Далеко не все интегралы можно вычислить по известной из математического анализа формуле Ньютона - Лейбница:
I == F(b) - F(a), (5.1)
где F(x) - первообразная функции f(x). Например, в элементарных функциях не выражается интеграл . Но даже в тех случаях, когда удается выразить первообразную функцию F(x) через элементарные функции, она может оказаться очень сложной для вычислений. Кроме того, точное значение интеграла по формуле (5.1) нельзя получить, если функция f(x) задается таблицей. В этих случаях обращаются к методам численного интегрирования.
Суть численного интегрирования заключается в том, что подынтегральную функцию f(x) заменяют другой приближенной функцией, так, чтобы, во-первых, она была близка к f(x) и, во вторых, интеграл от нее легко вычислялся. Например, можно заменить подынтегральную функцию интерполяционным многочленом. Широко используют квадратурные формулы:
, (5.2)
где xi - некоторые точки на отрезке [a, b],называемые узлами квадратурной формулы, Ai - числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы, n 0 - целое число.