Тема 6. Роль измерений в создании систем

Эксперимент модель. Понятие эксперимента и измерения. Измерительные шкалы: шкалы наименований, порядковые шкалы, модифицированные порядковые шкалы, шкалы интервалов, шкалы разностей, шкалы отношений, циклические шкалы, абсолютные шкалы.

Нечеткость и расплывчатость в описании ситуации. Основные понятия теории нечетких множеств. Понятие случайной неопределенности. Природа случайности. Вероятностное описание ситуации. Статистические измерения. Регистрация экспериментальных данных и ее связь с последующей их обработкой.

	Современное понимание измерений

 

 

Рис. 6.1.

Рассмотрим алгоритмы измерения, которые различным состояниям объекта ставят в соответствие разные обозначения, а неразличимым состояниям – одинаковые обозначения, что означает – состояния объекта и их обозначения удовлетворяют следующим аксиомам тождества:

1°. Либо А = В, либо А ¹ В.

2°. Если А = В, то В = А.

3°. Если А = В и В = С, то А = С.

 

4°. Если А > В, то В < А.

5°. Если А > В и В > С, то А > С.

 

4¢. Либо А £ В, либо А ³ В.

5¢. Если А ³ В и В ³ С, то А ³ С.

 

6°. Если А = Р и В > 0, то А + В > Р.

7°. А + В = В + А.

8°. Если А = Р и В = Q, то А + В = Р + Q.

9°. (А + В) + С = А + (В + С).

 

К числу шкал, единственных с точностью до линейных преобразований, относятся шкалы интервалов (у = ах + b, а > 0 и в произвольных) и шкала отношений (у = ах, а > 0 – преобразование растяжения). Рассмотрим шкалы, инвариантные сдвигу у = х + b. Повторно применяя сдвиг к у (z = у + b = х + 2b), затем к z и т.д. обнаруживаем, что в такой шкале значение не меняется при любом числе сдвигов: у = х + nb, n = 0, 1, 2, … . Постоянная b является характерным параметром шкалы и называется ее периодом. Полученная шкала называется шкала разностей(периодической, циклической) – частный случай интервальных шкал. В таких шкалах измеряется направление из одной точки (шкала компаса, роза ветров и т.д.), время суток (циферблат), фаза колебаний (в градусах или радианах).

Таблица 6.1

Название шкалы	Определяющие отношения	Эквивалентное преобразование шкал	Допустимые операции над данными (первичная обработка)	Вторичная обработка данных
Номинальная	Эквивалентность	Перестановка наименований	Вычисление символа Кронекера dij	Вычисление относительных частот и операций над ними
Порядковая	Эквивалентность; предпочтение	Не изменяющее порядка (монотонное)	Вычисление dij и рангов Ri	Вычисление относительных частот и выборочных квантилей, операций над ними
Интервальная	Эквивалентность; предпочтение; сохранение отношения интервалов	Линейное преобразование у = ах + b, а>, b Î R	Вычисление dij, рангов Ri и интервалов (разностей между наблюдениями)	Арифметические действия над интервалами
Циклическая	Эквивалентность; предпочтение; сохранение отношения интервалов; периодичность	Сдвиг у = х + nb, B = const, N = 0,1,2, …	То же, что и для интервальной шкалы	То же, что и для интервальной шкалы
Отношений	Эквивалентность; предпочтение; сохранение отношения интервалов; сохранение отношения двух значений	Растяжение у = ах, а > 0	Все арифметические операции	Любая подходящая обработка
Абсолютная	Эквивалентность; предпочтение; сохранение отношения интервалов; сохранение отношения двух значений; абсолютная и безразмерная единица; абсолютный нуль	Шкала уникальна	Все арифметические операции; использование в качестве показателя степени, основания и аргумента логарифма	Любая необходимая обработка

 

 

Рис. 6.2.

ПОНЯТИЕ РАСПЛЫВЧАТОСТИ

В действительности встречаются (и гораздо чаще, чем кажется) слу­чаи, когда тождество или различие двух состояний и/или наблюдений нельзя утверждать с полной уверенностью. Наиболее явно это видно на примере шкал, в которых классы обозначаются конструкциями естест­венного языка. "В комнату вошел высокий молодой человек" - класс, к которому принадлежит человек, назван (т.е. измерение состоялось), но какого он роста и сколько ему лет? "В руках он держал довольно тяжелый сверток" - какого веса была его ноша? Если разобраться, то почти каждое наше слово обозначает некоторое не вполне определен­ное множество. («Почти» - какой процент? "Наше" - чье именно? "Не­которое" — какое же? "Не вполне" - насколько? "Определенное" - кем и как" и т.д.) Это свойство естественного языка, природное и не­отъемлемое, безусловно, полезное (иначе бы оно не закрепилось в процессе развития языка), но приводящее к затруднениям, когда со­провождающая его неопределенность мешает. Древние логики диску­тировали вопрос о том, сколько песчинок должно быть собрано вместе, чтобы получилась куча песка; сегодня мы просто говорим, что слово "куча" - это лишь метка нечетко определенного множества. Спор о том, сколько песчинок в "куче", эквивалентен спору о том, в каком возрас­те человек становится "старым" или сколько волосинок должно у него выпасть, чтобы он был "лысым".

Эта неопределенность смысла языковых, конструкций является од­ной из основных трудностей автоматизации анализа и синтеза речи, авто­матического (и не только автоматического) перевода с одного языка на другой. Например, одному английскому предложению, состоящему из пяти слов, можно дать пять разных (!) смысловых интерпретаций:

TIME FLIES LIKE AN ARROW ВРЕМЯ ЛЕТИТ СТРЕЛОЙ

ВРЕМЯ ЛЕТИТ В НАПРАВЛЕНИИ СТРЕЛЫ МУХАМ

ВРЕМЕНИ НРАВИТСЯ СТРЕЛА*

ИЗМЕРЯЙ СКОРОСТЬ МУХ ТАК ЖЕ, КАК СКОРОСТЬ СТРЕЛЫ** ИЗМЕРЯЙ

СКОРОСТЬ МУХ, ПОХОЖИХ НА СТРЕЛУ

Неизвестно, действительный ли это факт или научно-фольклорная история, основанная на потенциальной возможности, но в литературе по автоматизации перевода приводится рассказ о кольцевой работе прог­рамм, переводящих с одного языка на другой: фраза "плоть слаба, а дух силен" после нескольких переводов превратилась в "мясо тухлое, но водка крепкая".

Все сказанное выше мотивирует введение понятия лингвистической переменной как переменной, значение которой расплывчато по своей природе, как метки размытого, расплывчатого множества. Хотя теория размытых множеств, построенная Л. Задэ, прекрасно иллюстрируется языковыми примерами и имеет интересные приложения в области ис­кусственного интеллекта, размытость оказывается свойством не только естественного языка. Например, в математике с успехом применяются понятия "значительно больше" (символ >) и "приблизительно равно" (символ ~ или = ), являющиеся типично расплывчатыми.

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАСПЛЫВЧАТЫХ МНОЖЕСТВ

Изложим основные понятия теории расплывчатых множеств.

Расплывчатое множество А состоит из неопределенного числа эле­ментов х: признаки, по которым элементы включаются в расплывчатое множество, не позволяют однозначно отделить все элементы, входящие в него, от элементов, ему не принадлежащих; по крайней мере некото­рые элементы можно считать как" относящимися к множеству, так и не входящими в него.

Важным является понятие функции принадлежности m_A(х). Счи­тается, что для каждого элемента х можно задать число m_A(х), О < m_A (х) < 1, выражающее степень принадлежности этого элемента к расплывчатому множеству А. Если m_A(х) = 0, то элемент х определенно не принадлежит множеству А, если m_A(х) = 1 - определенно входит в него. Величина m_A(х), рассматриваемая как функция аргумента х, и называется функцией принадлежности. Если m_A (х) принимает значе­ния только либо 0, либо 1, то множество А является нерасплывчатым (например, множеству А чисел, не превосходящих 5, соответствует функция m_A (х) = {1 : х<=5; 0:х ³ 5}). Характерным признаком рас­плывчатости множества является наличие хотя бы одного элемента с функцией принадлежности, отличной от 0 и 1 (например, множество R⁺ положительных чисел становится размытым, если положить m_R ⁺(0) ⁼ 1/2, так как есть основания считать нуль "отчасти положи­тельным, а в чем-то отрицательным" числом).

