Рассмотрим другой подход к приближению функции многочленами. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a, b] и известны значения этой функции в некоторой системе узлов xi [a, b], i = 0, 1, … , n. Например, эти значения получены в эксперименте при наблюдении некоторой величины в определенных точках или в определенные моменты времени x0, x1, … , xn. Обозначим эти значения следующим образом: yi = f(xi), i = 0, 1, … , n. Требуется найти такой многочлен P(x) степени m,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + amxm, (4.5)
который бы в узлах xi, i = 0, 1, … , n принимал те же значения, что и исходная функция y = f(x), т. е.
P(xi) = yi, i = 0, 1, … , n. (4.6)
Многочлен (4.5), удовлетворяющий условию (4.6), называется интерполяционным многочленом.
Другими словами, ставится задача построения функции y = P(x), график которой проходит через заданные точки (xi, yi), i = 0, 1, … , n (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Объединяя (4.5) и (4.6), получим:
a0 + a1xi + a2x + … + amx = yi, i = 0, 1, … , n. (4.7)
В искомом многочлене P(x) неизвестными являются m +1 коэффициент a0 , a1, a2, …, am. Поэтому систему (4.7) можно рассматривать как систему из n +1 уравнений с m +1 неизвестными. Известно, что для существования единственного решения такой системы необходимо , чтобы выполнялось условие: m = n. Таким образом, систему (4.7) можно переписать в развернутом виде:
a0 + a1 x0 + a2x + … + anx = y0
a0 + a1 x1 + a2x + … + anx = y1
a0 + a1 x2 + a2x + … + anx = y2 (4.8)
.
a0 + a1 xn + a2x + … + anx = yn
Вопрос о существовании и единственности интерполяционного многочлена решает следующая теорема:
Теорема 4.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени n, удовлетворяющий условиям (4.6).
Имеются различные формы записи интерполяционного многочлена. Широко распространенной формой записи является многочлен Лагранжа
Ln(x) = = . (4.9)
В частности, для линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу получим следующие интерполяционные многочлены:
L1(x) = y0+ y1,
L2(x) = y0+ y1+ y2.
Пример 4.3.
Построим интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим данным:
| x | |||||
| y | |||||
Степень многочлена Лагранжа для n +1 узла равна n. Для нашего примера многочлен Лагранжа имеет третью степень. В соответствии с (4.9)
L3(x) = 1+3 + 2 + 5 = 1 + x - x2 + x3.
Пример 4.4.
Рассмотрим пример использования интерполяционного многочлена Лагранжа для вычисления значения заданной функции в промежуточной точке. Эта задача возникает, например, когда заданы табличные значения функции с крупным шагом, а требуется составить таблицу значений с маленьким шагом.
Для функции y = sinx известны следующие данные.
| x | /6 | /3 | /2 | ||
| y | ? | ||||
Вычислим y(0.25).
Найдем многочлен Лагранжа третьей степени:
L3(x) = 0 + +
+ 1.
При x = 0.25 получим y(0.25) = sin 0.25 0.249.
Погрешность интерполяции. Пусть интерполяционный многочлен Лагранжа построен для известной функции f(x). Необходимо выяснить, насколько этот многочлен близок к функции в точках отрезка [a, b], отличных от узлов. Погрешность интерполяции равна |f(x) - Pn(x)|. Оценку погрешности можно получить на основании следующей теоремы.
Теорема 4.2. Пусть функция f(x) дифференцируема n +1 раз на отрезке [a, b], содержащем узлы интерполяции xi [a, b], i = 0, 1, … , n. Тогда для погрешности интерполяции в точке x [a, b] справедлива оценка:
|f(x) - Ln(x)| |n+1(x)|, (4.10)
где
Mn+1 = |f(n+1)(x)|,
n+1(x) = (x - x0)(x - x1)…. (x - xn).
Для максимальной погрешности интерполяции на всем отрезке [a, b] справедлива оценка:
|f(x) - Ln(x)| |n(x)| (4.11)
Пример 4.5.
Оценим погрешность приближения функции f(x) = в точке x = 116 и на всем отрезке [a, b], где a = 100, b = 144, с помощью интерполяционного много члена Лагранжа L2(x) второй степени, построенного с узлами x0 = 100, x2 = 144.
Найдем первую, вторую и третью производные функции f(x):
f (x)= x - 1/2, f "(x)= - x -3/2, f(x)= x -5/2.
M3 = | f(x)| = 100 -5/2 = 10 -5.
В соответствии с (4.9) получим оценку погрешности в точке x = 116:
| - L2(116)| |(116 - 100)(116 - 121)(116 - 144)| = 10 -516528 = 1.410 - 3.
Оценим погрешность приближения функции f(x) = на всем отрезке в соответствии с (4.11):
| - L2(x)| |(x - 100)(x - 121)(x -144)| 2.510-3.