Модификацией метода простых итераций Якоби можно считать метод Зейделя.
В методе Якоби на (k+1)-ой итерации значения x, i = 1, 2, …, n. вычисляются подстановкой в правую часть (3.27) вычисленных на предыдущей итерации значений x. В методе Зейделя при вычислении xиспользуются значения x, x, x, уже найденные на (k+1)-ой итерации, а не x, x, …, x, как в методе Якоби, т.е. (k + 1)-е приближение строится следующим образом:
x = b12 x + b13 x + … + b1,n-1 x + b1n x + c1
x = b21 x + b23 x + … + b2,n-1 x + b2n x + c2
x= b31 x + b32 x + … + b3,n-1 x + b3n x + c3 (3.36)
x= bn1 x + bn2 x x + bn3 x x+ … + bn,n-1 x + c.n
Формулы (3.36) являются расчетными формулами метода Зейделя.
Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы:
0 0 0 … 0 0 b12 b13 … b1n
b21 0 0 … 0 0 0 b23 … b2n
B1 = b31 b32 0 … 0 и B2 = 0 0 0 … b3n .
bn1 bn2 bn3 …0 0 0 0 … 0
Матричная запись расчетных формул (3.36) имеет вид:
xk+1= B1xk+1+ B2xk+ c. (3.37)
Так как B = B1+ B2, точное решение x* исходной системы удовлетворяет равенству:
x*= B1x*+ B2x*+ c. (3.38)
Сходимость метода Зейделя. Достаточным условием сходимости метода Зейделя является выполнение неравенства:
= max |bij|,< 1, i, j = 1, 2, …, n. (3.39)
Неравенство (3.39) означает, что для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы максимальный по модулю элемент матрицы B был меньше единицы.
Если выполнено условие (3.39), то справедлива следующая апостериорная оценка погрешности:
max|x - x| max|x- x| i = 1, 2, …, n, (3.40)
где - максимальный элемент матрицы B, 2 - максимальный элемент матрицы B2.
Правую часть оценки (3.40) легко вычислить после нахождения очередного приближения.
Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , то в силу (3.37) итерационный процесс следует закончить как только на (k+1)-ом шаге выполнится неравенство:
max|x- x| < , i = 1, 2, …, n. (3.41)
Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство
max|x- x| < 1, i = 1, 2, …, n. (3.42)
где 1 = .
Если выполняется условие , то можно пользоваться более простым критерием окончания:
max|x- x| < , i = 1, 2, …, n. (3.43)
Метод Зейделя как правило сходится быстрее, чем метод Якоби. Однако возможны ситуации, когда метод Якоби сходится, а метод Зейделя сходится медленнее или вообще расходится.
Пример 3.6.
Применим метод Зейделя для решения системы уравнений (3.33) из примера 3.5. Первые шаги полностью совпадают с процедурой решения по методу Якоби, а именно: система приводится к виду (3.34), затем в качестве начального приближения выбираются элементы столбца свободных членов (3.35). Проведем теперь итерации методом Зейделя.
При k = 1
x = - 0.0574x - 0.1005x - 0.0431x + 1.0383 = 0.7512
При вычислении xиспользуем уже полученное значение x:
x = -0.0566 x - 0.0708x - 0.1179x + 1.2953 = 0.9674
При вычислении x используем уже полученные значения x и x:
x = -0.1061 x - 0.0758 x - 0.0657x + 1.4525 = 1.1977
При вычислении x используем уже полученные значения x, x, x:
x = -0.0280 x - 0.0779 x - 0.0405x x + 1.5489 = 1.4037
Аналогичным образом проведем вычисления при k = 2 и k = 3. Получим:
при k = 2
x= 0.8019, x= 0.9996, x= 1.9996, x= 1.4000.
при k = 3
x= 0.80006, x= 1.00002, x= 1.19999, x= 1.40000.
Известны точные значения переменных:
x1 = 0.8, x2 = 1.0, x3 = 1.2, x4 = 1.4.
Сравнение с примером 3.5 показывает, что метод Зейделя сходится быстрее и дает более точный результат.