Итак, расплывчатое множество А в X опре­деляется как совокупность упорядоченных пар вида: А={x, m_A (x)}, xÎ X.

Расплывчатость — это такое свойство явлений, при котором не выполняется отношение эквивалентности: явление одновременно может принадлежать данному классу и не принадлежать ему. Неопределенность такого типа описывается с помощью функции принадлежности; значение этой функции выражает степень уверенности, с которой мы относим данный объект к указанному классу. Сам класс в итоге становится не определяемым однозначно и называется расплывчатым множеством.

Пустое расплывчатое множество 0 опреде­ляется как такое, для которого m_Æ (х) = 0.

Иногда удобно использовать понятие носи­теля S(A) расплывчатого множества А, кото­рый определяется как такое множество, для которого

[xÎ S(A) Í X] « [m_A (x) > 0]. Расплывчатое множество А называется номинальным тогда и только тогда, когда sup_хm_A(х) = 1, противном случае - субнор­мальным. Непустое субнормальное множество можно нормализовать, разделив m_A(х) на sup_хm_A(х). В связи с возможностью субнор­мальности следует дополнить определение не­расплывчатого множества случаем, когда m_A(х)= const < 1 для всех х Î S(A).

Равенство двух расплывчатых множеств А и В определяется условием (A = B) «(m_A(х) = m_B(х)) " xÎ X.

Включение расплывчатого множества А в множество В определяется следующим обра­зом: (A Í B) «(m_A(х) =m_B(х)) " xÎ X.

Например, множество очень больших чи­сел является подмножеством больших чисел.

Расплывчатое множество А' называется до­полнением к расплывчатому множеству А тог­да и только тогда, когда m_A^’(х) = 1 - m_A(х). Например, множества "высокие люди" и "не­высокие люди" могут быть как дополнитель­ными друг к другу, если их функции принад­лежности в сумме тождественно равны едини­це, так и не являться дополнительными при другом задании этих функций.

Пересечение размытых множеств А и В определяется соотношением А Ç В « m_AÇB (х) = min [m_A(х), m_B(х)] , х Î X.

Объединением размытых множеств А и В называется расплывча­тое множество A È В, удовлетворяющее условию

A È В «m_AÈ_B (х) = min [m_A(х), m_B(х)] , х Î X.

В некоторых приложениях удобно определить такие составные мно­жества, которые соответствуют конкретным арифметическим операциям над функциями принадлежности составляющих множеств.

Так, алгебраическое произведение расплывчатых множеств А и В обозначается через АВ и определяется равенством

m_AB(х) = m_A(х)* m_B(х), х Î X.

алгебраическая сумма А Å В соответствует равенству

m_AÅ _B(х) = m_A(х) + m_B(х)- m_A(х)* m_B(х), х Î X.

 

Говорят, что имеет место расплывчатое отношение R между элемен­тами х и у множеств X и У, если множество пар (х, у), удовлетворяю­щих этому отношению xRy, образует расплывчатое множество в X*Y, т.е. можно задать m_R(х, у) — функцию принадлежности (х, у) к R.

Например, пусть отношение R есть х>у;

m_R(х, у) ={0: x £ y; [1 + (х - у)^-2 ]^-1 _: х > у}.

Пусть С — расплывчатое множество в пространстве X* Y с функцией принадлежности m_R(х, у). Множество С называется разложимым по X и У в том и только в том случае, если С допускает представление С = А Ç В, или, что то же самое,

m_R(х, у) =min[m_A(х),m_B(х)].

Мы привели основные (не все) понятия, с помощью которых строится теория размытых множеств и решаются соответствующие задачи. Цель данного параграфа - дать представление о том, как можно построить математическую модель наблюдений, не удовлетворяющих аксиомам тождества. Иными словами, каждая измерительная шкала может быть "размыта". Для размытия шкал наименований и порядка достаточно тех понятий, которые приведены выше; количественные шкалы требуют некоторых дополнительных определений.

