Пример . Методом непосредственного применения законов Кирхгофа рассчитать токи в схеме на рис.
Число ветвей обозначим m, а число узлов n. Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Поскольку в каждой ветви протекает свой ток, то число токов, которое следует определить, а следовательно, и число уравнений, которое нужно составить, равно m. По первому закону Кирхгофа составляем n-1 уравнений. Недостающие m-(n-1) уравнений следует составить по второму закону Кирхгофа для взаимно независимых контуров.
Рис. 2.20. Схема замещения сложной электрической
цепи с несколькими источниками энергии:
I, II, III – номера контуров
1. Проводим топологический анализ.
Она содержит пять ветвей и три узла, m = 5, n = 3. Составляем два уравнения по первому закону Кирхгофу, т. к. n – 1 = 2 (например, для узлов а и б).
2. Составляем уравнения по певому и второму законам Кирхгофа
Для узла "а" - I1 - I2 + I4 = 0.
Для узла "б" - I1 + I2 - I3 - I5 = 0.
Остальные m - (n - 1) = 3 уравнения составляем по второму закону Кирхгофа.
Для контура I - R1·I1 - R2·I2 = - E1 + E2.
Для контура II - R2·I2 + R3·I3 + R4·I4 = - E2 - E3.
Для контура III - - R3·I3 + R5·I5 = E3.
Решив систему, состоящую из пяти уравнений, находим пять неизвестных токов. Если какие-либо значения токов оказались отрицательными, то это означает, что действительные направления этих токов противоположны первоначально выбранным.
При расчётах сложных цепей с использованием ЭВМ удобна матричная форма записи. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, запишем в виде
- I1 - I2 + 0 + I4 + 0 = 0
I1 + I2 - I3 + 0 - I5 = 0
R1·I1 - R2·I2 + 0 + 0 + 0 = - E1 + E2
0 + R2·I2 + R3·I3 + R4·I4 + 0 = - E2 - E3
0 + 0 + - R3·I3 + 0 + R5·I5 = E3.
В матричной форме
или [R]·[I] = [Е],
где [R] – квадратная (5 х 5) матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных токах в исходных уравнениях;
[I] – матрица - столбец неизвестных токов;
[E] – матрица - столбец, элементами которой могут быть алгебраическая сумма ЭДС.
Решение матричного уравнения ищут в виде
[I] = [R]-1·[E],
где [R]-1 – матрица, обратная матрице [R].
Рассмотренный метод расчета неудобен, если в цепи имеется большое количество узлов и контуров, поскольку потребуется решать громоздкую систему уравнений. В таких случаях рекомендуется применять метод контурных токов, позволяющий значительно сократить число расчетных уравнений 2.