Реферат Курсовая Конспект
Замечание. . - раздел Философия, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ Теорема 1 (Теорема Пуассона).Пусть Св Х Распределена По Зако...
|
Теорема 1 (теорема Пуассона).Пусть СВ Х распределена по закону Бернулли с параметром р. Пусть , так что , тогда
. (10)
Замечание. Из теоремы 1 следует, что распределение Пуассона – предельный случай биномиального распределения при . Если n – велико, а р мало, то вместо формулы (8) для распределения B(n, p) используют формулу (9), где .
Пример 2.Радиоэлектронная система (РЭС) состоит из 200 узлов. Вероятность отказа каждого из них за время t равна 0,005. Найти 1) среднее число отказавших за время t узлов; 2) вероятность того, что за время t откажет менее 3-х узлов; 3) вероятность отказа хотя бы одного узла за время t.
Решение. Пусть СВ Х – число отказавших за время t узлов. Тогда
1) .
2) ; где . Поэтому .
3) .
Определение 4. Непрерывная СВ Т называется распределенной по нормальному закону , если ее функция плотности вероятностей
. (11)
Замечание. ;
; (12)
где – интегральная функция Лапласа:
. (13)
При этом – функция распределения СВ Х.
Если число испытаний n для СВ Х, распределенной по закону Бернулли B(n, p) велико, то используют приближенную формулу:
, (14)
где р – вероятность успеха в одном испытании, – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем .
Пример 3. Пусть СВ Т задает момент времени выхода из строя производимой детали; - равна вероятности того, что деталь откажет на промежутке . Предположим, что Т распределена по закону ; .
1) Найти вероятность того, что деталь проработает безотказно не менее 1250 час.
2) Вероятность того, что наработка на отказ будет находится в интервале .
3) Вероятность того, что безотказно проработав до 1250 ч, деталь безотказно проработает и до 1750 ч.
Решение. 1) Искомая вероятность равна вероятности того, что Т примет значение из промежутка .
.
2) По формуле (12):
.
3) Необходимо вычислить условную вероятность . Пусть событие А: Т > 1750, событие B: T > 1250. Тогда по формуле (2) § 1:
=
.
Замечание.СВ Т из примера 3 называется временем жизни или временем наработки на отказ.
Определение 5.Непрерывная СВ Х называется распределенной по экспоненциальному закону , если ее функция плотности вероятностей
(15)
где - параметр распределения.
Замечание. (16)
.
Пример 4.Время Т наработки элемента на отказ распределено по экспоненциальному закону . Найти вероятность безотказной работы элемента за 500 часов.
Решение..
Замечание. СВ Т в примерах 3 и 4 – время жизни элемента – непрерывна. Поэтому в примерах и всюду в дальнейшем : .
Пример 5. Вероятность безотказной работы изделия в течение 60 часов равна 0,9. Предполагается, что время жизни элемента распределено по экспоненциальному закону. Найти условную плотность вероятности того, что изделие откажет в момент времени t, при условии, что до этого изделие работало безотказно.
Решение. СВ Т – время жизни элемента; .
,
.
. Пусть .
Тогда
.
Тогда .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Замечание. .
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов