Постановка задачи

Требуется найти решение системы линейных уравнений:

a₁₁x₁ + a₁₂ x₂ + a₁₃x₃ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂ x₂ + a₂₃x₃ + … + a_2nx_n = b₂

a₃₁x₁ + a₃₂ x₂ + a₃₃x₃ + … + a_3nx_n = b₃ (3.1)

.

a_n1x₁ + a_n2 x₂ + a_n3x₃ + … + a_nnx_n = b_n

или в матричной форме:

Ax = b, (3.2)

где

a₁₁ a₁₂ a₁₃ … a_1n x₁ b₁

a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a_2n x₂ b₂

A = a₃₁ a₃₂ a₃₃ … a_3n x =x_{3 ,} b =b₃

a_n1 a_n2 a_n3 a_nn x_n b_n

По правилу Крамера система n линейных уравнений имеет единственное решение, если определитель системы отличен от нуля (det A 0) и значение каждого из неизвестных определяется следующим образом:

x_j = , j = 1, …, n, (3.3)

где det A_j - определитель матрицы, получаемой заменой j-го столбца матрицы A столбцом правых частей b.

Непосредственный расчет определителей для больших n является очень трудоемким по сравнению с вычислительными методами.

Известные в настоящее время многочисленные приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений распадаются на две большие группы: прямые методы и методы итераций.

Прямые методы всегда гарантируют получение решения, если оно существуют, однако, для больших n требуется большое количество операций, и возникает опасность накопления погрешностей.

Этого недостатка лишены итерационные методы, но зато они не всегда сходятся и могут применяться лишь для систем определенных классов.

Среди прямых методов наиболее распространенным является метод исключения Гаусса и его модификации, Наиболее распространенными итерационными методами является метод простых итераций Якоби и метод Зейделя.

Эти методы будут рассмотрены в следующих разделах.