Реферат Курсовая Конспект
Математическая логика - Конспект, раздел Философия, Конспект книги ПРЕДМЕТ И ЗНАЧЕНИЕ ЛОГИКИ С иных позиций изучает мышление логика В Xix В. Появляется Математическая Логика. Немецкий Философ Г. В. Лейбниц (1...
|
В XIX в. появляется математическая логика. Немецкий философ Г. В. Лейбниц (1646-1716) - величайший математик и крупнейший философ XVII в. - по праву считается ее основоположником, Лейбниц пытался создать универсальный язык, с помощью которого споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычисления. При построении такого исчисления Лейбниц исходил из своего “Основного принципа разума”, который гласил, что во всех истинных предложениях, общих или частных, с необходимостью или случайно предикат содержится в субъекте. Он хотел всякому понятию дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы не только доказывать вообще
_________________________
'См.: Васильев Н. А. Воображаемая логика. М., 1989; Бажанов В. А. Николай Александрович Васильев. М., 1988. (Эта книга- первая научная биография Н. А. Васильева, написанная на основе ранее неизвестных и непубликовавшихся материалов).
все истины, доступные логическому доказательству, но и открывать новые. В последнем обстоятельстве он видел особую слугу своей всеобщей характеристики. Лейбниц говорит о как о чудесном общем языке, имеющем свой словарь (т. е. характеристические числа, отнесенные к понятиям) и свою грамматику (правила оперирования с этими числами). Лейбниц хотел построить арифметизированное логическое исчисление в некоторой вычисляющей машины (алгоритма). Однако этого ему сделать не удалось.
В этой концепции Лейбница неприемлемо прежде всего что все содержание наших понятий якобы может быть выражено их характеристическими числами. Несостоятельным было и представление Лейбница о том, что человеческое мышление может быть полностью заменено вычисляющей машиной. ..
Лейбниц полагал, что математику можно свести к логике, а логику считал априорной наукой. Сторонников такого обоснования математики называют логицистами — представителями субъективно-идеалистического направления (считающего первичным сознание человека) в обосновании математики.
Лейбниц является предшественником логицизма в том смысле, что он предложил сведение математики к логике и математизацию логики: построение самой логики как некоторой арифметики или буквенной алгебры. Но Лейбниц был предшественникам логицизма и в том, что пытался создать арифметизированное логическое исчисление, о котором мы говорили.
Покажем, как это делал Лейбниц. Возьмем такой категорический силлогизм:
+70, -30 +10, -3
Всякий мудрый есть благочестивый.
+70, -33 +8, -11
Некоторые мудрые богаты.
+8, -11 +10, -3
Некоторые богатые благочестивы.
Сверху над понятием написан выбранный наудачу правильный (по Лейбницу) набор характеристических чисел для терминов посылок. Истинность общеутвердительного суждения “Все S суть Р” (первая посылка) выражается тем, что обе характеристики субъекта делятся на соответствующие характеристики предиката, т. е. 70 (точно, без остатка) делится на 10, а - 33 делится на - 3, и числа, стоящие на диагоналях, - взаимно простые, т. е. + 70 и - 3 так же, как
-33 и + 10, взаимно простые числа. Истинность частноутвердительного суждения, по Лейбницу, должна выражаться таким правилом: числа, стоящие на диагоналях, должны быть взаимно простыми, т. е. не иметь общих делителей, кроме единицы.
+70,-33 +8,-11
Посылка “Некоторые мудрые богаты” имеет такие числа:
т. е. на обеих диагоналях стоят взаимно простые числа.
И заключение этому правилу также удовлетворяет, ибо на диагоналях стоят взаимно простые числа:
Истинность общеотрицательного суждения “Ни одно S не есть Р” у Лейбница выражалась тем, что по крайней мере на одной диагонали стоят не взаимно простые числа. Истинность частноотрицательного суждения выражалась тем, что по крайней мере одна из характеристик субъекта не делится на соответствующую характеристику предиката.
Чтобы воспользоваться исчислением Лейбница, нужно рассуждение облечь в форму силлогизма и посмотреть, правильный он или неправильный. Однако построенная Лейбницем система удовлетворяла этому требованию только в применении к правильным, по Аристотелю, построенным силлогизмам. Автором в стоящего учебника доказано, что все 19 правильных, по Аристотелю, модусов силлогизма окажутся правильными и по критерию Лейбница. Но в отношении неправильных модусов категорического силлогизма Аристотеля дело обстоит по-иному. Всегдаможно построить такой пример, когда при разных правильных набоpax числовых характеристик для посылок получаются разные оценки заключения: в одних случаях оно оказывается истинным, в других - ложным.
Исчисление Лейбница, таким образом, не выдержало проверки, что, конечно, заметил и сам Лейбниц, перешедший в дальнейшем к построению буквенного исчисления по образцу алгебры. Но тоже неудачно.
Однако в этих замыслах Лейбница не все было неверно. Сам по себе метод арифметизации в математической логике играет весьма существенную роль как вспомогательный прием. Внем состоит, например, сущность метода, с помощью которого известный австрийский математик и логик К. Гёдель доказал неосуществимость лейбницевой мечты о создании такой всеобщей характеристики, которая позволит заменить все человеческое мышление вычислениями.
Ложной была именно метафизическая идея Лейбница о сведении всего человеческого мышления к некоторому математическому исчислению. Поэтому были ложны и вытекающие из нее следствия.
Интенсивное развитие математическая логика получила в работах Д. Буля, Э. Шрёдера, С. Джевонса, П. С. Порецкого и других логиков.
Английский логик Джордж Буль (1815-1864) разрабатывал алгебру логики - один из разделов математической логики. Предметом его изучения были классы (как объемы понятий), соотношения между ними и связанные с этим операции. Буль переносит на логику законы и правила алгебраических действий.
В работе “Исследование законов мысли”', которая оказала большое влияние на развитие логики. Буль ввел в логику классов в качестве основных операций сложение (“+”), умножение (“ * ” или пропуск знака) и вычитание (“-”). В исчислении классов сложение соответствует объединению классов, исключая их общую часть, а умножение - пересечению. Вычитание Буль рассматривал как действие, противоположное (opposite) сложению, - отделение части от целого, то, что в естественном языке выражается словом “кроме” (except).
Будь ввел в свою систему логические равенства, которые он записывал посредством знака “ = ”, соответствующего связке “есть”. Суждение “Светила суть солнца и планеты” в виде равенства им записывается так: х = у + z, откуда следует, что х - z =у. Согласно Булю, в логике, как и в алгебре, можно переносить члены из одной части равенства в другую с обратным знаком. Будь открыл закон коммутативности для вычитания: х-у = -у+х и закон дистрибутивности умножения относительно вычитания: z(x - у} = zx - zy. Он сформулировал общее правило для вычитания: “Если от равных вычесть равные, то остатки будут равными. Из этого следует, что мы можем складывать или вычитать равенства и употреблять правило транспозиции точно так же, как в общей алгебре”2.
Предметом исследования ученого были также высказывания (в традиционной логике их называют суждениями). В исчислении высказываний, по Булю, сложение (“ + ”) соответствует строгой дизъюнкции, а умножение (“ * ” или пропуск знака) - конъюнкции.
Чтобы высказывание записать в символической форме, Буль составляет логическое равенство. Если какой-либо из терминов высказывания не распределен он вводит термин V для обозначения класса, неопределенного в некотором отношении. Для того чтобы выразить частноотрицательное суждение, например: “Некоторые люди не являются благоразумными”, Буль сначала представляет его в форме: “Некоторые люди являются неблагоразумными”, а затем выражает в символах обычным способом.
______________________
'См.: Boole George. An Investigation of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logik and Probabilities. London, 1854.
2Boole George. An Investigation of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logik and Probabilities. London, 1854. P. 36.
По Булю, существует три типа символического выражения суждений: Х=VY(только предикат не распределен):
Х= Y (оба термина - субъект и предикат - распределены);
VX = VY (оба термина не распределены).
Диалектика соотношения утверждения и отрицания в понятиях и суждениях у Буля такова: без отрицания не существует утверждения и, наоборот, во всяком утверждении содержится отрицание. Утверждения и отрицания связаны с универсальным классом: “Сознание допускает существование универсума не априори, как факт, не зависящий от опыта, но либо апостериори, как дедукцию из опыта, либо гипотетически, как основание возможности утвердительного рассуждения”'.
Различая живой разговорный язык и “язык” символический, Буль подчеркивал, что язык символов - лишь вспомогательное средство для изучения человеческого мышления и его законов.
Немецкий математик Эрнст Шредер (1841-1902) собрал и обобщил результаты Буля и его ближайших последователей. Он ввел в употребление термин “Logikkalkul” (логическое исчисление), новые по сравнению с Булем символы. В основу исчисления классов он положил не отношение равенства, как это было у Буля, а отношение включения класса в класс, которое обозначал как а b. Знак “ + ” Буль использовал для обозначения объединения классов, исключая их общую часть, т. е. симметрическую разность (см. рис. 26), а у Шредера знак “+”
Рис. 26
____________________
'Boole George. An Investigation of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logik and Probabilities. London, 1854. P. 85.
Пропуском знака Шрёдер обозначает операцию пересечения классов, например, ab.
Во взглядах Э. Шрёдера на отрицание можно отметить много интересного и нового по сравнению со взглядами Буля. Под отрицанием а1, класса а Шрёдер понимает его дополнение до 11.
Если классов больше двух, то Шрёдер оперировал с ними по сформулированным им правилам. Правило 1: если среди сомножителей некоторого произведения находятся такие, из которых один является отрицанием другого, то произведение “исчезает”, т. е. равно 0. Например, abc • ab1 cd1 = 0, так как имеется b и b1,.
Правило 2: если среди членов некоторой суммы находится хотя бы один, который оказывается отрицанием другого, то вся сумма равна 1:
a+b+c1 +a+c+d1 =1.
Значительное внимание Шрёдер уделил анализу структуры отрицательных суждений. Отрицательную частичку он прилагает к предикату, т. е. вместо “А не есть В” он берет “А есть не-В”, Так, суждение “Ни один лев не является травоядным”, если следовать идеям Шрёдера, надо заменить на суждение “Все львы являются нетравоядными”.
Класс а1, как отрицание класса а Шрёдер считает очень неопределенным. И в доказательство этой мысли приводит такой пример. Понятие “несражающийся” (в армии) охватывает: саперов, полковых ремесленников, служащих лазарета, врачей, которые относятся к армии, но не сражаются.
Опираясь на законы де Моргана, Шрёдер проводит анализ языка разговорной речи. Выражение с а1,b1, в речи означает, что “каждое с есть не- а и (одновременно) не-b”. Для него можно выбрать другое выражение: “Каждое с не есть ни a, ни b”. Это конъюнктивное суждение, примером которого может быть: “Каждая рыба - не птица и не млекопитающее”. Другое суждение: “Никакая рыба не есть птица и млекопитающее” - означает в символическом виде с (аb)1,, что эквивалентно, на основании правила де Моргана,
___________________
1См.: Schroder E. Vorlesungenuber die Algebra der Logic. Bd. 1. Leipzig, 1890. S. 302.
с a1, +b1. Так называемое отрицательное по связке суждение “ни а, ни b не есть с” представляется в виде а + b c1) .
Шрёдер формулирует правила (или требования) научной классификации:
1. Между родом и суммой его видов должно быть тождество.
2. Все виды должны быть дизъюнктивными, т. е. должны исключать друг друга и попарно в произведении давать 0.
3. Для расчленения рода на виды должно быть одно основание. Используя отрицание. Шредер показал, как классифицируемый род делится на виды и подвиды.
В логическом исчислении, доведенном до наибольшей простоты, Шредер признает три основных действия: сложение (трактуя его как нестрогую дизъюнкцию), умножение и отрицание. Однако вычитание он считает небезусловно выполнимой операцией.
Автор данного учебника признает вполне приемлемой в логике классов операцию вычитания классов. Но понимает ее принципиально иначе, чем Буль и Шредер. Буль и Шредер считали, что в разности а - b b должно полностью входить в а, если же b> аилиаи b - несовместимы, то операция вычитания невыполнима. В отличие от Буля и Шредера мы допускаем возможной (т. е. выполнимой) разность всяких двух классов а и b, из которых b можети небыть частью а; в качестве следствий мы учитываем случаи вычитания, когда классы а и b являются пустыми или универсальными.
Наиболее известные работы английского логика Стенли Джевонса (1835-1882) - “Principles of Science, a Treatise on Logic and Scientific Method” (London, 1874) и “Elementary Lessons in Logic, Deductive and Inductive” (London, 1870).
В качестве логических операций Джевонс признавал конъюнкцию, нестрогую дизъюнкцию и отрицание и не признавал обратных логических операций - вычитания и деления. Классы он обозначал буквами А, В, С..., а их дополнения до универсального класса, обозначаемого 1, или их отрицания -соответственно курсивными буквами а, b, с... 0 обозначает у него нулевой (пустой) класс; связка в суждении заменяется знаком равенства.
Большое значение Джевонс придавал принципу замещения (или подстановки), который формулируется им так: если только существует одинаковость, тождество или сходство, то все, что
верно об одной вещи, будет верно и о другой. Этот принцип играет важную роль в умозаключении. Для обозначения отношения одинаковости (или тождества) Джевонс употребляет знак “ = ”.
Обозначив положительные и отрицательные термины соответственно через А и а, В и b, Джевонс записывает закон непротиворечия как Аа = 0. Критерием ложности заключения, по Джевонсу, является наличие в нем противоречия, т. е. утверждения и отрицания одного и того же положения, что записывается, например, как наличие Аа, Вb, АВСа.
Джевонс считал, что утвердительные суждения можно представлять в отрицательной форме. Но он напрасно категорически заявлял, что имеются сильные основания в пользу того, чтобы употреблять все предложения в их утвердительной форме, а различие (т. е. отрицательные суждения) неспособно быть основанием умозаключения. Джевонс не отрицал, что утверждение и отрицание, сходство и различие, равенство и неравенство представляют пары одинаково основных отношений; но утверждал, что умозаключение возможно только там, где прямо находится или подразумевается утверждение, сходство или равенство, словом, какой-нибудь вид тождества.
Согласно законам диалектики, тождество и различие являются двумя сторонами единого предмета или процесса. Отражение отношений тождества и различия, имеющихся в самих предметах действительного мира, находит свое выражение и в мышлении в формах умозаключений. Поэтому отбросить различие, выражающееся в отрицательных суждениях, и все свести только к тождеству, выражающемуся в утвердительных суждениях, нельзя, да и нет в этом необходимости. Единство противоположностей - тождества и различия - неразрывно.
Интересны и оригинальны взгляды Джевонса на категорический силлогизм с двумя отрицательными посылками. Джевонс утверждает, что его принцип умозаключения ясно отличает случаи, когда оно оказывается правильным, от тех случаев, когда оно неправильно. Он приводит пример умозаключения:
Все, что не металлично, не способно к сильному магнитному влиянию.
Уголь не металличен.
Уголь не способен к сильному магнитному влиянию.
Здесь из двух отрицательных посылок получается истинное отрицательное заключение. Джевонс считает; что там, где возможно подставлять тождественное вместо тождественного, допустим вывод заключения из двух отрицательных посылок.
Джевонс внес значительный вклад в алгебру логики, особенно в проблему отрицания классов и отрицательных суждений.
Следующий этап в развитии математической логики связан с именем русского логика, математика и астронома Платона Сергеевича Порецкого (1846-1907). Его работы' существенно обобщают и развивают достижения Буля, Джевонса и Шредера.
Анализируя понятия, Порецкий различает две формы: форму, обладающую данным признаком, обозначаемую буквами а, b, с..., и форму,им не обладающую, обозначаемую а, b,с…, и т. д.2 Формы совместного обладания или необладания несколькими признаками записывает так: a,a1 ,b,b1 (без особого знака между буквами). Современное пересечение классов Порецкий называет операцией реализирования (умножения), обозначая ее “ • ”, а операцию объединения классов - абстрагированием (сложением), обозначая ее “ ? ”, т. е. знаком вопроса; 0 и 1 обозначают пустой класс и универсальный. Порецкий вводит операцию отрицания классов (отрицание а обозначается через а1,) - это дополнение к классу а. Для каждого данного а его отрицание, т. е. о,, может быть различно. Это определяется избранным универсальным классом. Так, если за 1, т. е. универсум, принять англичан, а за а класс артистов, то а1, означает англичан-не-артистов, но если 1 обозначает класс людей, то a1, обозначает людей-не-артистов и т. д.
Заслуга Порецкого в том, что он рассматривал логические операции не только над отдельными логическими классами, но и над логическими равенствами. Порецкий считает, что если два класса состоят из одних и тех же предметов, т.е. имеют равные объемы и могут отличаться только формой, то они равны между собой. Соединяя равные классы знаком “ = ”, мы получаем логическое
_______________________
'См.: Порецкий П. С. Решение общей задачи теории вероятностей при помощи математической логики. Казань, 1887, и др.
2Порецкий П. С. О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики. Казань, 1884. С. III.
равенство. Равенством логических классов русский логик называет полную их тождественность, т. е. одинаковость их логического содержания, считая, что все их различие может состоять только в способе их происхождения. Примером такого равенства является закон де Моргана: (m + n), = т1 • n1. Если классы а и b равны, то и их отрицания, т. е. классы а и b, также равны. По его мнению, отрицание всякого равенства приводит к новому равенству, тождественному первоначальному.
По мнению Порецкого, операция отрицания неприменима к системам равенств. К соединению двух и более равенств в одно новое равенство применимы лишь две логические операции: сложение и умножение отдельных частей равенств, причем предварительно каждое отдельное равенство может быть в случае надобности заменено его отрицанием.
В созданной им теории логики Порецкий подчеркивал взаимосвязь двух проблем: выведения следствия из заданной системы посылок и нахождения тех посылок, из которых данное логическое равенство может быть получено в качестве следствия. Несколько подробнее остановимся на методе нахождения всех простых следствий из данных посылок, который в теории логики получил название метода Порецкого - Блэйка (его предложил американский математик Блэйк' на основе работы Порецкого).
Простым следствием из данных посылок называется дизъюнкция каких-либо букв или их отрицаний, являющаяся логическим следствием из этих посылок, и притом таким, которое не поглощается никаким более сильным следствием такого же вида. (Мы говорим, что а сильнее b, если из а следует b, но из b не следует а). Все простые следствия из данных посылок можно получить, выполнив преобразования следующих пяти типов:
1) привести конъюнкцию посылок к конъюнктивной нормальной форме (КНФ). КНФ есть конъюнкция из дизъюнкции элементарных высказываний или их отрицаний, эквивалентная данному выражению, т. е. если есть импликация, то ее надо заменить на дизъюнкцию по формуле (а → b= b);
_______________________
'См.: Blake A. Canonical Expressions in Boolean Algebra. Chicago, 1938.
2) произвести все операции “отбрасывания”, т. е. члены вида a x (или а • х • ) можно исключить, так как этот член тождественно истинен;
3) использовать законы выявления, т. е. формулы
ах ^ b= ах ^ b^ аb; или ax b= ax bab;
4) произвести все “поглощения” на основании законов поглощения:
а ^ (a b) = а и а (а ^ b)= а;
5) из всех повторяющихся членов оставить только один (на основании законов идемпотентности).
В результате получится силлогистический многочлен, который будет содержать все простые следствия из данных посылок, и только простые следствия. Они интереснее, чем обычные логические следствия, так как зависят от меньшего числа пара метров (элементарных высказываний).
Покажем это на конкретном примере. Из данных трех посылок, имеющих соответственно, формы (1) q →, (2) p q и (3) r, требуется вывести все разные (неэквивалентные между собой) формы простых логических следствий. Для решения задачи выполним следующие операции:
1. Соединяем посылки знаками конъюнкции и приводим выражение в КНФ:
(q →) ^ (p q) ^ r = () ^ (p q) ^ r
или в другой записи
pq ^ r.
2. В полученной КНФ к членам 1 и 3 применяем закон выявления, получаем
^ pq ^ r = ^ pq ^
Затем ко второму и четвертому членам снова применяем этот же закон.
^ pq ^ r ^ = ^ pq ^ r ^ ^ p
3. Произведем операции “поглощения”. Первый член () поглощается четвертым (), поэтому отбрасываем первый член, а второй член (pq) поглощается пятым членом (p). В результате этого получим
^ pq ^ r ^ ^ p =r ^ ^ p
Вывод: при данных посылках суждения r и р истинны, а суждение q ложно, т. е. если суждениями выражены некоторые события, то событие r и событие р наступят, а событие q не наступит.
Исследования Порецкого продолжают оказывать стимулирующее влияние на развитие алгебраических теорий и в наши дни.
В XX в. математическая логика развивалась в трудах Ч. С. Пирса и Дж. Пеано.
Американский логик Чарльз Сандерс Пирс (1839-1914) внес существенный вклад в разработку алгебро-логических концепций и явился основоположником новой науки - семиотики (общей теории знаков). В работах Пирса содержится тенденция к расчленению семиотики на прагматику (анализирует отношение знака к его исследователю), семантику (выясняет отношение знака к обозначаемому им объекту) и синтактику (исследует взаимоотношения между знаками).