' Самым "узким" местом теории (и практики) размытых множеств является задание функций принадлежности. Существует несколько подходов к определению функции m_A(х):

1) эвристический подход, когда субъект сам определяет, как он понимает степень принадлежности (например, числа и к множеству "несколько") ; функции, задаваемые разными людьми для одного множества, могут различаться, что отражает разницу в понимании рас­плывчатого термина;

2) статистический подход, при котором m_A(х) определяется усред­нением функций, задаваемых разными экспертами;

3) частичное задание m_A(х) поясняющими примерами (например, для нескольких значений х) и последующее доопределение всей функции подходящим методом;

4) интервальное определение типа задания пессимистической и опти­мистической границ для функции m_A(х);

5) кратная расплывчатость, т.е. задание m_A(х) как размытого мно­жества с помощью функции принадлежности второго порядка m_A²(х) (m_A(х)).

Подведем итог.

Расплывчатость является специфическим видом неопределенности. Ее главная осо­бенность состоит в том, что в результа­те наблюдения конкретизируется лишь сам наблюдаемый объект, а неопреде­ленность его принадлежности к рас­плывчатому множеству, известная за­ранее, сохраняется. Это описывается с помощью функции принадлежности. Дру­гие особенности расплывчатыхситуаций моделируются аксиомами теории рас­плывчатых множеств.

 

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ СИТУАЦИЙ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Говоря о наблюдениях над изучаемым объектом и о фиксации результа­тов этих наблюдений (измерений), а именно это является основной те­мой данной главы, еще раз напомним, что сама необходимость обраще­ния к эксперименту вытекает из того, что нужно устранить некоторую неопределенность, свойственную нашим знаниям об объекте до прове­дения этого эксперимента. В некоторых случаях эксперимент устраняет неопределенность полностью (как при бросании монеты или контроль­ном замере уровня масла в двигателе); в других случаях неопределен­ность лишь уменьшается до некоторого предела, относительного (т.е. в принципе преодолимого) или абсолютного (неуменьшаемого). Ясно, что и организация эксперимента и обработка экспериментальных дан­ных, определяющие степень уменьшения неопределенности, должны исходить из природы, существа, причины неопределенности.

 

ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Оказывается, что неопределенность бывает разного происхождения. Один из ее видов - неизвестность - рассматривается теорией познания и философией; такого типа неопределенность характеризует ситуацию, когда мы задаемся вопросом "есть ли жизнь на Марсе?" (посадка со­ветской автоматической станции на эту планету уменьшила неопределен­ность, но не сняла ее совсем) или "существуют ли внеземные цивили­зации?" (поиск возможных искусственных радиосигналов, пока, к сожа­лению, безуспешен). Другой вид неопределенности - расплывчатость - был обсужден в предыдущем параграфе; для нее характерно, что экспе­римент в принципе не снимает ее полностью. Третий вид неопределеннос­ти - случайность - мы кратко рассмотрим сейчас; при этом будем исхо­дить из того, что читателю знакомы элементы теории вероятностей.

 

Говоря о случайных явлениях, прежде всего обращают внимание на их непредсказуемость, противопоставляют случайность детерминированности, хаотичность — упорядоченности. Имеющее определенный смысл, та­кое противопоставление является односторонним, так как оставляет в тени тот факт, что под случайностью понимается вид неопределенности, подчиняющийся строгой закономерности, которая выражается распре­делением вероятностей. Зная распределение (например, плотность p(xf) вероятностей, можно ответить на любой вопрос о случайной величине: в каком интервале находятся ее возможные значения (определим носитель распределения X - множество элементов х, для которых р(х) > 0); около какого значения рассеиваются ее реализующие значения (найдем параметр положения распределения, например среднее, моду или медиа­ну); насколько сильно разбросаны эти значения (найдем масштабный параметр - дисперсию или стандартное отклонение, средний модуль раз­ности, энтропию); какова связь между разными реализациями (вычис­лим заданную меру зависимости) и т.д.

 

Выбор расплывчатой ситуации.

