Изменения численности с учетом конкуренции – модель Ферхюльста

Исследуемая система: существует борьба между особями, например за место обитания, что прибавляет в модель дополнительный источник гибели за счет конкуренции между особями.

Считая, что скорость гибели за счет конкуренции между особями пропорциональна вероятности встреч двух особей, можно записать
S = - d x - s x (d - коэффициент пропорциональности).

Уравнение баланса численности особей:

dx/dt = g x - s x - d x²

или dx/dt = e x - s x²

Решение

X (t) = e x₀ / ( e - d x 0 ) e ^{- e t} + s x₀

Стационарное значение x_ст = e / d

x

 

x_{ст =} e / d

x₀

 

t

Рис. П-2. Изменение численности популяции

Данная модель представляется более реалистичной, и численность особей (пассионариев) со временем выходит на стационарный уровень.

Модель «хищник-жертва» (Вольтерра)

Исследуемая система: в некотором пространстве живут 2 вида особей: зайцы (жертвы) и рыси (хищники).

Зайцы питаются растительной пищей, которой достаточно и между ними отсутствует внутривидовая борьба. Рыси могут питаться только зайцами. (Несколько напоминает современный Народ и его Элиту.)

Уравнение баланса:

Жертвы:	x – число жертв в момент t
dx/dt	=	g x	- s x	- a x y
		Скорость размножения	Скорость естественной гибели	Скорость гибели за счет встречи с хищником
Хищники:	y - число хищников в момент времени t
dy/dt	=	g x y	- b y
		Скорость размножения	Скорость естественной гибели

Опуская выкладки, которые можно найти в первоисточнике, приводим значимые в контексте исследования результаты.

Численность популяции испытывает гармонические колебания относительно стационарных значений с частотой v = (e b) ¹²

Y

Y_ct

 

 

X ct Х

Рис. П-3. Фазовый портрет системы
при малых отклонениях численности популяции.