Пирс пишет о том, что реальное можно определить как нечто, свойства которого независимы от того, что о них мыслят. Наиболее общим подразделением знаков он считал такие: изображения (icons), индексы (indices) и символы (symbols). Пирс предлагал классификацию знаков и по другим основаниям.
Пирс предложил строить исчисление высказываний лишь на одной операции, этим предвосхитив результаты М. X. Шеффера (Шеффер также строил исчисление высказываний на одной операции, которая вошла в историю логики подименем ее создателя - штрих Шеффера). Единственной логической операцией Пирс предлагал считать отрицание нестрогой дизъюнкции.
Пирсу принадлежат работа по логике “Studies in Logic” и другие.
Достижения Джузеппе Пеано (1858-1932), итальянского математика, явились переходным звеном от алгебры логики, в том виде, какой ей придали Буль, Шредер, Порецкий и Пирс, к современной форме математической логики. Основные результаты Пеано были опубликованы в пятитомном “Формуляре математики”'.
Пеано ввел следующие, употребляющиеся и ныне, символы:
а) “ ” - знак принадлежности элемента к классу;
б) “” - знак включения одного класса в другой класс;
в) “” - знак объединения классов;
г) “” - знак для обозначения операции пересечения классов.
Крупным вкладом Пеано в развитие аксиоматического метода явилась его система из пяти аксиом для арифметики натуральных чисел. На базе своей аксиоматики Пеано строит всю теорию натуральных чисел.
На заключительном этапе своей научной деятельности Пеано приступил к систематическому изложению логики как особой. по его мнению, математической дисциплины.
Далее развитие математической логики осуществлялось по многим направлениям, а также в проблемном плане. Это было обусловлено необходимостью дальнейшего освоения как классической и неклассической логик, так и возникшими трудностями в обосновании математики.
Краткому освещению основных направлений в современной логике посвящены последующие разделы данной главы.
§ 2. Развитие логики в связи с проблемой обоснования математики
Немецкий математик и логик Готтлоб Фреге (1848-1925) предпринял попытку свести математику к логике. С этой целью в первой своей работе по математической логике “Исчисление понятий” (“Begriffsschrift”) он определил множество как объем понятия и таким образом получил возможность определить и число через объем понятия. Такое определение числа он сформулировал в “Основаниях арифметики” (“Grundlagen der Arithmetik”), книге, которая в то время осталась незамеченной, но впоследствии получи-
____________________
'См.: Peano G. Fonnulaire de Mathematiques. V. 5. Turin, 1895-1905.
ла широкую известность. Здесь Фреге определяет число, принадлежащее понятию, как объем этого понятия. Два понятия считаются равночисленными, если множества, выражающие их объемы, можно поставить во взаимооднозначное соответствие друг с другом. Так, например, понятие “вершина треугольника” равночисленно понятию “сторона треугольника”, и каждому из них принадлежит одно и то же число 3, являющееся объемом понятия “вершина треугольника”.
Если Лейбниц только наметил программу сведения математики к логике, то Г. Фреге предпринял попытку сведения довольно значительной части арифметики к логике, т. е. произвел некоторую математизацию логики'. Символические обозначения, принятые им, очень громоздки, и поэтому мало кто полностью прочитал его “Основные законы арифметики”. Впрочем, и сам Фреге особенно не рассчитывал на это. Тем не менее труд Фреге сыграл значительную роль в истории обоснования математики в первой половине XX в. Об этом своем произведении Фреге писал: “В моих “Основаниях арифметики” (1884) я пытался привести аргументы в пользу того, что арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никаких основ доказательства. В этой книге (речь идет об “Основных законах арифметики - А. Г.) это должно быть подтверждено тем, что простейшие законы арифметики здесь выводятся только с помощью логических средств”2.
Итак, Фреге полагал, что он логически определил число и точно перечислил логические правила, с помощью которых можно определять новые понятия и доказывать теоремы, и что таким образом он и сделал арифметику частью логики. Фреге не подозревал, однако, что построенная им система не только не представляла собой логического обоснования содержательной арифметики, но была даже противоречивой. Это противоречие в системе Фреге обнаружил Бертран Рассел.
В послесловии к “Основным законам арифметики” Фреге писал по этому поводу: “Вряд ли есть что-нибудь более нежелательное для автора научного произведения, чем обнаружение по
______________________
'См.: Frege G. Grundgesetze der Arithmetik. V. I. Jena, 1893. V. II. 1903.
2Ibid.V. 1. 1893. S. 1.
завершении его работы, что одна из основ его здания оказывается пошатнувшейся. В такое положение я попал, получив письмо от господина Бертрана Рассела, когда печатание этой книги близилось к концу”'. Противоречием, который обнаружил Рассел в системе Фреге, был знаменитый парадокс Рассела о множестве всех нормальных множеств (см. с. 226-227 учебника).
Причину своей неудачи Фреге видел в использованном им предположении, что у всякого понятия есть объем в смысле постоянного, строго фиксированного множества, не содержащего в себе никакой неопределенности или расплывчатости. Ведь именно через этот объем он и определил основное понятие математики - понятие числа.
