Пусть функция y = f(x) определена в окрестности точки a и имеет в этой окрестности n + 1 производную. Тогда в этой окрестности справедлива формула Тейлора:
f(x) = c0 + c1(x - a) + c2(x - a)2 + … + cn(x - a )n + Rn(x) = Tn(x) + Rn(x),
где
ck =
Tn(x) - многочлен Тейлора:
Tn(x)= c0 + c1(x - a) + c2(x - a)2 + … + cn(x - a )n, (4.1)
Rn(x) - остаточный член формулы Тейлора. Его можно записать различными способами, например, в форме Лагранжа:
Rn(x)= , a x.
Многочлен Тейлора (4.1) обладает свойством, что в точке x = a все его производные до порядка n включительно совпадают с соответствующими производными функции f, т. е.
T(a)= f(k)(a), k = 0, 1, …, n.
В этом легко убедиться, дифференцируя Tn(x). Благодаря этому свойству многочлен Тейлора хорошо приближает функцию f в окрестности точки a. Погрешность приближения составляет
|f(x) - Tn(x)| = |Rn(x)|,
т. е. задавая некоторую точность > 0, можно определить окрестность точки a и значение n из условия:
|Rn(x)| = < . (4.2)
Пример 4.1.
Найдем приближение функции y = sinx многочленом Тейлора в окрестности точки a = 0. Воспользуемся известным выражением для k-ой производной функции sinx:
(sinx)(k) = sin x + k (4.3)
Применяя последовательно формулу (4.3), получим:
f(0) = sin0 = 0;
f (0) = cos(0) = 1;
f"(0) = -sin0 = 0;
f(2k-1)(0) = sin (2k - 1) = (-1)k - 1 ;
f(2k)(0) = 0;
f(2k+1)() = (-1)kcos.
Следовательно, многочлен Тейлора для функции y = sinx для n = 2k имеет вид:
sinx = x - + … + (-1)k - 1 + R2k(x),
R2k(x) = (-1)k .
Зададим = 10 -4 и отрезок [-,]. Определим n =2k из неравенства:
|R2k(x)| = < < < = 10-4.
Таким образом, на отрезке -, функция y = sinx с точностью до = 10-4 равна многочлену 5-ой степени:
sinx = x - + = x - 0.1667x3 + 0.0083x5.
Пример 4.2.
Найдем приближение функции y = ex многочленом Тейлора на отрезке [0, 1] с точностью = 10 -5.
Выберем a = ?, т. е в середине отрезка. При этом величина погрешности в левой части (4.2) принимает минимальное значение. Из математического анализа известно, что для k-ой производной от ex справедливо равенство:
(ex)(k) = ex.
Поэтому
(ea)(k) = ea = e1/2,
Следовательно, многочлен Тейлора для функции y = ex имеет вид:
ex = e1/2 + e1/2(x - ?) + (x - ?)2 + … + (x - ?)n+ Rn(x),
При этом, учитывая, что x [0, 1], получим оценку погрешности:
|Rn(x)| < . (4.4)
Составим таблицу погрешностей, вычисленных по формуле (4.4):
| n | ||||||
| Rn | 0.057 | 0.0071 | 0.00071 | 0.000059 | 0.0000043 | |
Таким образом, следует взять n = 6.