Додавання коливань. Загасаючі коливання

1 Амплітуда результуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами, що відбуваються за однією прямою, визначається за формулою

 

,

 

де A₁ і A₂ - амплітуди складових коливань.

2 Початкову фазу результуючого коливання можна знайти із формули

.

 

3 Частота биття, що виникає при додаванні двох коливань, які відбуваються за однією прямою з різними, але близькими за значенням частотами v₁ і v₂ ,

 

.

 

4 Рівняння траєкторії точки, яка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з амплітудами A₁ і A₂ і початковими фазами ₁ і ₂,

 

.

 

Якщо початкові фази j₁ і складових коливань однакові, тобто їх різниця фаз дорівнює нулю, результуючий рух точки відбувається по прямій, що проходить через початок координат

.

 

Якщо різниця фаз коливань =дорівнює нулю рівняння траєкторії набуває вигляду

 

,

 

тобто точка рухається по еліпсу, зведеному до координатних осей, у напрямі за годинниковою стрілкою або проти неї. Якщо , еліпс вироджується в коло.

5 Диференціальне рівняння загасаючих коливань

 

, або ,

 

де r - коефіцієнт опору; - коефіцієнт загасання (); - власна циклічна частота коливань ().

6 Рівняння загасаючих коливань (розв’язання диференціального рівняння)

 

,

 

де A(t) - амплітуда загасаючих коливань в момент t; - їх циклічна частота.

7 Циклічна частота загасаючих коливань

 

.

 

8 Залежність амплітуди загасаючих коливань від часу

 

,

де A₀ - амплітуда коливань у момент t = 0 .

9 Логарифмічний декремент коливань

 

,

 

де A(t) і A(t+T) - амплітуди двох послідовних коливань, віддалених за часом одне від одного на період.

10 Диференціальне рівняння вимушених коливань

 

, або ,

 

де - зовнішня періодична сила, яка діє на матеріальну точку, що коливається, і викликає вимушені коливання; F₀ - її амплітудне значення; .

11 Амплітуда вимушених коливань

 

.

 

12 Резонансна частота і резонансна амплітуда

 

і .