Вслед за Г. Фреге очередную попытку сведения математики к логике предпринял видный английский философ и логик Бертран Рассел (1872-1970). Он также автор ряда работ из областей истории, литературы, педагогики, эстетики, естествознания, социологии и др. Труды Рассела по математической логике оказали большое влияние на ее развитие. Вместе с английским логиком и математиком А. Уайтхедом2 Рассел разработал оригинальную систему символической логики в фундаментальном трехтомном труде “Principia Mathematica”3. Выдвигая идею сведения математики к логике, Рассел считает, что если гипотеза относится не к одной или нескольким частным вещам, но к любому предмету, то такие выводы составляют математику. Таким образом, он определяет математику как доктрину, в которой мы никогда не знаем ни того, о чем мы говорим, ни того, верно ли то, что мы говорим.
Рассел делит математику на чистую и прикладную. Чистая математика, по его мнению, есть совокупность формальных выводов, независимых от какого бы то ни было содержания, т. е. это класс высказываний, которые выражены исключительно в терминах переменных и только логических констант. Рассел не только вполне уверен в том, что ему удалось свести математику к такого рода предложениям, но делает из этого утверждения
_______________________
'ibid. V. II S. 253.
2См.: УайтхедА. Н. Избранные работы по философии//Пер. с англ. М., 1990.
3См.: RusselB.. and WhiteheadA. N. Principia Mathematica. London, 1910-1913.
вывод о существовании априорного знания, считает, что “математическое познание нуждается в посылках, которые не базировались бы на данных чувства”'.
От чистой математики Рассел отличает прикладную математику, которая состоит в применении формальных выводов к материальным данным.
Для того чтобы показать, что чистая математика сводится к логике, Рассел берет систему аксиом арифметики, сформулированную Пеано, и пытается их логически доказать, а три неопределяемые у Пеано понятия: “нуль”, “число”, “следующее за” - определить в терминах своей логической системы. Все натуральные числа Рассел также считает возможным выразить в терминах логики, а следовательно, свести арифметику к логике. А так как, по его мнению, вся чистая математика может быть сведена к арифметике, то математика может быть сведена к логике. Рассел пишет: “Логика стала математической, математика логической. Вследствие этого сегодня совершенно невозможно провести границу между ними. В сущности это одно и то же. Они различаются, как мальчик и мужчина; логика - это юность математики, а математика - это зрелость логики”2. Рассел считает, что не существует пункта, где можно было бы провести резкую границу, по одну сторону которой находилась бы логика, а по другую - математика.
Но в действительности математика несводима к логике. Предметы изучения этих наук различны. Нами ранее были указаны характерные черты, присущие логике как науке (см. с.141-142). У математики другие задачи и функции.
В большом труде “Principia Mathematica” есть две стороны. Первая - заставляющая видеть в нем один из основных истоков современной математической логики. Все, что связано с этой стороной Principia Mathematica, получило в дальнейшем такое развитие в математической логике, которое сделало эту новую область науки особенно важной для решения не только труднейших
____________________
'Russel B. The Philosophical Importance of Mathematical Logik. // “Monist”. V. XXIII. 1913. № 4. P. 489.
2Russel B. Introduction to Mathematical Philosophy. London, 1924. P. 194.
задач теоретической математики и ее обоснования, но и целого ряда весьма важных для практики задач вычислительной математики и техники.
Другая сторона этого произведения - точнее, даже не самого этого произведения, а философских “обобщений”, делаемых логицистами со ссылкой на него, - принадлежит уже к области попыток использовать его для “доказательства” положения, что математика-де сводится к логике. Именно эта сторона сомнительна, и ее опровергает дальнейшее развитие науки, которое обнаружило, что попытка Рассела безуспешна. И это не случайно. Дело не в том, что Рассел в каком-то смысле не совсем удачно построил свою систему. Дело в том, что вообще нельзя построить формальную “логическую систему” с точно перечисленными и эффективно выполнимыми правилами вывода, в которой можно было бы формализовать всю содержательную арифметику. Это обстоятельство представляет собой содержание известной теоремы австрийского математика и логика К. Гёделя о неполноте формализованной арифметики', из которой следует непосредственно, что определение математических понятий в терминах логики хотя и обнаруживает некоторые их связи с логикой, тем не менее не лишает их специфически математического содержания. Формализованная система имеет смысл лишь при наличии содержательной научной теории, систематизацией которой данная формализованная система должна служить.
Однако Г. Фреге и Б. Рассел в своем логическом анализе пришли к ряду интересных результатов, относящихся к понятиям “предмет”, “имя”, “значение”, “смысл”, “функция”, “отношение” и др. Особо следует подчеркнуть значение разработанной Расселом теории типов (простой и разветвленной), цель которой состоит в том, чтобы помочь разрешить парадоксы в теории множеств. Рациональное зерно разветвленной теории Рассела состоит в том, что она является конструктивной теорией.
_____________________
Godel К. Ober formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme // Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte der Preussische Academic der Wssenschaft. Vol. 38. Berlin, 1930.
***
Одним из оснований деления логики служит различие применяемых в ней принципов, на которых базируются исследования. В результате такого деления имеем классическую логику и неклассические логики. В. С. Меськов выделяет такие основополагающие принципы классической логики:
“1) область исследования составляют обыденные рассуждения, рассуждения в классических науках;
2) допущение о разрешимости любой проблемы;
3) отвлечение от содержания высказываний и от связей по смыслу между ними;
4) абстракция двузначности высказываний”'. , Неклассические логики отступают от этих принципов. К ним относятся интуиционистская логика, конструктивные логики, многозначные, модальные, положительные, паранепротиворечи-вые и другие логики, к изложению которых мы переходим.
§ 3. Интуиционистская логика
Интуиционистская логика построена в связи с развитием интуиционистской математики. Интуиционистская школа основана в 1907 г. голландским математиком и логиком Л. Брауэром (1881-1966)2, но некоторые ее идеи выдвигались и ранее.