Правила выбора в расплывчатой ситуации, естественно, являются различными в зависимости от того, что именно расплывчато в этой ситуации. Задача выбора решается просто и изящно, если критериальные функции отождествляются с функциями принадлежности.

Однако на практике встречаются и другие задачи; например, расплывчатым может быть любой параметр, расплывчатым может быть любой параметр критериальной функции, которая сама не является функцией принадлежности.

При таком изложении задачи выбора на­прашивается идея о том, чтобы вообще функ­цию принадлежности i-му условию интерпре­тировать как i-й критерий качества и вернуть­ся к многокритериальным задачам. Интересны исследования в этом направле­нии, сделанные Эстером. Он рассмотрел суперкритерий вида

m

Z_p(x) = {S g_i [m_i(x)]^p}^1|p

i=1

m

где 0 < g_i < 1, S gi = 1; т - число размытых условий;

i=1

m_i(x) - функция принадлежности i-му условию; р - параметр суперкритерия. Представление интересно не только нали­чием свойств, облегчающих математическое рассмотрение задачи (например, монотонность и непрерывность по всем компонентам), но из тем, что оно охватывает широкий класс частных суперкритериев. Так, при р ® ¥ получается оператор нахождения минималйй|| го элемента из заданной совокупности, при р = 0 — оператор умножения, при р = 1 — оператор сложения, при р ® +¥ — оператор нахождения макси­мального элемента. Итак, задача нахождения наилучшей альтернативы X* сводится к максимизации Z_p(x):

х_g* = arg max Z_p(x). (4)

xÎX

Очевидно, что при этом решение зависит от конкретного набора коэф­фициентов g = {gj}/ Обозначим через Е(р) множество {х_g*}, соответ­ствующее разным g при фиксированном р. Эстер обнаружил инте­ресные свойства множеств Е(р): для всех -¥ <p₁ £ p₂ < ¥ справедливо включение Е(р₂) Í E(p₁) Í РМ, где РМ — паретовское множество.

 

Функции принадлежности вообще находить непросто, а при использовании изложенного подхода, кроме того, требуется, чтобы они еще имели и смысл критериальных фунций в задаче выбора. Это может оказаться и неудобным, и бессмысленным. С.А. Орловский предложил не изменять содержательного смысла критериев ка­чества альтернатив и не отождествлять критериальные функции с принадлежностными, а отразить в модели расплывчатость шкал, в которых эти критерии фиксируются (если такая расплывчатость имеет место).

 

Пред­полагается, что критериальные функции q_i(x) относятся к параметри­ческим семействам, т.е. qi(x) = Jj(x, q), и считается, что расплывчатость критериальных функций сводится к расплывчатости в описании пара­метров q: Q = {q, m_Q (q)}. Теперь для каждой альтернативы х значе­ние критерия J_i(x,q), принадлежит размытому множеству, функция m_i (Ji(x)) принадлежности к которому зависит от х и от конкретного вида функций J_i(x,q), m_Q (q). Носитель этого множества может быть как ограничен сверху величиной J°(x), так и не ограничен. Если естествен­ного ограничения снизу нет, то его можно ввести искусственно, задав некоторый уровень a (0 <а < 1) для функции принадлежности и взяв в качестве j_i^o(x) наименьший корень уравнения m_i (Ji(x)) = а. В резуль­тате величины J^o₁(x), ..., J^o_m(x) можно рассматривать как новые критериальные функции, и мы возвращаемся к стан­дартной многокритериальной задаче, которую можно решать любым из стандартных методов (. Орловский, в частности, предлагает находить паретовское множество альтернатив.

 

Заканчивая обзор расплывчатых вариантов критериальных задач выбора, рассмотрим еще задачи, связанные с использованием расстояний между точками в пространстве альтернатив. При расплывчатом описании альтернатив предлагается "расстояние" определять через модули раз­ностей функций принадлежности, например

m

D(x_i, x_j) = (1m S |μ γ (xi) - μ γ(xj)|^p)^1/p

γ =1

где μγ(x) — функция принадлежности по γ-му признаку к интересующему
нас множеству. Такие расстояния используются в задачах классификации.

