Реферат Курсовая Конспект
Метод Зейделя - раздел Философия, Математическая модель. Решение нелинейных уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений Модификацией Метода Простых Итераций Якоби Можно Считать Метод Зейделя. ...
|
Модификацией метода простых итераций Якоби можно считать метод Зейделя.
В методе Якоби на (k+1)-ой итерации значения x, i = 1, 2, …, n. вычисляются подстановкой в правую часть (3.27) вычисленных на предыдущей итерации значений x. В методе Зейделя при вычислении xиспользуются значения x, x, x, уже найденные на (k+1)-ой итерации, а не x, x, …, x, как в методе Якоби, т.е. (k + 1)-е приближение строится следующим образом:
x = b12 x + b13 x + … + b1,n-1 x + b1n x + c1
x = b21 x + b23 x + … + b2,n-1 x + b2n x + c2
x= b31 x + b32 x + … + b3,n-1 x + b3n x + c3 (3.36)
x= bn1 x + bn2 x x + bn3 x x+ … + bn,n-1 x + c.n
Формулы (3.36) являются расчетными формулами метода Зейделя.
Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы:
0 0 0 … 0 0 b12 b13 … b1n
b21 0 0 … 0 0 0 b23 … b2n
B1 = b31 b32 0 … 0 и B2 = 0 0 0 … b3n .
bn1 bn2 bn3 …0 0 0 0 … 0
Матричная запись расчетных формул (3.36) имеет вид:
xk+1= B1xk+1+ B2xk+ c. (3.37)
Так как B = B1+ B2, точное решение x* исходной системы удовлетворяет равенству:
x*= B1x*+ B2x*+ c. (3.38)
Сходимость метода Зейделя. Достаточным условием сходимости метода Зейделя является выполнение неравенства:
= max |bij|,< 1, i, j = 1, 2, …, n. (3.39)
Неравенство (3.39) означает, что для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы максимальный по модулю элемент матрицы B был меньше единицы.
Если выполнено условие (3.39), то справедлива следующая апостериорная оценка погрешности:
max|x - x| max|x- x| i = 1, 2, …, n, (3.40)
где - максимальный элемент матрицы B, 2 - максимальный элемент матрицы B2.
Правую часть оценки (3.40) легко вычислить после нахождения очередного приближения.
Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , то в силу (3.37) итерационный процесс следует закончить как только на (k+1)-ом шаге выполнится неравенство:
max|x- x| < , i = 1, 2, …, n. (3.41)
Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство
max|x- x| < 1, i = 1, 2, …, n. (3.42)
где 1 = .
Если выполняется условие , то можно пользоваться более простым критерием окончания:
max|x- x| < , i = 1, 2, …, n. (3.43)
Метод Зейделя как правило сходится быстрее, чем метод Якоби. Однако возможны ситуации, когда метод Якоби сходится, а метод Зейделя сходится медленнее или вообще расходится.
Пример 3.6.
Применим метод Зейделя для решения системы уравнений (3.33) из примера 3.5. Первые шаги полностью совпадают с процедурой решения по методу Якоби, а именно: система приводится к виду (3.34), затем в качестве начального приближения выбираются элементы столбца свободных членов (3.35). Проведем теперь итерации методом Зейделя.
При k = 1
x = - 0.0574x - 0.1005x - 0.0431x + 1.0383 = 0.7512
При вычислении xиспользуем уже полученное значение x:
x = -0.0566 x - 0.0708x - 0.1179x + 1.2953 = 0.9674
При вычислении x используем уже полученные значения x и x:
x = -0.1061 x - 0.0758 x - 0.0657x + 1.4525 = 1.1977
При вычислении x используем уже полученные значения x, x, x:
x = -0.0280 x - 0.0779 x - 0.0405x x + 1.5489 = 1.4037
Аналогичным образом проведем вычисления при k = 2 и k = 3. Получим:
при k = 2
x= 0.8019, x= 0.9996, x= 1.9996, x= 1.4000.
при k = 3
x= 0.80006, x= 1.00002, x= 1.19999, x= 1.40000.
Известны точные значения переменных:
x1 = 0.8, x2 = 1.0, x3 = 1.2, x4 = 1.4.
Сравнение с примером 3.5 показывает, что метод Зейделя сходится быстрее и дает более точный результат.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Погрешность математической модели связана с ее приближенным описанием реального объекта Например если при моделировании экономической системы не... Исходные данные... Исходные данные как правило содержат погрешности так как они либо неточно измерены либо являются результатом...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод Зейделя
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов