ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ однофазного ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Переменным током называется ток, периодически меняющийся по величине и направлению: I₀(t) = I₀(t + кT).

Такой режим может быть описан синусоидальный законом изменения, как тока, так и напряжения:

,

где– амплитуда; – начальная фаза; – угловая скорость вращения ротора генератора.

При f = 50 Гц и 0,02 с w » 314 pад/c.

График синусоидальной функции называется волновой диаграммой (рис.6).

 

 

При расчете электрических цепей синусоидальную функцию выражают по формуле Эйлера через экспоненциальные функции:

; ;

где .

Тогда

,

где ; – поворотный множитель;

– комплексная амплитуда напряжения;

– сопряженная комплексная амплитуда напряжения.

Таким образом, синусоидальное напряжение можно представить на комплексной плоскости вращающимся вектором. Тогда амплитудное значение напряжения U_m будет представлять собой модуль или длину вектора напряжения (рис.7).

Так как в цепи с синусоидальным напряжением ток тоже будет подчиняться этому закону, то аналогично можно записать

где комплексная амплитуда тока; сопряженная комплексная амплитуда тока.

Разделив напряжение на ток, получим закон Ома в комплексном виде:

.

При напряжение на сопротивлении согласно закону Ома .

u,i

Таким образом, следует отметить, что на активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе и y_u –y_i = j = 0 (рис.8).

 

Среднее значение напряжения:

.

Действующие значения тока и напряжения:

; .

Приборы электромагнитной системы, применяемые для измерений напряжений и токов на переменном токе, регистрируют действующие значения. Соответственно градуируются и шкалы этих приборов.

Ток, протекающий через индуктивность L (рис.9), меняется по закону синуса .

Напряжение на индуктивности определяется выражением

,

где ; – модуль индуктивного

сопротивления цепи переменного тока.

	u,i

 

 

В идеальной индуктивности ток отстает от напряжения на 90°:

-= .

Если напряжение на емкости меняется по закону синуса (рис.10) , то

;

; ; .

 

	Рис.10. Кривые напряжения и тока в емкостном сопротивлении

В идеальной емкости ток опережает напряжение на 90°,

-= .

Режим – состояние электрической цепи переменного тока, которое описывается дифференциальными уравнениями, представляющими собой уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью, например

.

Из курса высшей математики известно, что общее решение такого уравнения может быть найдено методом наложения принужденного и свободного режимов:

,

,

где – ток принужденного режима при и U(t) = U₀; – ток свободного режима.

Свободные процессы исследуются с целью определения устойчивости системы. В устойчивой системе процессы должны затухать. Принужденный и свободный процессы в сумме определяют процессы, которые называются переходными, т.е. осуществляется переход от одного установившегося режима к другому.

При установившемся режиме ток и напряжение сохраняют в течение длительного времени амплитудные значения.

В цепях постоянного тока токи и напряжения остаются неизменными, а в цепях переменного тока остаются неизменными кривые изменения токов и напряжений.

 

1.5.Мощность цепи переменного тока

В периодическом синусоидальном режиме

.

Используя известное тригонометрическое преобразование

и обозначив , получим

.

Среднее за период значение гармонической функции удвоенной частоты равно нулю. Отсюда получаем, что мощность в цепи переменного тока не зависит от времени и определяется ее средним значением

,

где cosj – энергетическое значение коэффициента мощности,

; .

При заданных Р и U ток является функцией cosj. Потери мощности на сопротивлении DР = I²R.

В цепи с резистором j = 0 кривые тока и напряжения показаны на рис.11, а кривая мощности на рис.12.

 

 

 

Мгновенное значение мощности для цепи с резистором:

;

.

Действующее значение мощности:

.

 

Активная мощность в цепи с идеальной катушкой индуктивности равна 0. Реактивная мощность определяется выражением Q = U_LI = I²X_L.

Аналогичные выкладки можно проделать для цепи с идеальным конденсатором: P = 0, Q = -U_сI = -I²X_с.

 

ВЫВОДЫ

Приведены свойства пассивных элементов на переменном токе. Рассмотрены изменения их электрических параметров: тока, напряжения и мощности.