Реферат Курсовая Конспект
Модифицированные методы Эйлера - раздел Философия, Математическая модель. Решение нелинейных уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений Первый Модифицированный Метод Эйлера. Суть Этого Метода Состоит В Следующем. ...
|
Первый модифицированный метод Эйлера. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции y в точках t = ti + с помощью формулы:
y = yi + fi = yi +f(ti, yi).
Затем находится значение правой части уравнения (6.1) в средней точке
f = f(t, y)
и затем полагается
yi+1 = yi + h f, i = 0, 1, …, n - 1. (6.12)
Формулы (6.12) являются расчетными формулами первого модифицированного метода Эйлера.
Первый модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом со вторым порядком точности
Второй модифицированный метод Эйлера - Коши. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения
= yi + h f(ti, yi). (6.13)
Затем приближения искомого решения находятся по формуле:
yi+1 = yi + [f(ti, yi) + f(ti+1, )], i = 0, 1, …, n - 1. (6.14)
Формулы (6.14) являются расчетными формулами второго модифицированного метода Эйлера - Коши.
Второй модифицированный метод Эйлера - Коши, так же, как и первый, является одношаговым методом со вторым порядком точности.
Оценка погрешности. Приближенная оценка погрешности модифицированных методов Эйлера осуществляется как и для простого метода Эйлера с использованием правила Рунге (см. предыдущий раздел 6.2). Так как оба модифицированных метода Эйлера имеют второй порядок точности, т. е. p = 2, то оценка погрешности (6.6) примет вид
R |y- y|. (6.15)
Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши модифицированными методами Эйлера с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:
R |y- y| < . (6.16)
Приближенным решением будут значения y, i = 0, 1, …, n.
Пример 6.2.
Применим первый модифицированный метод Эйлера для решения задачи Коши
y (t) = y - , y(0) = 1,
рассмотренной ранее в примере 6.1.
Возьмем шаг h = 0.2. Тогда n = = 5.
В соответствии с (6.3) получим расчетную формулу первого модифицированного метода Эйлера:
yi+1 = yi + h f = yi + 0.2 f, где
f = f(t, y) = y - ,
t = ti + = ti + 0.1,
y = yi +f(ti, yi) = yi +0.1,
t0 = 0, y0 = 1, i = 0, 1, …, 4.
Решение представим в виде таблицы 6.3:
Таблица 6.3
i | ti | yi | f(ti, yi) | t | y | h f | |
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 | 1.1836 1.3426 1.4850 1.6152 1.7362 | 0.1 0.0850 0.0747 0.0677 0.0625 | 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 | 1.1 1.2682 1.4173 1.5527 1.6777 | 0.1836 0.1590 0.1424 0.1302 0.1210 | ||
Третий столбец таблицы 6.3 содержит приближенное решение yi, i = 0, 1, …, 5.
Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Виднм, что погрешность составляет R = | y(ti) - yi| = 0.0042.
Пример 6.3.
Применим второй модифицированный метод Эйлера - Коши для решения задачи Коши
y (t) = y - , y(0) = 1,
рассмотренной ранее в примерах 6.1 и 6.2. Так же, как и ранее, зададим шаг h = 0.2. Тогда n = = 5.
В соответствии с (6.14) получим расчетную формулу метода Эйлера - Коши:
yi+1 = yi + [f(ti, yi) + f(ti+1, )] = yi + 0.1[f(ti, yi) + f(ti+1, )],
где
f(ti, yi) = yi -
= yi + h f(ti, yi) = yi + 0.1
t0 = 0, y0 = 1, i = 0, 1, …, 4.
Решение представим в виде таблицы 6.4:
Таблица 6.4
i | ti | yi | f(ti, yi) | ti+1 | f(ti+1,) | ||
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 | 1.1867 1.3484 1.4938 1.6272 1.7542 | 0.1 0.0850 0.0755 0.0690 0.0645 | 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 | 1.2 1.3566 1.4993 1.6180 1.7569 | 0.867 0.767 0.699 0.651 0.618 | ||
Таблица 6.4 заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 6.4 содержит приближенное решение yi, i = 0, 1, …, 5.
Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Видим, что погрешность составляет R = | y(ti) - yi| = 0.0222.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Погрешность математической модели связана с ее приближенным описанием реального объекта Например если при моделировании экономической системы не... Исходные данные... Исходные данные как правило содержат погрешности так как они либо неточно измерены либо являются результатом...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Модифицированные методы Эйлера
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов