Первый модифицированный метод Эйлера. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции y в точках t = ti + с помощью формулы:
y = yi + fi = yi +f(ti, yi).
Затем находится значение правой части уравнения (6.1) в средней точке
f = f(t, y)
и затем полагается
yi+1 = yi + h f, i = 0, 1, …, n - 1. (6.12)
Формулы (6.12) являются расчетными формулами первого модифицированного метода Эйлера.
Первый модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом со вторым порядком точности
Второй модифицированный метод Эйлера - Коши. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения
= yi + h f(ti, yi). (6.13)
Затем приближения искомого решения находятся по формуле:
yi+1 = yi + [f(ti, yi) + f(ti+1, )], i = 0, 1, …, n - 1. (6.14)
Формулы (6.14) являются расчетными формулами второго модифицированного метода Эйлера - Коши.
Второй модифицированный метод Эйлера - Коши, так же, как и первый, является одношаговым методом со вторым порядком точности.
Оценка погрешности. Приближенная оценка погрешности модифицированных методов Эйлера осуществляется как и для простого метода Эйлера с использованием правила Рунге (см. предыдущий раздел 6.2). Так как оба модифицированных метода Эйлера имеют второй порядок точности, т. е. p = 2, то оценка погрешности (6.6) примет вид
R |y- y|. (6.15)
Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши модифицированными методами Эйлера с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:
R |y- y| < . (6.16)
Приближенным решением будут значения y, i = 0, 1, …, n.
Пример 6.2.
Применим первый модифицированный метод Эйлера для решения задачи Коши
y (t) = y - , y(0) = 1,
рассмотренной ранее в примере 6.1.
Возьмем шаг h = 0.2. Тогда n = = 5.
В соответствии с (6.3) получим расчетную формулу первого модифицированного метода Эйлера:
yi+1 = yi + h f = yi + 0.2 f, где
f = f(t, y) = y - ,
t = ti + = ti + 0.1,
y = yi +f(ti, yi) = yi +0.1,
t0 = 0, y0 = 1, i = 0, 1, …, 4.
Решение представим в виде таблицы 6.3:
Таблица 6.3
| i | ti | yi | f(ti, yi) | t | y | h f | |
| 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 | 1.1836 1.3426 1.4850 1.6152 1.7362 | 0.1 0.0850 0.0747 0.0677 0.0625 | 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 | 1.1 1.2682 1.4173 1.5527 1.6777 | 0.1836 0.1590 0.1424 0.1302 0.1210 | ||
Третий столбец таблицы 6.3 содержит приближенное решение yi, i = 0, 1, …, 5.
Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Виднм, что погрешность составляет R = | y(ti) - yi| = 0.0042.
Пример 6.3.
Применим второй модифицированный метод Эйлера - Коши для решения задачи Коши
y (t) = y - , y(0) = 1,
рассмотренной ранее в примерах 6.1 и 6.2. Так же, как и ранее, зададим шаг h = 0.2. Тогда n = = 5.
В соответствии с (6.14) получим расчетную формулу метода Эйлера - Коши:
yi+1 = yi + [f(ti, yi) + f(ti+1, )] = yi + 0.1[f(ti, yi) + f(ti+1, )],
где
f(ti, yi) = yi -
= yi + h f(ti, yi) = yi + 0.1
t0 = 0, y0 = 1, i = 0, 1, …, 4.
Решение представим в виде таблицы 6.4:
Таблица 6.4
| i | ti | yi | f(ti, yi) | ti+1 | f(ti+1,) | ||
| 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 | 1.1867 1.3484 1.4938 1.6272 1.7542 | 0.1 0.0850 0.0755 0.0690 0.0645 | 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 | 1.2 1.3566 1.4993 1.6180 1.7569 | 0.867 0.767 0.699 0.651 0.618 | ||
Таблица 6.4 заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 6.4 содержит приближенное решение yi, i = 0, 1, …, 5.
Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Видим, что погрешность составляет R = | y(ti) - yi| = 0.0222.