Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f(x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим образом. Из точек a = x0, x1, x2,…, xn = b проведем ординаты до пересечения с кривой y = f(x). Концы ординат соединим прямолинейными отрезками.
Рис. 5.7
Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры, составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке [xi, xi+1] длины h = , равна h , то, пользуясь этой формулой для i = 0, 2, … , n - 1, получим квадратурную формулу трапеций:
I=Iтр =h= (5.7)
Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности:
| I - Iтр | h2, (5.8)
где M2 = |f "(x)|.
Пример 5.2.
Вычислим значение интеграла по формуле трапеций (5.7) и сравним полученный результат с результатом примера 5.1.
Используя таблицу значений функции eиз примера 5.1 и производя вычисления по формуле трапеций (5.7), получим: Iтр = 0.74621079.
Оценим погрешность полученного значения. В примере (5.1) получили оценку: | f "(x)| M2 = 2. Поэтому по формуле (5.8)
I - Iтр | (0.1)2 1.7 10-3.
Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный.