалы времени в системе возникают единичные повреждения, вызванные потоком случайных событий, и при накоплении k повреждений система отказывает. Тогда, если время между наступлением 2-х последовательных событий потока распределено по показательному закону , то Т – время наработки системы на отказ распределена по закону .

Действительно, верна теорема:

Теорема 1. Пусть время между наступлением 2-х соседних событий потока (время между 2-мя единичными повреждениями) распределено по закону . Тогда случайная величина Y – число событий потока за время t (число случайных повреждений системы) распределено по закону Пуассона , т.е. .

Подробнее о потоках случайных событий см. § 14.

Из теоремы 1 следует, что для рассмотренной выше СВ Т – времени жизни системы, функция надежности

,

что совпадает с формулой (7).

Замечание.Для системы рассмотренной выше последовательность моментов времени наступления единичных повреждений можно представить в виде:

- время наработки системы на отказ, причем T_i независимы и имеют распределение , .

Пример 1.Время жизни изделия Т распределено по закону , причем час. Найти показатели надежности изделия через 4000 час.