Интуиционизм - философское направление в математике и логике, отказывающееся от использования абстракции актуальной бесконечности, отвергающее логику как науку, предшествующую математике, и рассматривающее интуитивную ясность и убедительность (“интуицию”) как последнюю основу математики и логики. Интуиционисты свою интуиционистскую математику строят с помощью финитных (конечных) средств на основе системы натуральных чисел, которая считается известной из интуиции. Интуиционизм включает в себя две стороны - философскую и математическую.
_______________________
'Меськов В. С. Очерки по логике квантовой механики. М., 1986. С. 9.
2Brouwer L. E. J. Intuitionism and Formalism // Bulletin of American Mathematical Society. 1913. Vol. 20. The Effect of Intuitionism on Classical Algebra of Logic // Proceedings of the Royal Irish Academy. 1955. Vol. 57. P. 113-116.
Математическое содержание интуиционизма изложено в ряде работ математиков. Ведущие представители отечественной школы конструктивной математики отмечают положительное значение некоторых математических идей интуиционистов.
В целом конструктивная математика существенно отличается от интуиционистской, но, как указывал советский математик-конструктивист А. А. Марков, конструктивное направление имеет точки соприкосновения с интуиционистской математикой. Конструктивисты сходятся с интуиционистами в понимании дизъюнкции и в силу этого признают правильной данную Брауэром критику закона исключенного третьего. Вместе с тем конструктивисты считают неприемлемыми методологические основы интуиционизма.
Если математический аспект интуиционизма имеет рациональный смысл (в этой связи предпочтительнее говорить об интуиционистской математике или интуиционистской логике, а не об интуиционизме), то второй его аспект - философско-методологический - совершенно неприемлем.
Брауэр считал, что чистая математика представляет собой свободное творение разума и не имеет никакого отношения к опытным фактам. У интуиционистов единственным источником математики оказывается интуиция, а критерием приемлемости математических понятий и выводов является “интуитивная ясность”. Но интуиционист Гейтинг вынужден был признаться в том, что понятие интуитивной ясности в математике само не является интуитивно ясным; можно даже построить нисходящую шкалу степеней очевидности.
Основой происхождения математики в конечном итоге является не какая-то “интуитивная ясность”, а отражение в сознании пространственных форм и количественных отношений действительного мира. Гейтинг, как и Брауэр, в гносеологии субъективный идеалист. Он считает, что математическая мысль не выражает истину о внешнем мире, а связана исключительно с умственными построениями'.
Еще в 1936 г. советский математик А.Н. Коломогоров подверг критике субъективно-идеалистические основы интуиционизма,
____________________
'Cм: Гейтинг А. Интуиционизм // Пер. с англ. М., 1965. С. 17.
заявив, что невозможно согласиться с интуиционистами, когда они говорят, что математические объекты являются продуктом конструктивной деятельности нашего духа, ибо математические объекты являются абстракциями реально существующих форм независимой от нашего духа действительности. Интуиционисты не признают практику и опыт источником формирования математических понятий, методов математических построений и методов доказательств.
Особенности интуиционистской логики вытекают из характерных признаков интуиционистской математики.
В современной классической математике часто прибегают к косвенным доказательствам. Но их почти невозможно ввести в интуиционистскую математику и логику, так как там не признаются закон исключенного третьего и закон →а и которые участвуют в косвенных доказательствах. Но закон непротиворечия представители как интуиционистской, так и конструктивной логики считают неограниченно применимым.
Закон исключенного третьего для бесконечных множеств в интуиционистской логике не проходит потому, что р требует общего метода, который по произвольному высказыванию р позволил бы получать доказательство, либо доказательство отрицания. Гейтинг считает, что так как интуиционисты не располагают таким методом, то они не вправе утверждать и принцип исключенного третьего. Покажем это на таком примере. Возьмем утверждение: “Всякое целое число, большее единицы, либо простое, либо сумма двух простых, либо сумма трех простых”. Неизвестно, так это или не так в общем случае, хотя в рассмотренных случаях, которых конечное число, это так. Существует ли число, которое не удовлетворяет этому требованию? Мы не можем указать такое число и не можем вывести противоречие из допущения его существования.
Эта знаменитая проблема X. Гольдбаха была поставлена им в 1742 г. и не поддавалась решению около 200 лет. Гольдбах высказал предположение, что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. Для нечетных чисел это предположение было доказано только в 1937 г. советским математиком академиком
И. М.Виноградовым; все достаточно большие нечетные числа представимы в виде суммы трех простых чисел. Это - одно из крупнейших достижений современной математики.
Брауэр первый наметил контуры новой логики. Идеи Брауэра формализовал Гейтинг, в 1930 г. построивший интуиционистское исчисление предложений с использованием импликации, конъюнкции, дизъюнкции и отрицания на основе 11 аксиом и двух правил вывода - modus ponens и правила подстановки. Гейтинг утверждает, что хотя основные различия между классической и интуиционистской логиками касаются свойств отрицания, эти логики не совсем совпадают и в формулах без отрицания. Он отличает математическое отрицание от фактического: первое выражается в форме конструктивного построения (выполнения) определенного действия, а второе говорит о невыполнении действия (“невыполнение” чего-либо не является конструктивным действием). Интуиционистская логика имеет дело только с математическими суждениями и лишь с математическим отрицанием, которое определяется через понятие противоречия, а понятие противоречия интуиционисты считают первоначальным, выражающимсяили приходящимся в форме 1 = 2. Фактическое отрицание не связано с понятием противоречия.