 

НЕКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ РАСПЛЫВЧАТОГО ВЫБОРА

Некоторые успехи имеются и в рассмотрении расплывчатых вариан­тов выбора, описываемого на языке бинарных отношений. Во-первых, сделано расплывчатое обобщение отношения предпочтения. Размытое отношение R слабого порядка определяется ка* удовлетворяющее размытым условиям связности и транзитивности:

Xi ¹ Xj Þ m_R (xi, xj)>0 или m_R (xj, xi)>0 (связанность)

m_R (xj, xk) = ma[ { min[m_R (xj, xi), m_R (xj, xk)} (транзитивность) .

m_R (xj, xi)>0 Þ m_R (xi, xj)>0 (асимметрия) ,

то такое упорядочение называется сильным.

Во-вторых, Л. Задэ показал, что любое расплывчатое отношение R допускает разложение по о в виде объединения не размыты: множеств R_a с функциями принадлежности

m_R (xi, xj) = { a при (xi, xj) Î R_a; 0 при (xi, xj) ÏR_a

где 0 < а < 1

 

Это, например, позволяет перейти от расплывчатого описания коллективного упорядочения альтернатив к нерасплывчатому множеству альтернатив, отобранных "со степенью согласия на уровне.

0 других классах задач выбора кратко можно сказать следующее Расплывчатой версии языка глобальных функций множеств пока не создано.

 

Начато исследование различий и аналогий между статистической и размытой неопределенностями. Некоторые особенности, возникающие при одновременном наличии обеих неопределенностей, рассмотрены. Не углубляясь в детали (так как для этого понадо­билось бы использовать достаточно сложные построения, связанные с понятием случайных множеств), отметим, что в целом идеи теории расплывчатых множеств привлекают все больший интерес, поскольку в этой модели удалось отразить многие особенности языковых моде­лей и действий человека на их основе.

 

Ряд ситуаций выбора характеризуется расплывчатой неопределенностью. Рассмотрено несколько различных вариантов таких ситуаций; функции принадлежности в них имеют разный смысл (либо сами служат критериями, либо описывают размытость некоторого параметра критериальной функции). Естественно, это приводит к разным алгоритмам выбора.

 

 

 

Рис. 6.3.

 

 

Рис. 6.4

 

 

Рис. 6.5

 

 

Рис. 6.6.

 

 

		Особенности протоколов наблюдений
	Большая размерность. Во многих исследованиях числа объектов N и признаков n велики и произведение n´N достигает нескольких десятичных порядков. Учет времени приводит к еще большему увеличению размерности блока данных. Применение ЭВМ существенно расширяет количественные возможности обработки данных, но «проклятие размерности» характерно и здесь
		Разнотипность данных. Разные признаки могут измеряться в различных шкалах. Многие алгоритмы построены для обработки однотипных переменных, что вызывает необходимость приводить разнотипные данные к одной шкале. Более правильной стратегией является разработка специальных алгоритмов, способных обрабатывать разнотипные данные, не внося в протокол изменений, не связанных с экспериментом.
	Зашумленность. Часто измерение, занесенное в протокол, отличается от измеряемого значения на некоторую случайную величину. Статистические свойства этой добавочной помехи могут не зависеть от измеряемой величины (аддитивный шум) или зависеть (неаддитивная помеха). Все эти варианты должны по-разному учитываться при обработке.
		Пропущенные значения. Не всегда удается заполнить все ячейки таблицы данных особенно в естественных, а не лабораторных условиях. Исключение из таблицы стоки и столбца с пустой ячейкой бывает неприемлемо. Критерий «восстановления» и цель обработки данных должны быть согласованы (нет универсального способа «восстановления» пропусков). Перспективно конструирование алгоритмов обработки, позволяющих использовать таблицы с пробелами без их предварительного заполнения

 

 

«восстановления»

 

 

Искажения, отклонение от предположений. Приступая к обработке протокола наблюдений всегда исходят из определенных предположений о природе величин, занесенных в протокол. Любой способ обработки дает результаты ожидаемого качества только в случае, если данные отвечают определенным предположениям. К сожалению, не всегда на это обращают внимание.

 

 

Рис. 6.7.