Решение

Определяем комплексные сопротивления параллельных ветвей. Сопротивление первой ветви

Z₁ = R₁ + jX_L,

где

X_L = jωL = 2πfL = 6,28∙50∙0,1 = 31,4 Ом;

Z₁ = 30 + j31,4 Ом.

Комплексное сопротивление второй ветви

Z₂ = R₂ – jX_С;

Z₂ = 20 – j63,7 Ом.

Находим комплексные значения токов в ветвях

I = I₁ + I₂ = 1,6 – j1,64 + 0,45 + j1,43 = 2,05 – j0,21 A.

Действующие значения

Для определения показания вольтметра составляем уравнение согласно второго закона Кирхгофа для контура б, в, г, д, б. Произвольно выбираем направление обходе контура, показанное на рис. 3.12, а стрелкой

0 = U_бв + R₂I₂ – R₁I₁;

1.. U_бв = R₂I₂ – R₁I₁ = 20·(0,45 + j1,43) – 30(1,6 – j1,64) =

= 9 + j28,6 – 48 + j49,2 = - 39 + j77,8;

U_бв = 39 – j77,8 В.

Вольтметр покажет действующее значение напряжения U_бв

Ваттметр измеряет мощность, потребляемую активной нагрузкой (R₁ и R₂).

Известно, что

Р = U·I·cosφ.

В этом выражении неизвестным является cosφ, где φ угол сдвига между напряжением U и током I. Определить угол φ (или cosφ) можно разными путями. Например, cosφ можно найти из выражения для общего тока, учитывая, что начальная фаза напряжения равна нулю. Для этого обратимся к комплексному значению общего тока

I = 2,05 – j0,21 A,

где I_R = 2,05 – активная составляющая тока (проекция комплексного вектора полного тока на ось действительных чисел);

I_X = - j0,21 – реактивная составляющая тока (проекция комплексного вектора полного тока на ось мнимых чисел).

Тогда

где I = 2,06 А – действующее значение общего тока.

Показание ваттметра

Р = 100∙2,06∙0,995 = 205 Вт.

Составим баланс мощностей.

Полная мощность, поступающая от источника

где P_И = 205 Вт; Q_И = 21 Вар.

Мощности приёмников

S_П = Р_П + jQ_П = 205 + j21,34 ВА.

Результаты расчётов показывают, что баланс мощности сходится, т. е. токи найдены правильно.

Векторную диаграмму строим на комплексной плоскости, рис. 3.12, б. Выбираем масштабы тока и напряжения: (Масштаб выбирается с таким расчётом, чтобы векторная диаграмма занимала примерно половину страницы). Откладываем вектор напряжения совпадающий с осью +1. Затем откладываем вычисленные значения токов I₁, I₂, I. Действительные значения – на оси +1, мнимые значения – на оси +j.