Проблемами интуиционистской логики занимаются также философы К. Н. Суханов, М. И. Панов, А. Л. Никифоров и др.
§ 4. Конструктивные логики
Конструктивная логика, отличная от логики классической, своим рождением обязана конструктивной математике. Конструктивная математика может быть кратко охарактеризована как абстрактная умозрительная наука о конструктивных процессах и нашей способности их осуществлять. В результате конструктивного процесса возникает конструктивный объект, т. е. такой объект, который задается эффективным (точным и вполне понятным) способом построения (алгоритмом).
Конструктивное направление (в математике и логике) ограничивает исследование конструктивными объектами и проводит его в рамках абстракции потенциальной осуществимости (реализуемости), т. е. игнорирует практическое ограничение наших возможностей построений в пространстве, времени, материале.
Между идеями конструктивной логики советских исследователей и некоторыми идеями интуиционистской логики (например, в понимании дизъюнкции, в отказе от закона исключенного третьего) имеются точки соприкосновения.
Однако между конструктивной и интуиционистской логиками имеются и существенные отличия.
1. Различные объекты исследования. В основу конструктивной логики, которая является логикой конструктивной математики, положена абстракция потенциальной осуществимости, а в качестве объектов исследования допускаются лишь конструктивные объекты (слова в определенном алфавите).
В основу интуиционистской логики, которая является логикой интуиционистской математики, положена идея “свободно становящейся последовательности”, т. е. строящейся не по алгоритму, которую интуиционисты считают интуитивно ясной.
2. Обоснование интуиционистской математики и логикидается с помощью идеалистически истолкованной интуиции, а обоснование конструктивной математики и логики дается на базе математического понятия алгоритма (например, нормального алгоритма А. А. Маркова) или эквивалентного ему понятия рекурсивной функции.
3. Различные методологические основы. Методологической основой конструктивного направления в математике является признание практики источником познания и критерием его истинности (в том числе и научного). Это положение сохраняет свою силу и для таких наук, как логика и математика, хотя здесь практика входит в процесс познания лишь опосредованно, в конечном счете.
Интуиционисты же считают источником формирования математических понятий и методов первоначальную “интуицию”, а критерием истинности в математике - “интуитивную ясность”.
4. Различные интерпретации1. А. Н. Колмогоров интерпретировал интуиционистскую логику как исчисление задач. А. А. Марков
________________________
'Интерпретация (в математической логике) - распространение исходных положений какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему, исходные положения которой определяются независимо от формальной системы.
интерпретировал логические связки конструктивной логики как прилагаемые к потенциально осуществимым конструктивным процессам (действиям).
Интуиционистская логика Л. Брауэра и А. Рейтинга интерпретируется ими как исчисление предложений (высказываний), причем область высказываний у них ограничивается математическими предложениями.
5. Отличие ряда логических средств. Представители узко-конструктивной логики признают в качестве принципа: если имеется алгоритмический процесс и удалось опровергнуть, что он продолжается бесконечно, то, следовательно, процесс закончится. Некоторые из представителей конструктивной логики доказывают этот принцип в уточненной форме.
Представители интуиционистской логики не признают данного принципа.
Конструктивные исчисления высказываний В. И. Гливенко и А. Н. Колмогорова
Первыми представителями конструктивной логики были математики А. Н. Колмогоров (1903-1987) и В. И. Гливенко (1897-1940). Первое исчисление, не содержащее закон исключенного третьего, было предложено в 1925 г. А. Н. Колмогоровым в связи с его критикой концепции Л. Брауэра, а в дальнейшем развито В. И. Гливенко. Позже было опубликовано исчисление Гейтинга, которое Колмогоров интерпретировал как исчисление задач, что породило содержательное истолкование исчислений, не пользующихся законом исключенного третьего, а это, в свою очередь, легло в основу всех дальнейших, подлинно научных исследований таких исчислений.
Введя понятия “псевдоистинность” (двойное отрицание суждения) и “псевдоматематика” (“математика псевдоистинности”), Колмогоров доказал, что всякий вывод, полученный с помощью закона исключенного третьего, верен, если вместо каждого суждения, входящего в его формулировку, поставить суждение, утверждающее его двойное отрицание. Тем самым он показал, что в “математике псевдоистинности” законно применение принципа исключенного третьего.
Колмогоров различает две логики суждений – общую и частную. Различие между ними заключается в одной аксиоме ® А, которая имеется лишь среди аксиом частной логики. Интересна диалектика соотношения содержания и областей применения этих логик: содержание частной логики суждений богаче, чем общей, так как частная логика дополнительно включает аксиому ® А, но область применения ее уже. Из системы частной логики можно вывести все формулы традиционной логики суждений.
Какова же область применения частной логики суждений? Все ее формулы верны для суждения типа А. , в том числе для всех финитных и для всех отрицательных суждений, т. е. область применимости ее совпадает с областью применимости формулы двойного отрицания ®А. (Символами А. ,В. ... обозначены произвольные суждения, для которых из двойного отрицания следует само суждение).
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: Конспект книги ПРЕДМЕТ И ЗНАЧЕНИЕ ЛОГИКИ С иных позиций изучает мышление логика. Она исследует мышление как средство познания объективного мира, те его формы и. Конспект книги...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Математическая логика
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов